6.3.1 平面向量基本定理(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3.1　平面向量基本定理 1.理解平面向量基本定理及其意义（数学抽象、直观想象）. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量（逻辑推理、数学运算）. 3.会用平面向量基本定理解决有关向量问题（数学运算）. 　　 知识点一｜平面向量基本定理 问题　（1）如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量； （2）上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 【知识梳理】 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个　　　　向量，那么对于这一平面内的　　　　向量a，　　　　　　　实数λ1，λ2，使a＝　　　　　. 2.基底 若e1，e2　　　　，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 　　提醒：（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一个基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；（2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值. 【例1】　（1）〔多选〕设e1，e2是不共线的两个向量，则下列能作为平面内所有向量的一个基底的有（　　） A.e1与e1＋e2 B.e1－2e2与e2－2e1 C.e1－2e2与4e2－2e1 D.e1＋e2与e1－e2 （2）已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为　　　　. 【规律方法】 对基底的理解 （1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 训练1　〔多选〕设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（　　） A.与 B.与 C.与 D.与 知识点二｜用基底表示向量 【例2】　（链接教材P26例1）如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，用a，b表示，. 【规律方法】 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示；二是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解. 训练2　（1）在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以{b，c}作为基底，则＝（　　） A.b＋c　　　　　 B.c－b C.b－c D.b＋c （2）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，. 提能点｜平面向量基本定理的应用 【例3】　（链接教材P26例2）在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且＝，设＝a，＝b. （1）试用基底{a，b}表示，，； （2）若G为长方形ABCD所在平面内一点，且＝a－b，求证：E，G，F三点不能构成三角形的三个顶点. 【规律方法】 平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理的正用，就是已知一个基底，对平面内任一向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的； （2）平面向量基本定理的逆用，就是选择一个基底并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算解决问题（即求有关参数问题）. 训练3　（1）如图，在三角形ABC中，D是BC边上靠近点C的三等分点，E为AD中点.若＝x＋y，则x＝（　　） A. B.－ C.－ D. （2）如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：E为线段BD的三等分点. 1.如果{a，b}是一个基底，那么下列一组向量不能作为基底的是（　　） A.a＋b与a－b B.a＋2b与2a＋b C.a＋b与－a－b D.a与－b 2.设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为（　　） A.0，0 B.1，1 C.3，0 D.3，4 3.如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（　　） A.－2e1－4e2 B.－4e1－2e2 C.e2－3e1 D.－e2＋3e1 4.如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线的交点是M，设＝a，＝b，试用a，b表示，，与. 1.理清单 （1）平面向量基本定理； （2）用基底表示向量； （3）平面向量基本定理的应用. 2.应体会 平面向量基本定理的应用，实质是利用三角形法则、平行四边形法则进行线性运算，同时也体现了化归与转化、数形结合的思想. 3.避易错 基底中的向量必须是不共线的两个向量. 提示：完成课后作业　第六章　6.3　6.3.1 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 知识点一 问题　（1）提示：如图，＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2. （2）提示：分解方法唯一.事实上，若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即（λ1－μ1）e1＝（μ2－λ2）e2.因为e1与e2不共线，所以λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，所以λ1＝μ1，λ2＝μ2. 知识梳理 1.不共线　任一　有且只有一对　λ1e1＋λ2e2 2.不共线 第二课时　向量数量积的运算及应用 【例1】　（1）－　（2）－　解析：（1）因为单位向量e1，e2的夹角为120°，且a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，所以a·b＝（－e1＋2e2）·（2e1＋e2）＝－2＋3e1·e2＋2＝－2＋3×1×1×cos 120°＋2＝－. （2）由已知得＝，即－＝（－），所以＝＋.又＝－，所以·＝（＋）·（－）＝－｜｜2＋｜｜2＋·＝－×4＋×1＋×2×1×cos 120°＝－. 训练1　（1）192　（2）－ 解析：（1）（a＋2b）·（a＋3b）＝a·a＋5a·b＋6b·b＝｜a｜2＋5a·b＋6｜b｜2＝｜a｜2＋5｜a｜｜b｜cos 60°＋6｜b｜2＝62＋5×6×4×＋6×42＝192. （2）·＝（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝－1＝－. 【例2】　（1）A　（2）B　解析：（1）因为＝（＋）＝（2a＋2b＋2a－6b）＝2a－2b，则｜｜2＝4（a－b）2＝4（a2－2a·b＋b2）＝4（3－2××2×cos ＋4）＝4，即｜｜＝2. （2）法一　｜a＋2b｜＝ ＝ ＝＝＝2. 法二（数形结合法）　由｜a｜＝｜2b｜＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则｜a＋2b｜＝｜｜.又∠AOB＝60°，所以｜a＋2b｜＝2. 训练2　B　由题意得｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2－2｜a｜·｜b｜cos 60°＝，即1＋｜b｜2－｜b｜＝，解得｜b｜＝. 【例3】　解：设a与b的夹角为θ，由题意得（3a－2b）2＝7， ∴9｜a｜2＋4｜b｜2－12a·b＝7， 又｜a｜＝｜b｜＝1，∴a·b＝， ∴｜a｜｜b｜cos θ＝，即cos θ＝. 又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为. 【例4】　解：由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1. 若c⊥d，则c·d＝0. ∴c·d＝（a＋5b）·（ma－2b）＝ma2＋（5m－2）a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0， ∴m＝. 故当m＝时，c与d垂直. 训练3　（1）C　由＋＝0，得平面四边形ABCD是平行四边形.由（－）·＝0，得·＝0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形. （2）解：设a与b的夹角为θ，由已知得（a＋2b）·（3a－b）＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos θ－8＝0， 所以cos θ＝， 又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°. 随堂检测 1.B　a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3. 2.D　由｜a－b｜＝可得（a－b）2＝，即｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝，故1－1＋｜b｜2＝，即｜b｜＝.设a与b的夹角为θ，则a·b＝｜a｜·｜b｜cos θ＝，即cos θ＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°. 3.－4　解析：由题意知，＝＝，所以m·n＝｜n｜2＝n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4. 4.解：（1）因为｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝3＋， 所以｜a＋b｜＝. （2）由（a－b）·a＝0，得a2＝a·b， 设a与b的夹角为θ， 所以cos θ＝＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°. 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 【例1】　（1）ABD　（2）（－∞，4）∪（4，＋∞）　解析：（1）由题意知e1，e2均不为零向量.设e1＋e2＝λe1，则无解，所以e1＋e2与e1不共线，A正确；同理可得B、D正确；因为e1－2e2＝－（4e2－2e1），所以e1－2e2与4e2－2e1共线，故C不正确.故选A、B、D. （2）若{a，b}能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，则a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴实数λ的取值范围为（－∞，4）∪（4，＋∞）. 训练1　AC　寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中，与不共线，与不共线，而∥，∥，故A、C选项可作为基底. 【例2】　解：法一　设AC，BD交于点O， 则有＝＝＝a，＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b. 法二　设＝x，＝y，则＝＝y. 又所以 解得x＝a－b，y＝a＋b， 即＝a－b，＝a＋b. 训练2　（1）A　因为＝2，所以－＝2（－），所以－c＝2（b－），所以＝b＋c.故选A. （2）解：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点. 所以＝＝＝b. ＝＋＋＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. 【例3】　解：（1）＝＋＝＋＝＋＝a＋b， ＝＋＝＋＝＋＝a＋b， ＝－＝（a＋b）－（a＋b）＝a－b. （2）证明：＝－＝（a－b）－（a＋b）＝a－b，∴＝2，∴∥， 又与有公共点E，∴E，G，F三点共线， ∴E，G，F三点不能构成三角形的三个顶点. 训练3　（1）C　已知D是BC边上靠近点C的三等分点，所以＝＋.又E为AD中点，所以＝－＝（＋）－＝－＋，所以x＝－.故选C. （2）证明：设＝a，＝b， 则＝－＝b－a， ＝＋＝＋＝b＋a. 因为点A，E，F与点B，D，E分别共线， 所以存在实数λ，μ， 使＝λ，＝μ. 所以＝a＋λb，＝μb－μa. 由＋＝， 得（1－μ）a＋μb＝a＋λb. 因为a，b不共线，所以1－μ＝且μ＝λ， 解得λ＝μ＝，所以＝， 即E为线段BD（靠近D）的一个三等分点. 随堂检测 1.C　由题意知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A、B、D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底. 2.D　因为向量e1与e2不共线，且3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，所以解得故选D. 3.C　如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C. 4.解：因为＝＋＝a＋b， ＝－＝a－b， 所以＝－＝－（a＋b）＝－a－b， ＝＝（a－b）＝a－b， ＝－＝a＋b， ＝－＝－a＋b. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $