6.2.4 第2课时 向量数量积的运算及应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第二课时　向量数量积的运算及应用 知识点一｜向量数量积的运算律 问题　（1）数的乘法运算满足哪些运算律？ （2）向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律？ （3）对于向量a，b，c，（a＋b）·c＝a·c＋b·c成立吗？ 【知识梳理】 1.向量数量积的运算律 （1）a·b＝　　　　（交换律）； （2）（λa）·b＝　　　　＝　　　　（数乘结合律）； （3）（a＋b）·c＝　　　　　　（分配律）. 2.向量数量积的常用结论 （1）（a±b）2＝｜a±b｜2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2＝a2±2a·b＋b2； （2）a2－b2＝（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2； （3）（a＋b）2＋（a－b）2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）； （4）a2＋b2＝0⇔a＝b＝0. 　　提醒：（1）a·b＝b·c推不出a＝c；（2）a，c不共线时，（a·b）c≠a（b·c），它们表示不同的向量. 【例1】　（1）（链接教材P21例12）已知单位向量e1，e2的夹角为120°，向量a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，则a·b＝　　　　； （2）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC上的一点，DC＝2BD，则·＝　　　　. 【规律方法】 数量积运算的两个关键点 （1）求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题； （2）涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解. 训练1　（1）已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，a与b的夹角为60°，则（a＋2b）·（a＋3b）＝　　　　； （2）已知在边长为1的菱形ABCD中，点E为线段CD的中点，则·＝　　　　. 知识点二｜向量模的计算 【例2】　（1）已知平面向量a，b的夹角为，且｜a｜＝，｜b｜＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则｜｜＝（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 （2）已知平面向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝1，则｜a＋2b｜＝（　　） A. B.2 C.4 D.12 【规律方法】 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝｜a｜2，勿忘记开方； （2）a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 训练2　向量a，b满足｜a｜＝1，｜a－b｜＝，a与b的夹角为60°，则｜b｜＝（　　） A. B. C. D. 知识点三｜向量的夹角与垂直 角度1　两向量的夹角 【例3】　已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1及｜3a－2b｜＝，求a，b的夹角. 【规律方法】 求向量夹角θ的基本步骤 角度2　两向量的垂直 【例4】　（链接教材P21例13）已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，求实数m为何值时，c与d垂直. 【规律方法】 求解向量垂直问题的一般思路 对于非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0是向量中非常重要的性质，其作用主要有：（1）证明两向量垂直；（2）利用a·b＝0列方程求未知数的值；（3）解决平面几何图形中有关垂直的问题. 训练3　（1）若平面四边形ABCD满足＋＝0，（－）·＝0，则该四边形一定是（　　） A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 （2）已知向量a，b，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，（a＋2b）⊥（3a－b），求向量a与b夹角的大小. 1.已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝（　　） A.4 B.3 C.2 D.0 2.已知｜a｜＝1，a·b＝，｜a－b｜＝，则a与b的夹角为（　　） A.120° B.60° C.30° D.45° 3.已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的余弦值为，若n⊥（t m＋n），则实数t＝　　　　. 4.已知｜a｜＝1，｜b｜＝. （1）若a，b的夹角为60°，求｜a＋b｜； （2）若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 1.理清单 （1）向量数量积的运算律； （2）利用数量积求向量的模和夹角； （3）与垂直有关的问题. 2.应体会 求向量的模时，要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用方程思想. 3.避易错 忽略向量数量积不满足结合律、消去律. 提示：完成课后作业　第六章　6.2　6.2.4　第二课时 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　向量数量积的运算及应用 知识点一 问题　（1）提示：①交换律：a·b＝b·a.②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）.③乘法对加法的分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c. （2）提示：满足. （3）提示：成立.证明如下： 如图，任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝a＋b. 设向量a，b，a＋b与c的夹角分别为θ1，θ2，θ，它们在向量c上的投影向量分别为，，，与c方向相同的单位向量为e，则 ＝｜a｜cos θ1e， ＝｜b｜cos θ2e， ＝｜a＋b｜cos θ e. 因为a＝，所以＝. 于是＝＋＝＋， 即｜a＋b｜cos θ e＝｜a｜cos θ1e＋｜b｜cos θ2e. 整理，得（｜a＋b｜cos θ－｜a｜cos θ1－｜b｜cos θ2）e＝0， 所以｜a＋b｜cos θ－｜a｜cos θ1－｜b｜cos θ2＝0， 即｜a＋b｜cos θ＝｜a｜cos θ1＋｜b｜cos θ2， 所以｜a＋b｜｜c｜cos θ＝｜a｜｜c｜cos θ1＋｜b｜｜c｜·cos θ2. 因此（a＋b）·c＝a·c＋b·c. 知识梳理 1.（1）b·a　（2）λ（a·b）　a· （λb）　（3）a·c＋b·c 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $