6.2.3 向量的数乘运算(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.3　向量的数乘运算 知识点一 问题1　提示： a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，（－a）＋（－a）＋（－a）的长度是a的长度的3倍，与a的方向相反. 知识梳理 1.向量　λa 2.（1）｜λ｜｜a｜　（2）相同　相反　0　－a 知识点二 问题2　提示：结合律，分配律. 知识梳理 2.（1）（λμ）a　（2）λa＋μa　（3）λa＋λb 知识点三 问题3　提示：共线，存在. 知识梳理 唯一一个　b＝λa 6.2.3　向量的数乘运算 【例1】　ABC　因为2＞0，所以2a与a的方向相同，且｜2a｜＝2｜a｜，所以A正确；因为5＞0，所以5a与a的方向相同，且｜5a｜＝5｜a｜，又－2＜0，所以－2a与a的方向相反，且｜－2a｜＝2｜a｜，所以－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确；因为－（b－a）与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，所以a－b与－（b－a）为相等向量，所以D不正确. 训练1　（1）D　（2）D　解析：（1）依题意，λ＞0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，但是λ＜0时，a与λa的方向相反，a与－λa的方向相同，故A、B错误；由数乘运算的长度的定义可知｜－λa｜＝｜－λ｜·｜a｜，故C错误，D正确.故选D. （2）因为点C在线段AB上，所以，同向，，反向，故B、C错误；又｜｜＝｜｜，所以A错误；又，反向且｜｜＝｜｜，所以＝－，故D正确.故选D. 【例2】　（1）C　（2）4b－3a　解析：（1）原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.故选C. （2）由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 训练2　（1）B　（2）3a＋2b　4a＋3b 解析：（1）原式＝（a＋4b－4a＋2b）＝（－3a＋6b）＝2b－a. （2）由3x－2y＝a， ① －4x＋3y＝b， ② ①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3（3a＋2b）－2y＝a，即y＝4a＋3b. 【例3】　解：（1）证明：∵＝－＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，＝－＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2， ∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线. （2）∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b）， 即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0. ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 训练3　（1）B　（2）±　解析：（1）∵a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，∴a＋b＝3e1－e2＝c，因此a＋b与c＝6e1－2e2的关系是共线，故选B. （2）∵b－ta与a－tb共线，∴存在实数λ，使得b－ta＝λ（a－tb），即（λ＋t）a＋（－λt－1）b＝0.∵a与b不共线，∴解得t＝±. 【例4】　解：由题意，可知＝＝＝（－）＝（a－b），所以＝＋＝b＋（a－b）＝a＋b. 又＝＝， 所以＝＋＝＋＝＝（＋）＝（a＋b）＝a＋b. 所以＝－＝a＋b－（a＋b）＝a－b. 训练4　a＋b　a－b 解析：把已知中的两个等式看成关于x，y的方程，联立得解得 随堂检测 1.D　∵a＝－b（b≠0），－＜0，∴a和b方向相反，且｜a｜＝｜－b｜＝｜b｜，∴｜b｜＝2｜a｜.故选D. 2.B　2a－3b＋c＝2×4d－3×5d－3d＝8d－15d－3d＝－10d. 3.A　在矩形ABCD中，AB􀰿CD，故＝，又∵E为CD的中点，∴＋＝＋＝＋＝. 4.解：依题意，＝e1＋2e2， 故＝＋＋＝7e1＋（k＋6）e2. 已知A，B，D三点共线，可设＝λ， 则7e1＋（k＋6）e2＝λ（e1＋ke2）， 即（7－λ）e1＝（λk－k－6）e2， 所以解得k＝1. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3　向量的数乘运算 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义（数学抽象、直观想象）. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义（逻辑推理、数学运算）. 　　 知识点一｜向量的数乘运算 问题1　已知非零向量a，作出a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）.它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？ 【知识梳理】 1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个　　　　，这种运算叫做向量的数乘，记作　　　　. 2.规定：（1）｜λa｜＝　　　　； （2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向　　　　；当λ＜0时，λa的方向与a的方向　　　　；当λ＝0时，λa＝　　　　　；（－1）a＝　　　　. 　　提醒：数乘向量仍是向量，实数λ与向量不能相加. 【例1】　〔多选〕已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是（　　） A.2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B.－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的 C.－2a与2a是一对相反向量 D.a－b与－（b－a）是一对相反向量 【规律方法】 1.｜λ｜表示向量长度变化的倍数. 2.λ的符号决定λa与向量a的方向之间的关系. 训练1　（1）设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是（　　） A.a与λa的方向相同 B.a与－λa的方向相反 C.｜－λa｜＝｜－λ｜·a D.｜－λa｜＝｜－λ｜·｜a｜ （2）若点C在线段AB上，且＝，则（　　） A.＝ B.＝－ C.＝ D.＝－ 知识点二｜向量的线性运算 问题2　类比实数的乘法满足的运算律，请猜想向量的数乘有哪些运算律？ 【知识梳理】 1.定义：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 2.向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 （1）λ（μa）＝　　　　； （2）（λ＋μ）a＝　　　　； （3）λ（a＋b）＝　　　　. 特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb. 　　提醒：向量的线性运算结果仍是向量. 【例2】　（链接教材P14例5）（1）若a＝2b＋c，则化简3（a＋2b）－2（3b＋c）－2（a＋b）等于（　　） A.－a B.－b C.－c D.以上都不对 （2）若3（x＋a）＋2（x－2a）－4（x－a＋b）＝0，则x＝　　　　. 【规律方法】 向量线性运算的方法 （1）向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数； （2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移项，合并同类项，系数化为1等步骤求解. 训练2　（1）化简［（2a＋8b）－（4a－2b）］的结果是（　　） A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b （2）已知向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则向量x＝　　　　，y＝　　　.（用a，b表示） 知识点三｜向量共线定理 问题3　如果b＝λa（a≠0），那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa（a≠0）？ 【知识梳理】 向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在　　　　　　实数λ，使　　　　. 　　提醒：（1）向量共线定理中规定a≠0，当a＝0时，λ未必存在；（2）λ的值是唯一存在的. 【例3】　（链接教材P15例7、P16例8）设a，b是不共线的两个非零向量. （1）若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； （2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. 【规律方法】 1.利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 2.证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ（或＝λ等）即可. 　　提醒：若向量，，的终点A，B，C共线，则存在实数x，y，且x＋y＝1，使得＝x＋y，反之也成立. 训练3　（1）已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是（　　） A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 （2）已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，a－tb共线，则实数t＝　　　　. 提能点｜用已知向量表示未知向量 【例4】　（链接教材P14例6）如图，在平行四边形OADB中，OD与AB交于点C，M，N分别是AB，OD上的点，且＝，＝，设＝a，＝b，试用a，b表示，，. 【规律方法】 用已知向量表示未知向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 训练4　已知5x＋2y＝a，3x－y＝b，用向量a，b表示x，y，则x＝　　　　，y＝　　　　. 1.若a＝－b（b≠0），则（　　） A.a和b方向相同，｜a｜＝2｜b｜ B.a和b方向相同，｜b｜＝2｜a｜ C.a和b方向相反，｜a｜＝2｜b｜ D.a和b方向相反，｜b｜＝2｜a｜ 2.已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c＝（　　） A.10d B.－10d C.20d D.－20d 3.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则＋＝（　　） A. B. C. D. 4.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，求实数k的值. 1.理清单 （1）向量的数乘及运算律； （2）向量共线定理； （3）向量共线定理的应用. 2.应体会 借助向量共线定理，解决三点共线及求参数问题，体现了方程思想. 3.避易错 利用向量共线定理易忽略零向量这一特殊情况. 提示：完成课后作业　第六章　6.2　6.2.3 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $