6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算（数学运算）. 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直（逻辑推理）. 　　 知识点一｜平面向量数量积的坐标表示 问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能给出a·b的值吗？ 【知识梳理】 向量数量积的坐标表示 （1）语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和； （2）坐标表示：已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝　　　　　　. 【例1】　已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）. （1）求a·（a－b）； （2）求（a＋b）·（2a－b）. 【规律方法】 向量数量积坐标运算的技巧 （1）两向量进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：①a2＝a·a；②（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；③（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2； （2）在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积. 训练1　（1）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（　　） A.6 B.5 C.4 D.3 （2）在平面直角坐标系Oxy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，－2），＝（2，1），则·＝（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 知识点二｜平面向量的模 问题2　若向量a＝（x，y），你能计算出向量a的模吗？ 【知识梳理】 1.向量模的坐标公式 若a＝（x，y），则｜a｜2＝　　　　　，｜a｜＝. 2.两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式 ｜｜＝　　　　　　　　　　　. 【例2】　（1）已知向量a＝（1，0），b＝（2，2），则｜a－2b｜＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 （2）已知，均为单位向量，且＋2＝（1，1），则｜｜＝（　　） A. B. C. D. 【规律方法】 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝. 训练2　已知向量a＝（2，m），b＝（3，6），若｜3a＋b｜＝｜3a－b｜，则实数m的值为（　　） A.1 B.－1 C.4 D.－4 知识点三｜平面向量的夹角与垂直 问题3　你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当夹角为时，得到的结论是什么？ 【知识梳理】 设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹角. （1）cos θ＝＝； （2）a⊥b⇔　　　　　　　　　　. 【例3】　（链接教材P35例11）已知a＝（4，3），b＝（－1，2）. （1）求a与b夹角的余弦值； （2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值. 【规律方法】 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ； （2）注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 训练3　（1）已知向量a＝（1，1），2a＋b＝（4，2），则向量a与b的夹角为（　　） A. B. C. D. （2）已知A，B，C是平面直角坐标系内的三点，若＝（2，1），＝（3，－6），则△ABC的面积为（　　） A.15 B.12 C. D.6 1.已知a＝（－4，3），b＝（5，6），则3｜a｜2－4a·b＝（　　） A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知向量a＝（1，－2），b＝（m，1），若a⊥b，则b与a＋b夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D.－ 3.设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则｜3a＋b｜＝　　　　. 4.已知点A（0，1），B（1，－2），向量＝（4，－1），求·及｜｜. 1.理清单 （1）平面向量数量积的坐标表示； （2）平面向量的模与夹角（垂直）问题. 2.应体会 应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、平行、夹角及长度等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法. 3.避易错 （1）易混淆平面向量平行与垂直的坐标表示； （2）在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况. 提示：完成课后作业　第六章　6.3　6.3.5 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 知识点一 问题1提示：根据向量数量积的定义，易得i·i=1,j·=1,i·=0. ".a=xi+y,b=xi+yi, ∴.a·b=(xi+yWi)·(x2i+y2j =x1x22+x1y2i·j+x2yj·i+y1y2j =x1x2+y1y2. 知识梳理 (2)x1x2+y1y2 知识点二 问题2提示：|al=√a下=Vaa=√(xi+yj=x2+y2 知识梳理 1.x2+y2 2.Vx2-名P+y2y1P 知识点三 问题3提示：若两非零向量a=(,),b=(x,2),a与b的夹角为0，则c0s0=暗 xity ya VΨ+.当夹角为受时，2十吃=0. 知识梳理 (2)x1x2十y1y2=0 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 【例1】解：(1)法一因为a=(-1,2),b=(3,2), 所以a-b=(-4,0). 所以a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4. 法二a·(a-b)=a·a-a·b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. 1/3 独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), 所以(a十b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. 训练1(1)C(2)A解析：(1)由题意可得，8a-b=(6,3),又(8a-b)·c=30,c= (3,x),所以18+3x=30,解得x=4. (2)由AC=AB+AD=(1,-2)+(2,1)=(3,-1)，得AD·AC=(2,1)·(3,- 1)=2×3+1×(-1)=5. 【例2】(1)D(2)C解析：(1)由题知向量a=(1,0),b=(2,2),所以a-2b= (-3,-4)，所以1a-2b1=(-32+(4)2=5,故选D. (2)因为A丽+2AC=(1,1),所以(AB+2AC)2=AB2+4AC2+4AC·AB=2,因为向量 AB,AC均为单位向量，所以1+4+4AC·AB=2,所以AC·AB=-,所以|BC|=|AC B1-c'+B-2AC恋-厚-吗 训练2B法一已知向量a=(2,m),b=(3,6),则3a十b=(9,3m十6)，3a-b= (3,3m-6)，由13a+b1=13a-b1可得V92+3m+62=V32+3m-6,解得m=-1. 法二|3a+b1=|3a-b|,∴.(3a+b)2=(3a-b)2,即9a2+6·b+b2=9a2-6a·b+ b2,.12a·b=0,即a·b=0,∴.2X3+6m=0,m=-1. 【例3】解：(1)因为4·b=4×(-1)+3×2=2, |a|=V4+32=5, 1b1=V(-12+2=5, 设a与b的夹角为0， 所以a0=帝-示-渠。 (2)因为a-b=(4+,3-21),2a+b=(7,8), 又(a-b)⊥(2a+b), 所以7(4+元)十8(3-21)=0，解得=号. 训练3(1)B(2)C解析：(1)由题意得b=2a+b-2a=(2,0),所以a·b=1×2+1× 0=2,易得1b1=2,1a=反，设a与b的夹角为0，则cs=的=底=号，又因为0E [0,元]，所以0=平，故选B. 2/3 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)因为AB=(2,1),AC=(3,-6),所以AB·AC=2X3-6=0,即AB1AC,所以S△ Ac=1A1·1A元1=×V4+1×V9+36=,故选C. 随堂检测 1.D3|a|2-4a·b=3×[(-4)2+32]-4×(-4×5+3×6)=83.故选D. 2.A因为a⊥b,所以a·b=m-2=0,即m=2.所以b=(2,1),a十b=(3,-1),所以 os<6,a叶b>=号=群-店-号.故选A b.(a+b) 2x3-1x1 3.V5解析：a∥b,1Xy-2×(-2)=0,解得y=-4,从而3a十b=(1,2),13a十b1 =5. 4.解：因为AB=(1,-3)，所以AB·A元=1×4+(-3)×(-1)=7， B元=AC-AB=(4,-1)-(1,-3)=(3,2), 所以|B元1=V3+2=V13. 3/3 ·独家授权侵权必究