8.2 立体图形的直观图(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦立体图形的直观图，系统梳理斜二测画法画水平放置平面图形、常见柱体锥体台体球及简单组合体直观图的方法，以及直观图与原图形的面积关系，通过问题驱动、知识梳理、例题解析、规律方法总结和分层训练搭建学习支架。 资料以问题引导激发探究，如通过“如何画长方体直观图”培养直观想象核心素养，结合例1画等腰梯形、例3还原计算面积等实例，讲练结合助力数学思维形成。课中辅助教师系统教学，课后学生可借助训练题和总结查漏补缺，强化空间观念与推理能力。

8.2　立体图形的直观图 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图（直观想象）. 2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图（直观想象）. 　　 知识点一｜平面图形的直观图 问题1　（1）从不同的方向观察同一个空间图形时，所看到的形状一样吗？ （2）立体几何中的直观图又是怎样一类图形？ （3）画空间图形的直观图常采用怎样的画法？ 【知识梳理】 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 　　提醒：（1）“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反映投影线是斜的；（2）“二测”：平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”. 【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 【规律方法】 画平面图形的直观图的技巧 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段；关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可. 训练1　用斜二测画法画出如图所示的水平放置的△OAB的直观图. 知识点二｜空间几何体的直观图 问题2　我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 【例2】　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. 【规律方法】 画空间图形的直观图的原则 （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系O-xyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直； （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变； （3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的一半； （4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变. 训练2　用斜二测画法画出正六棱锥P-ABCDEF的直观图.（尺寸自定） 知识点三｜直观图的还原与计算 【知识梳理】 直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝　　　　S原图形，S原图形＝　　　　S直观图. 【例3】　如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　） A.AB＝2 B.A'D'＝2 C.四边形ABCD的周长为4＋2＋2 D.四边形ABCD的面积为6 【规律方法】 直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 训练3　（1）已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为（　　） A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 （2）如图，矩形O'A'B'C'是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6 cm，O'C'＝2 cm，C'D'＝2 cm，则原图形是　　　　　，其面积为　　　　. 三视图与直观图的联系与区别 通过教材P112第7题我们联想到三视图、直观图是从不同角度观察空间物体而抽象出来的平面图形，它们都是将空间几何体通过不同平行投影而得到的平面图形. 1.三视图与直观图的联系与区别 联系：（1）三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间几何体的位置特征与度量特征； （2）从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形. 区别：（1）三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状； （2）直观图是在某一方向观察到的图形，三视图是从不同角度将物体向投影面作正投影所得到的图形，对于同一物体，二者可以相互转换. 2.由三视图画直观图的基本步骤 （1）想象空间几何体的形状：由三视图还原成空间几何体，应充分抓住三视图的结构特征进行逆向思维，并联想基本几何体的结构. 对于简单几何体而言，当俯视图是圆时，该几何体可能是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体可能是多面体. （2）利用斜二测画法画直观图：当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验. 　　提醒：（1）由三视图画直观图，需要发挥空间想象能力，一般先从正视图出发，然后是侧视图、俯视图；（2）画出后要检验，对所画几何体的直观图进行检查修补；（3）需要熟悉一些常见几何体的三视图，如长方体、圆柱、圆锥、圆台、球等，并能由三视图逆推出几何体. 3.两类图形的相互转换 （1）由直观图到三视图 若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，可见的轮廓线和棱都用实线画出，不可见的轮廓线和棱用虚线画出. （2）由三视图到直观图 由三视图还原立体图形时，根据三视图的特征，先判断是简单几何体还是组合体.若是简单几何体，结合柱、锥、台、球的三视图逆推；若是组合体，结合柱、锥、台、球的三视图，判断是由哪几种简单几何体组合而成的，根据它们的相对位置关系，想象出它的构成情况. 【迁移应用】 1.将正方体（如图1）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（　　） 2.若某几何体的三视图如图，则这个几何体的直观图可以是（　　） 1.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴，y'轴平行，且A'B'＝A'C'，那么△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 2.〔多选〕关于斜二测画法所得到的水平放置的平面图形的直观图，下列说法正确的是（　　） A.三角形的直观图是三角形 B.平行四边形的直观图是平行四边形 C.正方形的直观图是正方形 D.菱形的直观图是菱形 3.如图，△A'O'B'是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图，则△AOB的面积是　　　　. 4.画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图. 1.理清单 （1）平面图形的直观图画法； （2）空间几何体的直观图画法； （3）直观图的还原与计算. 2.应体会 数形结合思想. 3.避易错 （1）在原图形中平行于y轴的线段，在直观图中长度减半； （2）同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 提示：完成课后作业　第八章　8.2 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2　立体图形的直观图 知识点一 问题1　（1）提示：一般不一样. （2）提示：用来表示空间图形的平面图，习惯上称为空间图形的直观图. （3）提示：为使直观图更具有立体感，人们经常采用斜二测画法来作直观图. 知识梳理 45°　135°　水平面　x'轴或y'轴　线段　保持原长度不变　一半 知识点二 问题2　提示：先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图. 知识点三 知识梳理 　2 8.2　立体图形的直观图 【例1】　解：（1）如图1所示，取AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线OE为y轴，两轴交点O为原点，建立直角坐标系，在图2中画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. （2）在图2中，以O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y轴上取O'E'＝OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD. （3）连接B'C'，D'A'，并擦去辅助线x'轴和y'轴，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图3所示. 训练1　解：（1）在△OAB中建立如图1所示的直角坐标系xOy， 再建立如图2所示的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. （2）在图1中作BD⊥x轴于点D，在坐标系x'O'y'中， 沿x'轴正方向取O'A'＝OA，沿x'轴负方向取O'D'＝OD. 在坐标系x'O'y'中沿y'轴正方向画D'B'平行于y'轴，且D'B'＝DB. （3）连接O'B'，A'B'，去掉辅助线，得到△O'A'B'，即水平放置的△OAB的直观图，如图3所示. 【例2】　解：（1）画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则▱ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图. （3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴正半轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'. （4）成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图. 训练2　解：（1）画出正六棱锥P-ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O，如图1；画出相应的x'轴、y'轴、z'轴，三轴相交于O'，使∠x'O'y'＝45°，∠x'O'z'＝90°，如图2；②在图2中，以O'为中点，在x'轴上取A'D'＝AD，在y'轴上取M'N'＝MN，以点N'为中点，画出B'C'平行于x'轴，并且长度等于BC，再以点M'为中点，画出E'F'平行于x'轴，并且长度等于EF；③连接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A'B'C'D'E'F'. （2）画出正六棱锥P-ABCDEF的顶点.在z'轴的正半轴上取点P'. （3）成图.连接P'A'，P'B'，P'C'，P'D'，P'E'，P'F'，并擦去x'轴、y'轴和z'轴，便可得到正六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F'，如图3. 【例3】　D　 如图，过点D'作D'E⊥O'B'于点E， 由等腰梯形A'B'C'D'，△A'D'E是等腰直角三角形可得，A'D'＝A'E＝×（4－2）×＝，B错误；还原平面图如图， 即AB＝4＝2CD，AD＝2，A错误；过点C作CF⊥AB于点F，由勾股定理得CB＝2，故四边形ABCD的周长为4＋2＋2＋2＝6＋2＋2，C错误；四边形ABCD的面积为×（4＋2）×2＝6，D正确. 训练3　（1）D　（2）菱形　24 cm2 解析：（1）如图1、图2所示，分别为正三角形ABC的实际图形和直观图. 由图2可知，B'C'＝BC＝a，O'A'＝OA＝a，在图2中作A'D'⊥B'C'于点D'，则A'D'＝O'A'＝a，所以S△A'B'C'＝B'C'·A'D'＝×a×a＝a2. （2）如图，在原图形OABC中，应有OA＝O'A'＝6 cm，OD＝2O'D'＝2×2＝4（cm），CD＝C'D'＝2 cm，所以OC＝＝＝6（cm），所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形，S四边形OABC＝OA×OD＝6×4＝24（cm2）. 教材挖掘 迁移应用 1.B　在正方体中，过D1，D，A三点分别向正方体的右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线. 2.D　用排除法，A、B的正视图不符合要求，C的俯视图不符合要求.故选D. 随堂检测 1.D　因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x'O'y'＝45°，A'B'＝A'C'，且A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形. 2.AB　斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，正方形的直观图是平行四边形，菱形的直观图是平行四边形. 3.16　解析：由图可知O'B'＝4，则对应△AOB中，OB＝4.又和y'轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8，所以△AOB的面积为×4×8＝16. 4.解：（1）画轴.画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图. （2）画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. （3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于四棱锥的高. （4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $