6.4.3 第1课时 余弦定理(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系（逻辑推理）. 2.掌握余弦定理、正弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题（数学运算）. 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题（数学建模）. 第一课时　余弦定理 知识点一｜余弦定理的推导 问题1　（1）在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ （2）在问题（1）的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ （3）类比问题（1）的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用a，c和B表示b的相应的表达式. 【知识梳理】 余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边　　　　　　减去这两边与它们夹角的余弦的　　　　　　 公式表达 a2＝　　　　　　　　　　　　　　　，b2＝　　　　　　　　　　　　　　　，c2＝　　　　　　　　　　　　　　　　 　　提醒：（1）适用范围：任意三角形；（2）结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. 知识点二｜已知两边及一角解三角形 【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝2，A＝30°，则a＝　　　　； （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝　　　　. 【规律方法】 已知两边及一角解三角形的两种情况 （1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角； （2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. 训练1　（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝（　　） A. B.6 C.7 D.8 （2）已知△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，则AC＝　　　　. 知识点三｜已知三边解三角形 问题2　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？ 【知识梳理】 1.余弦定理的推论 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2.解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的　　　　.已知三角形的几个元素求　　　　　　的过程叫做解三角形. 【例2】　（链接教材P43例5、P44例6）（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝（　　） A. B. C. D. （2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a∶b∶c＝4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【规律方法】 已知三边求解三角形的方法 （1）已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理求解； （2）若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解.在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角. 训练2　（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝3，b＝，c＝7，则A＋C的值为（　　） A. B. C. D. （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2－bc，则A＝（　　） A.135° B.60°或120° C.45° D.135°或45° （3）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形. 提能点｜判断三角形的形状 问题3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 【例3】　在△ABC中，若cos A－cos B＋＝0，则△ABC的形状是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【规律方法】 判断三角形形状的两条思考路线 （1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； （2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 训练3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 1.在△ABC中，AC＝2AB＝4，cos A＝，则BC＝（　　） A.2 B.3 C. D.4 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝1，c＝2，则A＝（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 3.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝bcos A，则△ABC一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，解这个三角形. 1.理清单 （1）余弦定理及推论； （2）利用余弦定理解三角形； （3）应用余弦定理判断三角形的形状. 2.应体会 在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，体现了转化与化归、方程的思想方法. 3.避易错 三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边. 提示：完成课后作业　第六章　6.4　6.4.3　第一课时 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第一课时　余弦定理 知识点一 问题1　（1）提示：如图，设＝a，＝b，＝c， 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用｜a｜，｜b｜和C表示｜c｜， 联想到数量积的性质c·c＝｜c｜2， 可以考虑用向量c（即a－b）与其自身作数量积运算. 由①得｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b） ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2｜a｜｜b｜cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C. （2）提示：a2＋b2＝c2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例. （3）提示：类比问题（1）的推理过程，同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B. 知识梳理 平方的和　积的两倍　b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C 知识点三 问题2　提示：根据余弦定理的变形得cos A＝，cos B＝，cos C＝. 知识梳理 2.元素　其他元素 提能点 问题3　提示：A为直角⇔a2＝b2＋c2； A为锐角⇔b2＋c2＞a2（前提是b，c是两个较小边）； A为钝角⇔b2＋c2＜a2. 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第一课时　余弦定理 【例1】　（1）　（2）3　解析：（1）由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋（2）2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝. （2）由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A，因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0，所以b＝3（b＝－舍去）. 训练1　（1）A　（2）1或2 解析：（1）因为A＋C＝，所以B＝π－（A＋C）＝，因为a＝3，c＝2，所以由余弦定理得b＝＝＝. （2）在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB＝c＝，BC＝a＝1，cos A＝，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或AC＝2. 【例2】　（1）C　（2）A　解析：（1）因为a＝2，b＝3，c＝，所以cos C＝＝＝.因为C∈（0，π），所以C＝.故选C. （2）根据题意，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大角为C，所以cos C＝＝＝.故选A. 训练2　（1）C　（2）C　解析：（1）在△ABC中，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，又0＜B＜π，所以B＝，所以A＋C＝.故选C. （2）a2－b2＝c2－bc，由余弦定理的推论得cos A＝＝，故A＝45°.故选C. （3）解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B， 即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6. 当c＝3时，cos A＝＝－， 因为0°＜A＜180°， 所以A＝120°， 故C＝180°－120°－30°＝30°； 当c＝6时，cos A＝＝， 因为0°＜A＜180°， 所以A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°. 综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3. 【例3】　D　由cos A－cos B＋＝0，得a－ccos B＝b－ccos A，由余弦定理的推论得a－c·＝b－c·，化简得＝.当a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2时，△ABC为直角三角形；当a2＋b2－c2≠0时，a＝b，则△ABC为等腰三角形.故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D. 训练3　D　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即（b－c）2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形. 随堂检测 1.B　由已知及余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋16－2×2×4×＝18.故BC＝3. 2.C　由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，又A为△ABC的内角，所以A＝60°. 3.C　由余弦定理有c＝b·，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC一定是直角三角形.故选C. 4.解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得（）2＝a2＋（）2－2a××cos 30°， 即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2. 当a＝时，A＝30°，C＝120°； 当a＝2时，a2＝20＝b2＋c2，所以该三角形为直角三角形，且A＝90°，C＝60°. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $