7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 知识点一 知识梳理 1.（1）（a＋c）＋（b＋d）i　（2）（a－c）＋（b－d）i 2.（1）z2＋z1　（2）z1＋（z2＋z3） 知识点二 问题1　提示：设＝（a，b），＝（c，d），则＋＝（a，b）＋（c，d）＝（a＋c，b＋d）. 几何意义是以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线. 知识梳理 z1＋z2　z1－z2 提能点 问题2　提示：因为复平面内的点Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）对应的复数分别为z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为｜Z1Z2｜＝｜｜＝｜z2－z1｜＝｜（x2＋y2i）－（x1＋y1i）｜＝｜（x2－x1）＋（y2－y1）i｜＝. 7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 【例1】　解：（1）（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）＝[8－（－7）＋3]＋（－2－5＋7）i＝15＋3. （2）∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， ∴（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i， ∴∴ ∴z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i. 训练1　（1）B　（2）4＋i 解析：（1）由复数（1＋2i）－（3－4i）＝－2＋6i，可得其在复平面内对应的点为（－2，6），位于第二象限.故选B. （2）法一　设z＝x＋yi（x，y∈R），因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋1－3i＝5－2i，即解得所以z＝4＋i. 法二　因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝（5－2i）－（1－3i）＝4＋i. 【例2】　解：（1）因为＝－，所以对应的复数为－3－2i. （2）因为＝－，所以对应的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i. （3）因为＝＋，所以对应的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i， 所以｜｜＝＝. 训练2　（1）B　（2）　解析：（1）由题意得A（0，1），B（1，0），C（4，2），则＝（－1，1），＝（3，2），∴＝＋＝（2，3），∴｜BD｜＝｜｜＝＝. （2）∵＝＋，∴对应的复数为（－2＋i）＋（3＋2i）＝1＋3i，∴｜｜＝＝. 【例3】　解：（1）由题意可知｜z－（－3－4i）｜＝2， 即复数z在复平面内对应的点P与复数－3－4i在复平面内对应的点Q的距离为2，复数z在复平面内对应的点在复平面内的轨迹为如图所示的圆心为Q（－3，－4），半径为2的圆. （2）由图可知，｜z｜的最大值为圆Q上的点到原点O的最大距离，显然在点M处取得， 则｜z｜的最大值为＋2＝7. 训练3　（1）9π　（2）　解析：（1）由条件知｜z－i｜＝3，所以点Z的轨迹是以点（0，1）为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π. （2）因为由｜z＋1｜－｜z－i｜＝0，得｜z＋1｜＝｜z－i｜，所以复数z表示以A（－1，0），B（0，1）为端点的线段的垂直平分线OM，设复数－i对应点C（0，－1），｜z＋i｜表示点Z到点C（0，－1）的距离.当CM⊥OM时，｜z＋i｜取到最小值｜CM｜.又｜CM｜＝｜OC｜sin 45°＝，所以｜z＋i｜的最小值为. 随堂检测 1.C　（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝－6＋7i.故选C. 2.A　依题意得z＋w＝4＋3i，则＝4－3i，所以其虚部为－3.故选A. 3.C　因为z－3i＝3＋i，所以z＝3＋i＋3i＝3＋4i，所以｜z｜＝＝5.故选C. 4.解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i. （2）在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 1.通过实例，结合实数的加、减运算法则，理解复数代数形式的加、减运算法则（数学抽象）. 2.结合向量的加、减运算，明确复数代数形式的加、减运算的几何意义（数学运算）. 　　 知识点一｜复数的加、减运算 【知识梳理】 1.运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则 （1）z1＋z2＝　　　　　　　　； （2）z1－z2＝　　　　　　　　. 2.加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 （1）交换律：z1＋z2＝　　　　； （2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝　　　　　　　　. 【例1】　（链接教材P76例1）（1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）； （2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 【规律方法】 复数加、减运算的解题思路 复数与复数相加减，类似于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）. 训练1　（1）复数（1＋2i）－（3－4i）在复平面内对应的点在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （2）已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝　　　　. 知识点二｜复数加、减运算的几何意义 问题1　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 【知识梳理】 如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数　　　　对应，向量与复数　　　　对应. 【例2】　（链接教材P77例2）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求： （1）对应的复数； （2）对应的复数； （3）对应的复数及｜｜的大小. 【规律方法】 1.复数z与复平面内的向量是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行运算，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则. 2.类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算. 训练2　（1）已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，则｜BD｜＝（　　） A.5 B. C. D. （2）已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则｜｜＝　　　　. 提能点｜复数模的最值问题 问题2　根据复数及其运算的几何意义，你能求出复平面内的两点Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）之间的距离吗？ 【例3】　复数z满足｜z＋3＋4i｜＝2，且复数z在复平面内的对应点为P. （1）确定点P的集合构成图形的形状； （2）求｜z｜的最大值. 【规律方法】 两个复数差的模的几何意义 （1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式； （2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 训练3　（1）若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为　　　　； （2）设z∈C，且｜z＋1｜－｜z－i｜＝0，则｜z＋i｜的最小值为　　　　. 1.计算（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝（　　） A.－6－7i　 B.6＋7i　 C.－6＋7i　 D.6－7i 2.设复数z＝1＋i，w＝3＋2i，则的虚部是（　　） A.－3 B.3 C.－3i D.3i 3.若z－3i＝3＋i，则｜z｜＝（　　） A.3 B. C.5 D. 4.已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i. （1）求z1－z2； （2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量. 1.理清单 （1）复数代数形式的加、减运算法则及运算律； （2）复数加、减运算的几何意义； （3）复数模的最值问题. 2.应体会 （1）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据； （2）d＝｜z1－z2｜表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值. 3.避易错 （1）复数的差对应向量的方向； （2）两个复数差的模的几何意义. 提示：完成课后作业　第七章　7.2　7.2.1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $