8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦空间点、直线、平面之间的位置关系，系统梳理直线与直线（平行、相交、异面）、直线与平面（在平面内、相交、平行）、平面与平面（平行、相交）的位置关系，构建从基础到复杂的知识脉络，形成递进式学习支架。 该资料以问题驱动结合模型教学，如通过长方体实例分析异面直线，培养直观想象；总结判断方法（如反证法）发展逻辑推理，体现数学思维。课中助力教师高效授课，课后训练题与变式练习帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升空间观念与应用能力。

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点一 问题1　提示：既不平行也不相交. 知识梳理 1.（1）任何一个　2.一个公共点　没有公共点　没有公共点 知识点二 问题2　提示：相交、平行、在平面内. 知识梳理 无数个　有且只有一个　没有 知识点三 问题3　提示：有两种.平行、相交. 知识梳理 没有　无数　α∥β　α∩β＝l 8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 【例1】　（1）平行　（2）异面　（3）相交　（4）异面　解析：（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C. （2）直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内. （3）直线D1D与直线D1C相交于点D1. （4）直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内. 训练1　（1）C　（2）D　解析：（1）分两类进行讨论.①若两条直线与异面直线的交点有4个，如图1，直线AB与异面直线a，b分别交于点A，B，直线CD与异面直线a，b分别交于点C，D，那么A，B，C，D四点不可能共面，否则与a，b异面矛盾，故直线AB与CD异面；②若两条直线与异面直线的交点有3个，如图2，两条直线相交. （2）可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，CC'，DD'，故a和c可以平行、相交或异面. 【例2】　（1）B　（2）ABC　解析：（1）直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外. （2）可借助正方体来判断.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，故A是假命题；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，故B是假命题；AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，故C是假命题；因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面，故D是真命题. 训练2　（1）D　（2）①2　②1 解析：（1）若a，b是异面直线，且a∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得，b∥α，或b⊂α，或b与α相交. （2）①与AB所在直线平行的平面有平面A'B'C'D'和平面DCC'D'；②与A'B所在直线平行的平面只有平面DCC'D'. 【例3】　C　如图所示，a⊂α，b⊂β，a∥b.由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行. 变式　解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面.由图知这两个平面可能平行，也可能相交. 训练3　（1）D　A，B都不能保证α，β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α，β一定无公共点，即α∥β. （2）解：因为几何体ABC-A1B1C1为三棱柱， 所以平面ABC与平面A1B1C1平行. 因为平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB， 所以平面ABC与平面ABB1A1相交. 同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交. 随堂检测 1.C　若直线l与平面α没有公共点，那直线l与平面α只能平行，故充分性成立；若直线l与平面α平行，则直线l与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的充要条件.故选C. 2.BD　a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面，A错误，B正确；根据定义，a与β没有公共点，C错误，D正确. 3.BD　A中，GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；C中，连接GM（图略），则GM∥HN，因此GH与MN共面；D中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面.所以B、D中直线GH与MN是异面直线. 4.相交或异面　解析：若m⊄α，A∈m，A∈α，则直线m与平面α相交，A为交点.由n⊂α可知，若A∈n，则m，n相交（垂直是相交的一种特殊情况）；若A∉n，则m，n异面.　 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.了解空间中两直线间的位置关系（直观想象）. 2.理解空间中直线与平面的位置关系（直观想象）. 3.掌握空间中平面与平面的位置关系（直观想象）. 　　 知识点一｜直线与直线的位置关系 问题1　如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AB与棱B1C1所在直线有怎样的位置关系？ 【知识梳理】 1.异面直线 （1）定义：不同在　　　　　　平面内的两条直线； （2）异面直线的画法. 2.空间两条直线的三种位置关系 　　提醒：异面直线的定义表明两条直线不同在任何一个平面内，不能理解为分别在两个平面内的两条直线就是异面直线. 【例1】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中： （1）直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　　； （2）直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　　； （3）直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　　； （4）直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　　. 【规律方法】 1.判断空间两条直线位置关系的诀窍 （1）建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线； （2）重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 2.判断异面直线的方法 定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 图象法 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 反证法 判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线 训练1　（1）已知两条直线均和两条异面直线相交，那么这两条直线的位置关系为（　　） A.相交 B.异面 C.异面或相交 D.平行 （2）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（　　） A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面 知识点二｜直线与平面的位置关系 问题2　一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？ 【知识梳理】 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有　　　公共点 　　　　公共点 　　　公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 【例2】　（1）若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（　　） A.直线上所有的点都在平面外 B.直线上有无数多个点都在平面外 C.直线上有无数多个点都在平面内 D.直线上至少有一个点在平面内 （2）〔多选〕若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中是假命题的是（　　） A.若a∥b，b⊂α，则a∥α B.若a∥α，b∥α，则a∥b C.若a∥b，b∥α，则a∥α D.若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面 【规律方法】 直线与平面位置关系的判断 （1）在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断； （2）要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 训练2　（1）若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是（　　） A.b∥α B.b与α相交 C.b⊂α D.以上三种情况都有可能 （2）在如图所示的正方体ABCD-A'B'C'D'中， ①与AB所在直线平行的平面有　　　　个； ②与A'B所在直线平行的平面有　　　　个. 知识点三｜平面与平面的位置关系 问题3　拿出一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？ 【知识梳理】 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 　　　公共点 有　　　　个公共点（在一条直线上） 符号表示 图形表示 【例3】　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（　　） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 变式　本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？ 【规律方法】 1.平面与平面位置关系的判断方法 （1）平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点； （2）平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点. 2.常见的平面与平面平行的模型 （1）棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行； （2）长方体的六个面中，三组相对面平行. 训练3　（1）已知α，β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是（　　） A.平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β B.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β C.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β D.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β （2）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什么位置关系？ 1.“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.〔多选〕两平面α，β平行，a⊂α，则下列四个命题正确的是（　　） A.a与β内的所有直线平行 B.a与β内无数条直线平行 C.a与β至少有一个公共点 D.a与β没有公共点 3.〔多选〕如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（　　） 4.已知α是一个平面，m，n是两条不同的直线，A是一个点.若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是　　　　. 1.理清单 （1）直线与直线的位置关系； （2）直线与平面的位置关系； （3）平面与平面的位置关系. 2.应体会 分类讨论思想. 3.避易错 异面直线的判定. 提示：完成课后作业　第八章　8.4　8.4.2 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $