8.5.3 平面与平面平行(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“平面与平面平行”核心内容，系统梳理判定定理（通过矩形硬纸片、三角尺问题引入，结合文字、符号、图形语言梳理）、性质定理（以两平行平面内直线关系问题驱动）、相关计算及线线、线面、面面平行转化，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以问题驱动培养直观想象，通过三棱柱、正方体等实例强化逻辑推理，结合线段长度计算提升数学运算能力。课中例题与训练助教师高效授课，课后总结与作业设计便于学生回顾巩固，有效查漏补缺。

8.5.3　平面与平面平行 知识点一 问题1　提示：三角尺所在的平面和桌面一定平行，硬纸片不一定平行. 知识梳理 两条相交直线 知识点二 问题2　提示：直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面. 当a与b不异面，即a与b在同一个平面内时，a与b平行. 知识梳理 平行　a∥b 8.5.3　平面与平面平行 【例1】　证明：（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面. （2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 训练1　证明：连接EF， ∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，E，F分别为DD1，CC1的中点， ∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF，ED1＝CF，∴四边形ABFE，ED1FC为平行四边形，则AE∥BF，EC∥D1F， ∵AE⊄平面BFD1，EC⊄平面BFD1，BF⊂平面BFD1，D1F⊂平面BFD1，∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1， ∵AE⊂平面AEC，EC⊂平面AEC，AE∩EC＝E，∴平面AEC∥平面BFD1. 【例2】　证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM. 训练2　解：（1）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，　 且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1， 由面面平行的性质定理知BE∥FD1，同理BF∥D1E， ∴四边形BFD1E为平行四边形. （2）取BB1的中点M，连接MC1，ME，如图， ∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，∴ME􀰿A1B1， 又A1B1􀰿C1D1， ∴ME􀰿C1D1， ∴四边形D1EMC1为平行四边形，∴D1E∥MC1， 又D1E∥BF，∴MC1∥BF，又C1F∥BM， ∴四边形MBFC1为平行四边形， ∴BM＝C1F，∴F为棱CC1的中点. 【例3】　解：因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD， 所以AB∥CD，所以 ＝，即 ＝，解得BD＝，故BD的长为 . 变式　解：与本例同理，可证得AB∥CD，所以＝，即 ＝，解得BD＝24，故BD长为24. 训练3　解：因为平面EFG∥平面BCD，平面EFG∩平面ABC＝EG，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以EG∥BC，所以＝＝， 同理＝＝，所以△EFG与△BDC的周长之比为1∶3， 而△EFG的周长是9，故△BCD的周长为9×3＝27. 【例4】　证明：（1）由题设知BB1􀰿DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1􀰿B1C1􀰿BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C. 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1. 又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1. （2）由（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD， 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l. 训练4　证明：（1）如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ. 在△PCD中，N，Q分别是PC，DC的中点， 所以NQ∥PD， 又NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， 所以NQ∥平面PAD. 因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形， 所以MQ∥AD，又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以MQ∥平面PAD. 因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面PAD. 因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD. （2）由（1）知，平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE， 所以MN∥PE. 随堂检测 1.A 2.C　在A中，α内有无穷多条直线都与β平行，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，α内的任意直线都与β平行，则可得α∥β，故C正确；在D中，直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α，则α与β相交或平行，故D错误. 3.　解析：∵平面α∥平面β，α∩平面PAB＝CD，β∩平面PAB＝AB，∴CD∥AB，则＝，∴AB＝＝＝. 4.证明：在△CEF中，因为点G，H分别是CE，CF的中点， 所以GH∥EF， 又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以GH∥平面AEF. 如图，设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF， 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5.3　平面与平面平行 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理（直观想象、逻辑推理）. 2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理（逻辑推理、数学运算）. 　　 知识点一｜平面与平面平行的判定定理 问题1　如图1，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在的直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图2，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 【知识梳理】 文字语言 如果一个平面内的　　　　　　　　与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 　　提醒：（1）平面内的两直线相交；（2）均平行于另一平面.两条件缺一不可. 【例1】　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：（1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1∥平面BCHG. 【规律方法】 平面与平面平行的判定方法 （1）定义法：两个平面没有公共点； （2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面； （3）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 训练1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，CC1的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1.　 知识点二｜平面与平面平行的性质定理 问题2　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？ 【知识梳理】 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线　　　 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒　　　 图形语言 　　提醒：该定理涉及三个平面两条直线，可简记：若面面平行，则线线平行. 【例2】　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接PM，N是PM与DE的交点，连接CM，NF，求证：NF∥CM. 【规律方法】 应用面面平行性质定理的基本步骤 训练2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F. （1）求证：四边形BFD1E为平行四边形； （2）试确定点F的位置. 知识点三｜与性质定理有关的计算问题 【例3】　如图，已知平面α∥β，P∉α，且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长. 变式　将本例改为：若点P位于平面 α，β之间（如图），其他条件不变，试求BD的长. 【规律方法】 与面面平行的性质有关的计算的三个关键点 （1）根据已知的面面平行关系推出线线平行关系； （2）在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系； （3）利用所得关系计算求值. 训练3　如图所示， 在棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周长是9，求△BCD的周长. 提能点｜线线、线面、面面平行的转化 【例4】　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形. （1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1； （2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l. 【规律方法】 在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，可以相互转化.所以要解决平行关系的综合问题，必须要灵活运用三种平行关系的相互转化. 训练4　如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.求证： （1）MN∥平面PAD； （2）MN∥PE. 1.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是（　　） A.两两相互平行 B.两两相交于同一点 C.两两相交但不一定交于同一点 D.两两相互平行或交于同一点 2.（2025·周口月考）平面α与平面β平行的条件可以是（　　） A.α内有无穷多条直线都与β平行 B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内 C.α内的任意直线都与β平行 D.直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α 3.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝　　　　. 4.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF. 1.理清单 （1）平面与平面的判定定理； （2）平面与平面的性质定理； （3）与性质定理有关的计算问题； （4）线线、线面、面面平行的转化. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 注意区分“两条相交直线”与“两条直线”、“无数条直线”与“任意直线”的不同. 提示：完成课后作业　第八章　8.5　8.5.3 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $