8.5.2 直线与平面平行(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦直线与平面平行核心知识点，系统梳理判定定理（线线平行推线面平行）和性质定理（线面平行推线线平行），辅以相关计算、综合应用，通过问题导入、知识梳理、例题训练构建完整学习支架。 以翻动书封面等情境问题驱动学习，培养直观想象，结合四棱锥证明等例题强化逻辑推理，规律方法总结助学生形成解题思路。课中助力教师系统授课，课后练习题与知识清单帮助学生巩固提升，落实数学思维与应用意识。

8.5.2　直线与平面平行 知识点一 问题1　提示：AB平行于桌面所在平面，翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面所在平面内，由直线与平面平行的定义可知，直线与平面无公共点，而此时直线AB与封面的另一边平行，同时，封面的另一边在平面内，那么该直线与此平面平行. 知识梳理 此平面内的一条直线平行 知识点二 问题2　提示：平行或异面.当a与b不异面，即在同一个平面内时平行. 知识梳理 平行　交线平行　a⊂β，α∩β＝b 8.5.2　直线与平面平行 【例1】　证明：法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA. 由题意知EF为△PDC的中位线，∴EF∥CD，且EF＝CD＝2. 又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB􀰿EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF. 又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD. 法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH， ∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴＝＝，即B为HC的中点， 又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD. 训练1　证明：如图，连接BC1，AC1. 因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱， 所以四边形BCC1B1为平行四边形， 由平行四边形性质得点E也是BC1的中点. 因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1. 又DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1， 所以DE∥平面ACC1A1. 【例2】　证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点， ∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD， 又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH. 训练2　证明：（1）取PB的中点G，连接FG，EG， 因为点F，G分别为PC，PB的中点，所以FG∥BC，FG＝BC， 因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD， 因为点E为AD的中点，所以DE∥BC，且DE＝BC， 所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE， 因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE. （2）由（1）知DF∥平面PBE，又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l. 【例3】　解：∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC， ∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴F为CD的中点.∴EF＝AC＝×2＝. 训练3　解：因为AG∥平面CEF，AG⊂平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝EF， 所以AG∥EF. 又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点， 因为G为线段BD的中点，且BD＝2，所以GF＝. 连接CG（图略），因为△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，所以CG＝BD＝1，且CG⊥GF.在Rt△CGF中，CF＝＝. 【例4】　解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF，如图所示. 因为BF∥平面AA1C1C， BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN， 所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN＝BF＝1. 而EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC，MN＝EC＝1， 故MN是△ACE的中位线.所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF. 变式　解：如图所示，点M与点C重合，此时BM∥EF， BM⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以MB∥平面AEF. 若点M在线段AC上其他位置，不可能满足MB∥平面AEF. 训练4　解：直线l∥平面PAC.证明如下： 因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC. 又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC. 所以EF∥平面ABC， 而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l. 因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC. 随堂检测 1.C　A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可能异面. 2.A　在a上任取一点A，则过点A与b平行的直线有且只有一条，设为b'，又∵a∩b'＝A，∴a与b'确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的. 3.D　如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条.故选D. 4.B　如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG. 因为SA∥平面BEF，SA⊂平面SAC，平面SAC∩平面EFB＝FG，所以SA∥FG， 所以＝，因为AE∥BC，所以△GEA∽△GBC，又因为E为AD中点， 所以＝＝，所以＝＝，即SF＝SC，所以λ＝. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5.2　直线与平面平行 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题（直观想象、逻辑推理）. 2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行（逻辑推理、数学运算）. 　　 知识点一｜直线与平面平行的判定定理 问题1　如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？ 【知识梳理】 文字语言 如果平面外一条直线与　　　　　　　　　　　　，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 　　提醒：（1）定理中的三个条件“a⊄α，b⊂α，a∥b”缺一不可；（2）实质是线线平行⇒线面平行. 【例1】　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.求证：BE∥平面PAD. 【规律方法】 应用判定定理证明线面平行的步骤 第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④线段成比例法. 训练1　如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点.求证：DE∥平面ACC1A1. 知识点二｜直线与平面平行的性质定理 问题2　已知直线a与平面α平行，则直线a与平面α内的任一直线b有哪些位置关系？在什么条件下a与b平行？ 【知识梳理】 文字语言 一条直线与一个平面　　　　　，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与　　　　　　 符号语言 a∥α，　　　　　　　　　　⇒a∥b 图形语言 　　提醒：（1）定理中的三个条件“a∥α，a⊂β，α∩β＝b”缺一不可；（2）实质是线面平行⇒线线平行. 【例2】　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H. 求证：PA∥GH. 【规律方法】 1.利用线面平行性质定理解题的步骤 2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行. 训练2　如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明： （1）DF∥平面PBE； （2）DF∥l. 知识点三｜与性质定理有关的计算问题 【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度. 【规律方法】 利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点 （1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系； （2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系； （3）利用所得关系计算求值. 训练3　如图，在四面体A-BCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点.若AG∥平面CEF，求线段CF的长. 提能点｜线面平行关系的综合应用 【例4】　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置. 变式　在本例中，若E，F分别为棱CC1和BB1的中点，M是线段AC上的动点，若MB∥平面AEF，则M在何位置呢？ 【规律方法】 关于线面平行关系的综合应用 判定和性质之间的推理关系是由线线平行⇒线面平行⇒线线平行得来的，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化. 训练4　如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明. 1.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（　　） A.m∥α，m∥n⇒n∥α B.m∥α，n∥α⇒m∥n C.m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n D.m∥α，n⊂α⇒m∥n 2.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（　　） A.有且只有一个 B.有无数多个 C.有且只有一个或不存在 D.不存在 3.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 4.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点.点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF，则实数λ＝（　　） A.　　　 B. C.　　　 D.1 1.理清单 （1）直线与平面平行的判定定理； （2）直线与平面平行的性质定理； （3）与性质定理有关的计算问题； （4）线面平行关系的综合应用. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 证明线面平行时漏写线在平面外（内）. 提示：完成课后作业　第八章　8.5　8.5.2 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $