7.3 复数的三角表示(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

7.3*　复数的三角表示 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系（数学抽象）. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（数学运算）. 　　 知识点一｜复数的三角形式 问题1　我们知道复数z＝a＋bi可以由向量在两坐标轴方向上的投影a，b来确定，向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？ 【知识梳理】 1.定义：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成　　　　　　　　的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的　　　　.　　　　　　叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式. 2.辐角的主值：我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作arg z，即0≤arg z＜2π. 　　提醒：辐角和辐角主值的区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个；辐角和辐角主值的联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 角度1　复数的代数形式化为三角形式 【例1】　（链接教材P84例1）将下列复数的代数形式化成三角形式： （1）＋i； （2）2－2i. 【规律方法】 将复数的代数形式化为三角形式的步骤 （1）求复数的模； （2）确定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 角度2　复数的三角形式化成代数形式 【例2】　（链接教材P85例2）把下列复数的三角形式化成代数形式： （1）4（cos ＋isin ）； （2）3（cos ＋isin ）. 【规律方法】 将复数的三角形式化为代数形式的方法 复数三角形式为z＝r（cos θ＋isin θ），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos θ，y＝rsin θ. 训练1　（1）下列复数是复数三角形式表示的是（　　） A. B.－ C. D.cosπ＋isinπ （2）复数的代数形式为　　　　. 知识点二｜复数三角形式的乘法法则与几何意义 问题2　根据复数乘法定义，两复数z1＝r1（cos θ1＋isin θ1）和z2＝r2（cos θ2＋isin θ2）相乘的结果是什么呢？ 【知识梳理】 1.乘法运算法则 设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），则z1z2＝　　 　　　　　　　　. 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的　　　　，积的辐角等于各复数的辐角的　　　　. 2.复数乘法的几何意义 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角　　　　（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的　　　　倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2 （如图）. 【例3】　（链接教材P87例3）计算： （1）2×； （2）（cos 15°＋isin 15°）×4（cos 135°－isin 135°）. 【规律方法】 两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角.若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后进行相乘. 训练2　（1）设复数2－i和3－i的辐角的主值分别为α和β，则α＋β＝（　　） A.135° B.315° C.675° D.585° （2）设向量对应复数z＝－－i，把绕原点O逆时针旋转120°得到，则对应的复数为　　　　（用代数形式表示）.　 知识点三｜复数三角形式的除法法则与几何意义 问题3　根据复数除法定义，两复数z1＝r1（cos θ1＋isin θ1）和z2＝r2（cos θ2＋isin θ2）（z2≠0）相除的结果是什么呢？ 【知识梳理】 1.除法运算法则 设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），且z2≠0，则＝　　　　　　　　　　　　　　　　. 即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的　　　　　　，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的　　　　　. 2.复数除法的几何意义 两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角　　　　（如果θ2＜0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的　　　　，得到向量，表示的复数就是商（如图）. 【例4】　（链接教材P88例5）计算： （1）（cos 225°＋isin 225°）÷[（cos 150°＋isin 150°）]； （2）4÷（cos ＋isin ）. 【规律方法】 两个三角形式的复数相除（除数不为0），则商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.出现复数的代数形式先转化为复数的三角形式再计算. 训练3　计算：2i÷. 欧拉公式及应用 　欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”. 【典例】　（1）欧拉公式ei θ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足（eiπ＋i）·z＝i，则z的虚部为（　　） A. B.－ C.1 D.－1 （2）〔多选〕欧拉公式exi＝cos x＋isin x（其中i为虚数单位，x∈R），依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　） A.复数e2i对应的点位于第三象限 B.为纯虚数 C.复数的模等于 D.的共轭复数为－i 【迁移应用】 欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ（e＝2.718 28…），被誉为数学上优美的数学公式.已知＝＋i，则θ＝（　　） A.＋2kπ（k∈Z） B.＋2kπ（k∈Z） C.＋kπ（k∈Z） D.＋kπ（k∈Z） 1.复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（　　） A.z＝（sin 45°＋icos 45°） B.z＝（cos 45°＋isin 45°） C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）] D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）] 2.（cos ＋isin ）（cos ＋isin ）＝　　　　. 3.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z＝　　　　. 4.计算＝　　　　. 1.理清单 （1）复数的三角形式； （2）复数三角形式的乘、除运算及其几何意义. 2.应体会 运用复数乘、除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系. 3.避易错 （1）复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连； （2）利用复数三角形式乘、除时，复数必须是三角形式的标准形式. 提示：完成课后作业　第七章　7.3* 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3*　复数的三角表示 知识点一 问题1　提示：可以由复数z的模和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量所在射线为终边的角来表示复数z. 知识梳理 1.r（cos θ＋isin θ）　辐角　r（cos θ＋isin θ） 知识点二 问题2　提示：z1·z2＝r1（cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2） ＝r1r2[（cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2）＋i（sin θ1cos θ2＋cos θ1sin θ2）] ＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]. 知识梳理 1.r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]　积　和 2.θ2　r2　 知识点三 问题3　提示：＝ ＝ ＝[（cos θ1cos θ2＋sin θ1sin θ2）－i（cos θ1sin θ2－sin θ1cos θ2）]＝[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]. 知识梳理 1.[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]　商　差 2.θ2　 7.3*　复数的三角表示 【例1】　解：（1）r＝＝2，所以cos θ＝， 因为与＋i对应的点在第一象限，所以arg（＋i）＝， 故＋i＝2. （2）r＝＝2，所以cos θ＝， 因为与2－2i对应的点在第四象限，所以arg（2－2i）＝， 故2－2i＝2. 【例2】　解：（1）4（cos ＋isin ）＝4cos ＋（4sin ）i＝4×＋（4×）i＝2＋2i. （2）3（cos ＋isin ）＝3cos ＋（3sin ）i＝3×（－）＋3×（－）i＝－－i. 训练1　（1）D　（2）1－i　解析：（1）选项A，cos与isin之间要用“＋”连接，不是用“－”连接；选项B，－＜0不符合r≥0的要求；选项C，icosπ与sinπ是用“＋”连接但不是cosπ＋isinπ的形式，故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D. （2）（cosπ＋isinπ）＝［cos（π＋π）＋isin（π＋π）］＝（－cosπ－isinπ）＝（－i）＝1－i. 【例3】　解：（1）原式＝2（cos＋isin）＝－2i. （2）原式＝（cos 15°＋isin 15°）×4[cos（－135°）＋isin（－135°）] ＝2[cos（－120°）＋isin（－120°）] ＝－1－i. 训练2　（1）C　（2）－i　解析：（1）根据题意有2－i＝（cos α＋isin α），3－i＝（cos β＋isin β），则（cos α＋isin α）×（cos β＋isin β）＝5[cos（α＋β）＋isin（α＋β）].又（2－i）（3－i）＝5－5i，所以cos（α＋β）＝，sin（α＋β）＝－，而270°＜α＜360°，270°＜β＜360°，所以α＋β＝675°. （2）根据复数乘法的几何意义，所求的复数是z＝－－i乘一个复数z0的积，z0的模是1，辐角的主值是120°，故所求复数是（－－i）·（cos 120°＋isin 120°）＝（－－i）（－＋i）＝－i. 【例4】　解：（1）（cos 225°＋isin 225°）÷[（cos 150°＋isin 150°）]＝[cos（225°－150°）＋isin（225°－150°）]＝（cos 75°＋isin 75°）＝（＋i）＝＋i. （2）4÷（cos ＋isin ）＝4（cos 0＋isin 0）÷（cos ＋isin ）＝4［cos（－）＋isin（－）］＝2－2i.　 训练3　解：2i÷ ＝2（cos 90°＋isin 90°）÷［（cos 30°＋isin 30°）］＝4（cos 60°＋isin 60°）＝2＋2i.　 教材挖掘 【典例】　（1）B　（2）BC 解析：（1）由欧拉公式知eiπ＝cos π＋isin π＝－1，∴（eiπ＋i）·z＝（－1＋i）·z＝i，∴z＝＝＝＝－i，∴z的虚部为－.故选B. （2）由题知e2i＝cos 2＋isin 2，而cos 2＜0，sin 2＞0，则复数e2i对应的点位于第二象限，故A错误；＝cos＋isin＝i，则为纯虚数，故B正确；＝＝＝＋i，则的模为 ＝＝，故C正确；＝cos＋isin＝＋i，其共轭复数为－i，故D错误.故选B、C. 迁移应用 B　∵eiθ＝cos θ＋isin θ，∴＝cos（θ＋）＋isin（θ＋）＝＋i，∴⇒θ＋＝2kπ＋（k∈Z），∴θ＝2kπ＋（k∈Z）.故选B. 随堂检测 1.B　依题意得r＝＝，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cos θ＝，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确.故选B. 2.（cos ＋isin ）　解析：原式＝［cos（＋）＋isin（＋）］＝（cos ＋isin ）. 3.1＋i　解析：由题意知，z＝2（cos＋isin）＝1＋i. 4.1＋i　解析： ＝ ＝2＝1＋i. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $