8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积计算，通过展开图与表面积的关系、体积公式推导（如棱锥体积为等底等高棱柱的1/3，棱台体积关联上下底面积），构建从基础公式到简单组合体计算的学习支架。 资料以问题驱动（如展开图形状、体积公式推导）引导数学抽象与直观想象，例题（如正四棱台侧面积、仓库容积计算）强化数学运算，课中助力教师构建知识体系，课后通过训练题与总结帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式（数学抽象）. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积（直观想象、数学运算）. 　　 知识点一｜棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 问题1　（1）我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？ （2）棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？ 【知识梳理】 多面体的表面积就是围成多面体　　　　的面积的　　　　.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 　　提醒：求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别. 【例1】　已知正四棱台（上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面的射影是下底面中心）上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积. 【规律方法】 1.求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱；并注意两个直角梯形的应用： （1）高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形； （2）高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形. 2.正棱柱、正棱锥、正棱台侧面面积之间的关系 S正棱柱侧＝ChS正棱台侧＝（C＋C'）h'S正棱锥侧＝Ch'（C，C'分别为下、上底面周长，h为高，h'为斜高）. 训练1　（2025·河源月考）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积. 知识点二｜棱柱、棱锥、棱台的体积 问题2　（1）正方体、长方体的体积公式是什么？由此可推出一般棱柱的体积公式是什么？ （2）如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？ （3）棱台的体积公式又是怎样得到的？ 【知识梳理】 1.棱柱的体积等于棱柱的底面积乘高. 2.棱锥的体积等于等底等高棱柱体积的. 3.棱台的体积等于棱台的上底面积，下底面积及两底面积的几何平均数之和乘以棱台高的. 【例2】　已知正六棱锥的底面面积为6，侧棱长为，求这个棱锥的体积. 【规律方法】 求棱柱、棱锥、棱台的体积的方法 （1）直接法：求几何体的体积首先要明确几何体的形状，确定要使用的公式，然后求得几何体的底面积与高，最后直接代入公式即可.常用技法为等积转化； （2）间接法：间接法求体积的实质是将待求体积的几何体与体积易求的几何体结合起来，将待求几何体的体积转化为两个或多个易求几何体的体积的和或差.常用技法有补体法和分割法. 　　提醒：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系： 训练2　已知四棱台上、下底面面积分别为S1，S2，而且高为h，求这个棱台的体积. 知识点三｜简单组合体的表面积与体积 【例3】　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？ 【规律方法】 求组合体的表面积时，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减. 训练3　如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积. 1.一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为（　　） A.6　　　 B.　　　 C.3　　　 D.2 2.（2025·温州质检）一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积的比值为（　　） A. B.2 C. D.3 3.正四棱台的上、下底面的边长分别为3，6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高为　　　　，斜高为　　　　. 4.一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要约多少立方米的 混凝土？（钢筋体积忽略不计，结果精确到0.01立方米） 1.理清单 （1）棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积； （2）棱柱、棱锥、棱台的体积； （3）简单组合体的表面积与体积. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 平面图形与立体图形的切换不清楚. 提示：完成课后作业　第八章　8.3　8.3.1 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 知识点一 问题1　（1）提示：长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示. （2）提示：都相等. 知识梳理 各个面　和 知识点二 问题2　（1）提示：V正方体＝a3（a是正方体的棱长），V长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）.棱柱的体积公式V棱柱＝Sh（其中S为底面积，h为高）. （2）提示：分成的三个棱锥的体积相等. 由此可得到三棱锥的体积公式V棱锥＝Sh（其中S为三棱锥的底面面积，h为它的高）. （3）提示：因为棱台可以看成棱锥截去一小棱锥得到，所以棱台的体积可以通过计算两棱锥的体积之差得到V棱台＝h（S'＋＋S）（其中S'，S为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高）. 8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【例1】　解：如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，且O1O＝12.连接OE，O1E1，E1E，则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝×6＝3. 过点E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3， HE＝OE－OH＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17， 所以E1E＝3，所以S侧＝4××（B1C1＋BC）×E1E＝2×（6＋12）×3＝108. 训练1　解：如图，设PO＝3，PE是斜高， ∵S侧＝2S底， ∴4··BC·PE＝2BC2， ∴BC＝PE. 在Rt△POE中，PO＝3，OE＝BC＝PE， ∴9＋（）2＝PE2，∴PE＝2. ∴S底＝BC2＝PE2＝（2）2＝12，S侧＝2S底＝2×12＝24， ∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36. 【例2】　解：如图所示的正六棱锥S-ABCDEF中，O是底面中心，SC＝，SO为正六棱锥的高， 设底面边长为a，则正六边形的面积为6×a2＝6，解得a＝2（负值舍去），∴OC＝2，在Rt△SOC中，SO＝＝1，∴这个棱锥的体积V＝×6×1＝2. 训练2　解：如图所示， 将四棱台看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥P-A1B1C1D1所得到的，且设两个棱锥的高分别为PO与PO1. 由已知有＝， 再由PO－PO1＝OO1＝h，因此可得 PO1＝h，PO＝h. 从而可知棱台的体积为 V＝×S2×PO－×S1×PO1＝（S2－S1） ＝（－）＝（－）（S2＋＋S1）＝（S2＋＋S1）. 【例3】　解：由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m. 因为A1B1＝AB＝6 m， 所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥＝·A1·PO1＝×62×2＝24（m3）， 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288（m3）， 所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312（m3），故仓库的容积是312 m3. 训练3　解：由题意可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为×a×a×sin 60°＝a2， 故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S＝＋3S△DBC＋3＝a2＋3××a2＋3a2＝a2； 几何体A1B1C1D1-DBC的体积V＝－＝a3－××a×a×a＝a3. 随堂检测 1.B　设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，令xy＝，yz＝，xz＝，∴（xyz）2＝6，∴V＝xyz＝. 2.B　设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为 S，故二者的体积的比值为 ＝＝＝2. 3.2　　解析：如图所示，设正四棱台ABCD-A'B'C'D'的高为h，斜高为h'，O'，O分别为上、下底面的中心，点E，F分别是B'C'，BC的中点，连接O'O，O'E，OF，EF.过点E作EG⊥OF于点G，则EG＝h，EF＝h'.由题意得S侧＝S上底＋S下底＝32＋62＝45，∴S侧＝4××（3＋6）h'＝45，解得h'＝.在直角梯形O'OFE中，O'E＝，OF＝3，EF＝，∴FG＝，∴h＝EG＝＝＝2，即棱台的高为2. 4.解：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，设该预制件的体积为V，则V＝0.6×1.1×24.8－×（0.5＋0.3）×0.3×24.8≈13.39（立方米）， 故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $