8.1 第1课时 棱柱、棱锥和棱台(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦棱柱、棱锥和棱台的结构特征，从空间几何体、多面体与旋转体的定义切入，系统梳理棱柱（含直棱柱、正棱柱等）、棱锥（含正棱锥、正四面体）、棱台的定义、图形及特征，通过问题辨析（如“有两个面平行其余为平行四边形是否为棱柱”）构建从基础到具体的认知支架。 以数学抽象（观察实物模型归纳特征）、逻辑推理（辨析几何体关系）、直观想象（图形与实例分析）为核心，采用“问题引导-知识梳理-例题解析-训练巩固”设计，如例1长方体分割辨析、训练题集合关系判断，助力课堂互动教学，也便于课后学生自主回顾，强化对几何体结构特征的理解与应用。

第一课时　棱柱、棱锥和棱台 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征（数学抽象）. 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系（逻辑推理）. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构（直观想象）. 　　 知识点一｜空间几何体、多面体、旋转体的定义 问题1　观察下列物体，它们有什么特点？ 【知识梳理】 1.空间几何体：如果只考虑物体的　　　　　和　　　　　，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 2.多面体、旋转体 类别 多面体 旋转体 定义 一般地，由若干个　　　　　　围成的几何体叫做多面体 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的　　　　　　旋转所形成的曲面叫做　　　　，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关概念 面：围成多面体的各个　　　　； 棱：两个面的　　　　； 顶点：棱与棱的公共点 轴：平面曲线旋转时所绕的定直线 　　提醒：（1）各面均为全等的正多边形所围成的几何体称为正多面体；（2）把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余各面都在这个平面的同一侧，那么这样的多面体就叫做凸多面体. 知识点二｜棱柱的结构特征 问题2　有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？ 【知识梳理】 1.棱柱的结构特征 棱柱 定义 一般地，有两个面互相　　　　，其余各面都是　　　　，并且相邻两个四边形的公共边都互相　　　　，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 图形 及表示 图中的棱柱记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 相关概念 棱柱的底面：两个互相　　　　的面； 棱柱的侧面：两底面之外的各面； 棱柱的侧棱：相邻侧面的　　　　； 棱柱的顶点：侧面与底面的　　　　　 结构特征 （1）底面互相平行且　　　　； （2）侧面都是平行四边形； （3）侧棱都　　　　，且互相平行 分类 按底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 2.几个特殊的棱柱 （1）直棱柱：　　　　　　　　　　的棱柱叫做直棱柱（如图1、图3）； （2）斜棱柱：　　　　　　　　　　的棱柱叫做斜棱柱（如图2、图4）； （3）正棱柱：底面是正多边形的　　　　叫做正棱柱（如图3）； （4）平行六面体：底面是　　　　　　的四棱柱也叫做平行六面体（如图4）. 【例1】　如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1. （1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ （2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用字母表示；如果不是，请说明理由. 【规律方法】 辨析棱柱的方法 根据棱柱的三个结构特征判定，也可利用等价命题判定：即①有两个面互相平行（底面）；②所有侧棱互相平行. 训练1　（1）设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是（　　） A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆P C.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P （2）〔多选〕下列关于棱柱的说法正确的有（　　） A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不会是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱 知识点三｜棱锥的结构特征 问题3　图中的多面体具有怎样的特点？ 【知识梳理】 棱锥 定义 一般地，有一个面是　　　　，其余各面都是有一个公共顶点的　　　　，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图形 及表示 图中的棱锥记作棱锥S-ABCD 相关 概念 棱锥的底面：　　　　面； 棱锥的侧面：有公共顶点的各个　　　　面； 棱锥的侧棱：相邻侧面的　　　　； 棱锥的顶点：各侧面的　　　　　 结构 特征 （1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形； （2）各侧面三角形有一个公共顶点 分类 （1）按底面多边形的边数来分，可以分为：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体； （2）底面是　　　　　　，并且顶点与底面中心的连线　　　　底面的棱锥叫做正棱锥； （3）侧棱长与底面边长　　　　的正三棱锥叫做正四面体 　　提醒：注意棱锥的“棱”与“侧棱”的区别. 【例2】　说出图中几何体的名称，并用字母表示出该几何体，同时指出其顶点、侧面、底面及侧棱. 【规律方法】 棱锥的辨析方法 （1）直接法（扣定义）：①看面：即观察这个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形；②看线：即观察侧棱是否相交于一点； （2）举反例. 训练2　（1）〔多选〕下列说法中正确的有（　　） A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C.棱锥的侧棱平行 D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 （2）下列说法中正确的是（　　） A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B.各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 知识点四｜棱台的结构特征 问题4　如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的下部分具有怎样的特点？ 【知识梳理】 棱台 定义 用一个　　　　　　　　　的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 图形 及 表示 图中的棱台记作棱台ABCD-A'B'C'D' 相关 概念 棱台的上底面：平行于原棱锥底面的　　　　； 棱台的下底面：原棱锥的　　　　； 棱台的侧面：其余各面； 棱台的侧棱：相邻侧面的公共边； 棱台的顶点：侧面与上、下底面的公共顶点 结构 特征 （1）上、下底面互相平行，且是相似图形； （2）各侧棱的延长线交于一点； （3）各侧面为梯形 分类 （1）由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……； （2）正棱台：上、下底面是相似的正多边形，且上、下底面中心的连线与底面垂直的棱台，其中上、下底面中心的连线叫做正棱台的高，侧面等腰梯形的高叫做正棱台的斜高 　　提醒：棱柱、棱锥、棱台之间的变化关系为：当棱台的上底面与下底面相同时，棱台就转化为棱柱；当棱台的上底面收缩为一个点时，棱台就转化为棱锥.如图所示. 【例3】　下面四个几何体中为棱台的是（　　） 【规律方法】 判断棱台的一般思路 （1）举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确； （2）直接法：①定底面，两个互相平行的面，即为底面（两个多边形相似）；②看侧棱，延长后相交于一点. 训练3　〔多选〕下列选项中，不正确的是（　　） A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 1.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（　　） A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥 2.下面多面体中，是棱柱的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.〔多选〕下列说法不正确的是（　　） A.棱台的两个底面相似 B.棱台的侧棱长都相等 C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 4.下列几何体中，　　　　是棱柱，　　　　是棱锥，　　　　是棱台（仅填相应序号）. 1.理清单 （1）空间几何体、多面体、旋转体的定义； （2）棱柱的结构特征； （3）棱锥的结构特征； （4）棱台的结构特征. 2.应体会 数形结合思想. 3.避易错 对棱台的结构特征认识不清，易导致判断错误. 提示：完成课后作业　第八章　8.1　第一课时 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1　基本立体图形 第一课时　棱柱、棱锥和棱台 知识点一 问题1　提示：可以发现，纸箱、金字塔、茶叶罐、水晶萤石、储物箱等物体有相同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面. 知识梳理 1.形状　大小 2.平面多边形　一条定直线　旋转面　多边形　公共边　 知识点二 问题2　提示：不一定.“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱. 知识梳理 1.平行　四边形　平行　平行　公共边　公共顶点　（1）全等　（3）相等 2.（1）侧棱垂直于底面　（2）侧棱不垂直于底面　（3）直棱柱 （4）平行四边形 知识点三 问题3　提示：通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点. 知识梳理 多边形　三角形　多边形　三角形　公共边　公共顶点 （2）正多边形　垂直于　（3）相等 知识点四 问题4　提示：截得的下部分上、下两个面互相平行且相似，各侧面为梯形. 知识梳理 平行于棱锥底面　截面　底面 8.1　基本立体图形 第一课时　棱柱、棱锥和棱台 【例1】　解：（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义. （2）是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1. 训练1　（1）B　（2）CD　解析：（1）根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱}.故选B. （2）A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱. 【例2】　解：该几何体为五棱锥；用字母可表示为五棱锥P-ABCDE；顶点为点P，点A，点B，点C，点D，点E；侧面为△PAB，△PBC，△PCD，△PDE，△PAE；底面为五边形ABCDE；侧棱为PA，PB，PC，PD，PE. 训练2　（1）AB　（2）D　解析：（1）由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错误. （2）对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；对于B，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，B错误；对于C，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长均为侧棱长，C错误；对于D，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，D正确. 【例3】　C　A项中的几何体的两个底面不平行，不是棱台；B项中的几何体是棱锥；C项中的几何体符合棱台的定义，是棱台；D项中的几何体的棱AA'，BB'，CC'，DD'的延长线没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台. 训练3　ABC　A中的平面不一定平行于底面，故A错误；B、C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错误；由棱台的定义知，D正确. 随堂检测 1.B　根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥. 2.D　根据棱柱的定义进行判定，知这4个多面体都是棱柱. 3.BCD　由棱台的定义知A正确，B、C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确. 4.①③④　⑥　⑤ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $