7.3 复数的三角表示 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是(　　) A．4 B．4 C．4 D．－4 解析：选B.复数的三角形式为z＝r(cos θ＋isin θ)，r≥0，结合选项知B满足． 2．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．－ D．－ 解析：选B.z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，arg z＝，所以所以a＝－1. 3．2(cos 75°＋isin 75°)×＝(　　) A．－＋i B．＋i C．－i D．＋i 解析：选B.因为－i＝(－i)＝(cos 315°＋isin 315°)，所以2(cos 75°＋isin 75°)×＝2(cos 75°＋isin 75°)×(cos 315°＋isin 315°)＝(cos 390°＋isin 390°)＝＋i. 4．已知A，B，C是△ABC的内角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是(　　) A.不等边的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 解析：选C.由题意知A，B，C是△ABC的内角，故A＋B＋C＝π，且arg z＝A－B＋C＝π－B－B＝0，则B＝. 5．(2025·长春模拟)如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ＋isin θ)的辐角主值是(　　) A．θ＋ B．θ＋ C．θ－ D．θ＋ 解析：选B.(1＋i)(cos θ＋isin θ)＝(cos ＋isin)·(cos θ＋isin θ)＝，因为θ∈，所以θ＋∈，所以该复数的辐角主值是θ＋. 6．(多选)已知单位向量，分别对应复数z1，z2，且·＝0，则可能为(　　) A．i B．1 C．－1 D．－i 解析：选AD.因为单位向量，分别对应复数z1，z2，设复数z1＝cos θ1＋isin θ1，z2＝cos θ2＋isin θ2，因为·＝0，所以⊥，即θ1－θ2＝±，所以＝＝cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)＝cos ＋isin＝±i.故选AD. 7．复数的三角形式为__________．(辐角取主值) 解析：＝＝－－i＝(－－i)＝(cos ＋isin ). 答案：(cos ＋isin ) 8．已知复数z满足等式||＝，且arg z＝，则z＝________．(用代数形式表示) 解析：设z＝r(cos ＋isin ) ＝r＋ri(r>0)， 则＝||＝ ＝. 即r－1＝0，解得r＝，所以z＝1＋i. 答案：1＋i 9．如图，向量对应的复数为－1＋i，把绕点O按逆时针方向旋转150°，得到，则向量对应的复数为__________．(用代数形式表示) 解析：向量对应的复数为(－1＋i)·(cos 150°＋isin 150°)＝(－1＋i)·(－＋i)＝－i. 答案：－i 10．(13分)计算： (1)3×2；(4分) (2)(－＋i)×；(4分) (3)(1－i)÷.(5分) 解：(1)3×2(cos －isin )＝6(cos ＋isin )× ＝6＝6. (2)× ＝×[cos ＋isin] ＝cos ＋isin ＝i. (3)(1－i)÷＝[cos (－)＋isin(－)]÷(cos ＋isin )＝[cos (－－)＋isin]＝[(×－×)－i]＝－i. 11．已知z＝(1－i)×，则arg z＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.z＝(1－i)×(－cos ＋isin )＝(1－i)×＝－＋i＋×i－i2＝2i＝2，所以arg z＝. 12．(多选)已知在正方形OABC中，O是坐标原点，且点B在x轴的上方，向量对应的复数为2＋i，则(　　) A．点B表示的复数为1＋3i B．向量对应的复数为－1＋2i C．向量对应的复数为1＋2i D．||＝ 解析：选ABD.因为四边形OABC为正方形，且点B在x轴上方，故是由绕点O按逆时针方向旋转45°，再把模变为原来的倍得到的，故向量对应的复数为(2＋i)·(cos 45°＋isin 45°)＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i，即点B表示的复数为1＋3i，选项A正确； 是由向量绕点O按逆时针方向旋转90°得到的，故对应的复数为(2＋i)·(cos 90°＋isin 90°)＝(2＋i)i＝－1＋2i，选项B正确； 对应的复数为对应的复数减去对应的复数，即(－1＋2i)－(1＋3i)＝－2－i，选项C不正确； ||＝||＝，选项D正确． 13．(13分)(2025·合肥月考)如图，若与分别对应复数z1＝1＋2i，z2＝7＋i，求∠Z2OZ1，并判断△OZ1Z2的形状． 解：欲求∠Z2OZ1，可计算. 因为＝＝＝ ＝(cos ＋isin )， 所以∠Z2OZ1＝且＝. 设|OZ1|＝k，则|OZ2|＝2k(k>0)， 由余弦定理， 得|Z1Z2|2＝|OZ1|2＋|OZ2|2－2|OZ1|·|OZ2|·cos ＝k2＋(2k)2－2k·2k·cos ＝3k2， 所以|Z1Z2|＝k， 又k2＋(k)2＝(2k)2， 所以△OZ1Z2为有一锐角为的直角三角形． 14．(15分)设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，且z1·z在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式． 解：因为z1＝＋i＝2(cos ＋isin )， 设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)， 所以z1·z＝2(cos ＋isin )×4(cos 2α＋isin 2α)＝8[cos (2α＋)＋isin (2α＋)]. 由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)， 所以α＝kπ＋(k∈Z). 又α∈(0，π)，所以α＝， 所以z2＝2(cos ＋isin )＝－1＋i. 15．(多选)瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式eix＝cos x＋isin x(x∈R，i为虚数单位)，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有(　　) A．eiπ＋1＝0 B．(＋i)2 025＝－1 C．|eix＋e－ix|≤2 D．－2≤eix－e－ix≤2 解析：选ABC.对于A，当x＝π时，因为eiπ＝cos π＋isin π＝－1，所以eiπ＋1＝0，故A正确；对于B，＝＝＝e675πi＝cos 675π＋isin 675π＝－1，故B正确；对于C，由eix＝cos x＋isin x，e－ix＝cos (－x)＋isin(－x)＝cos x－isin x，所以eix＋e－ix＝2cos x，得出|eix＋e－ix|＝|2cos x|≤2，故C正确； 对于D，由C分析得eix－e－ix＝2isin x，推不出－2≤eix－e－ix≤2，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $