8.5.1 直线与直线平行(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦“直线与直线平行”核心知识点，系统梳理基本事实4（平行公理）、等角定理及线线平行判断共面的应用，以正方体、空间四边形等模型为支架，构建从公理引入到定理应用再到实际问题解决的学习脉络。 该资料以问题驱动情境（如正方体中直线平行关系探究）培养直观想象，通过例题变式（如空间四边形中点连线性质）训练逻辑推理，结合符号与图形语言强化数学表达。课中助力教师引导学生探究，课后练习与总结帮助学生查漏补缺，提升空间几何思维能力。

8.5.1　直线与直线平行 1.理解基本事实4和等角定理（直观想象）. 2.会判断空间两直线的位置关系（逻辑推理）. 　　 知识点一｜基本事实4 问题1　在如图所示的正方体ABCD-A'B'C'D'中，DC∥AB，A'B'∥AB，DC与A'B'平行吗？由此，你能得到什么结论？ 【知识梳理】 文字语言 平行于同一条直线的两条直线　　 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒　　　 作用 证明两条直线平行 【例1】　如图所示，在空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形. 变式　若条件中增加“AC＝BD”，那么四边形EFGH是什么图形？ 【规律方法】 证明空间两条直线平行的方法 （1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等； （2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点； （3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c. 训练1　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点.求证：EE1∥FF1. 知识点二｜等角定理 问题2　在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？ 【知识梳理】 1.定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角　　　　　 符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB＝∠A'O'B'或∠AOB＋∠A'O'B'＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别对应　　　　，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 　　提醒：（1）等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；（2）当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补. 【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E. 【规律方法】 空间角相等的证明方法 （1）等角定理是较常用的方法，等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能； （2）转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明. 训练2　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 知识点三｜利用线线平行判断共面 【例3】　如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，G分别是AD，CD上的点，满足＝.求证：E，F，G，H四点共面. 【规律方法】 根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行. 训练3　如图，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC􀰿AD，BE􀰿AF，G，H分别是FA，FD的中点. （1）证明：四边形BCHG是平行四边形； （2）C，D，E，F四点是否共面？为什么？ 1.空间中两条互相平行的直线指的是（　　） A.空间中没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（　　） A.3条　　B.4条 C.5条　　D.6条 3.空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别对应平行.若α＝60°，则β＝　　　　. 4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CM∥A1N. 1.理清单 （1）基本事实4； （2）等角定理； （3）利用线线平行判断共面. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 用等角定理时，角有可能相等或互补. 提示：完成课后作业　第八章　8.5　8.5.1 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5　空间直线、平面的平行 8.5.1　直线与直线平行 知识点一 问题1　提示：平行.得到事实：平行于同一条直线的两条直线平行. 知识梳理 平行　a∥c 知识点二 问题2　提示：成立.当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置. 知识梳理 1.相等或互补　2.平行 8.5　空间直线、平面的平行 8.5.1　直线与直线平行 【例1】　证明：因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，所以EF∥HG，EF＝HG， 所以四边形EFGH是平行四边形. 变式　解：由题意得EH∥BD，FG∥BD，EH＝FG＝BD，所以EH∥FG，EH＝FG，因为AC＝BD，则EF＝FG＝GH＝EH，所以四边形EFGH为菱形. 训练1　证明：连接EF，E1F1，A1C1，AC， 由长方体ABCD-A1B1C1D1知，AC􀰿A1C1，因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，所以由三角形中位线定理得EF􀰿AC，同理E1F1􀰿A1C1， 所以EF∥E1F1，且EF＝E1F1，则四边形EFF1E1为平行四边形，故EE1∥FF1. 【例2】　证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1， 因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1. 又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G. 所以四边形D1GBF为平行四边形. 所以D1F∥GB，同理D1E∥GC. 又∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E. 训练2　证明：如图所示，连接B1C. 因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以FG∥B1C. 又ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以CD∥AB，A1B1∥AB， 由基本事实4知CD∥A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C. 又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG. 同理可证A1C1∥GE，DC1∥FE. 又∠DA1C1与∠FGE，∠A1DC1与∠GFE，∠DC1A1与∠FEG的两条边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠FGE，∠A1DC1＝∠GFE，∠DC1A1＝∠FEG. 所以△EFG∽△C1DA1. 【例3】　证明：如图，连接AC， ∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF∥AC. 在△ADC中，∵＝，∴GH∥AC，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H四点共面. 训练3　解：（1）证明：由题意知，FG＝GA，FH＝HD， 所以GH􀰿AD，又BC􀰿AD，故GH􀰿BC， 所以四边形BCHG是平行四边形. （2）C，D，F，E四点共面.理由如下： 由BE􀰿AF，G是FA的中点知，BE􀰿GF， 所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG， 由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面. 又点D在直线FH上， 所以C，D，E，F四点共面. 随堂检测 1.D 2.B　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1. 3.60°或120°　解析：因为角α与β两边分别对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补，故β＝60°或120°. 4.证明：如图，取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝A1D1. 又N为B1C1的中点，B1C1􀰿A1D1，所以C1N∥PA1，且C1N＝PA1，所以四边形PA1NC1为平行四边形，所以A1N∥C1P. 又由PM􀰿DD1􀰿CC1，得四边形PMCC1为平行四边形，所以C1P∥CM. 所以CM∥A1N. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $