8.6.1 直线与直线垂直(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦空间中直线与直线垂直的核心知识点，从平面内直线所成角引入，系统梳理异面直线所成角的定义、作法及范围，进而构建直线与直线垂直的概念，形成从基础到应用的学习支架。 资料通过长方体、正方体等模型培养直观想象，以“一作二证三计算四结论”步骤强化数学运算与逻辑推理，结合例题与训练题提升解决问题能力，课后总结梳理知识清单与易错点，助力课中教学效果提升和学生课后查漏补缺。

8.6.1　直线与直线垂直 1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系（数学抽象）. 2.理解并掌握异面直线所成的角（直观想象）. 3.会求任意两条直线所成的角（数学运算）. 　　 知识点一｜异面直线所成的角 问题1　平面内两条直线所成的角的范围是多少？ 【知识梳理】 定 义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b 结论 我们把直线　　　　所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 范围 记异面直线a与b所成的角为α，则　　　　　　 　　提醒：（1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 【例1】　如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： （1）BE与CG所成的角的大小； （2）FO与BD所成的角的大小. 【规律方法】 求两条异面直线所成角的步骤 （1）作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； （2）证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角； （3）计算：求角的值，常利用解三角形得出； （4）结论. 可用“一作二证三计算四结论”来概括.同时注意异面直线所成角的取值范围是0°＜α≤90°. 训练1　（1）如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（　　） A.　 　B. C.　 　D. （2）在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 知识点二｜直线与直线垂直 问题2　若两直线垂直，那么两直线一定相交吗？ 【知识梳理】 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线　　　　　　.直线a与直线b垂直，记作　　　　. 【例2】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF. 【规律方法】 证明空间中两条直线垂直的方法 （1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直； （2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等. 训练2　如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，E为棱AC的中点，AB＝BB'＝2.求证：BE⊥AC'. 1.垂直于同一条直线的两条直线（　　） A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（　　） A.2条 B.4条 C.6条 D.8条 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF与MN所成角的大小为　　　　. 4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1. 1.理清单 （1）异面直线所成的角； （2）直线与直线垂直. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 容易忽视异面直线所成的角α的取值范围是0°＜α≤90°. 提示：完成课后作业　第八章　8.6　8.6.1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 知识点一 问题1　提示：. 知识梳理 a'与b'　0°＜α≤90° 知识点二 问题2　提示：不一定，当两直线异面时，也可能垂直. 知识梳理 互相垂直　a⊥b 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 【例1】　解：（1）∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角的大小为45°. （2）如图，连接FH， 易知FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO（或其补角）是FO与BD所成的角，连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角的大小为30°. 训练1　（1）D　如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为的中点，设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝，所以AE＝＝.连接ED，则ED＝.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角为∠EAD（或其补角）.在△EAD中，cos∠EAD＝＝，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为. （2）解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG， 则EG∥AB且EG＝AB，GF∥CD且GF＝CD. 由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF（或其补角）为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成角为30°， ∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形， 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 【例2】　证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝BC， ∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角. 又∵A1A＝AB， ∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形， ∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°， ∴异面直线CD1与EF所成的角为90°， ∴CD1⊥EF. 训练2　证明：如图， 取CC'的中点F，连接EF，BF， ∵E为AC的中点，F为CC'的中点，∴EF∥AC'， ∴∠BEF即异面直线BE与AC'所成的角，且EF＝AC'. 在正三棱柱ABC-A'B'C'中， ∵AB＝BB'＝2，∴AC'＝2，∴EF＝. 在等边三角形ABC中，BE＝＝，在Rt△BCF中，BF＝＝. 在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC'. 随堂检测 1.D 2.D　在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.故选D. 3.　解析：连接A1C1，C1B，A1B.因为E，F，M，N分别是BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，所以MN∥A1C1，EF∥BC1，所以∠A1C1B是异面直线EF与MN所成的角.易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B＝. 4.证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，则AB2＝a2＋b2. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°， 所以B＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2， 所以A1B2＝A1＋B， 则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°. 又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $