6.2.2 向量的减法运算(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.2　向量的减法运算 知识点一 问题1　（1）提示：互为相反数的两个数符号不同且绝对值相等，相反向量应为长度相等但方向相反的向量. （2）提示：两个向量的差的运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”. 知识梳理 1.（1）相等　相反 2.相反向量 知识点二 问题2　提示：如图，作＝－b，由向量减法与加法的转化规则可知a－b＝a＋（－b）＝＋，以OA和OD为邻边作平行四边形OACD，则＋＝，且AC与OD平行且相等.再结合相反向量的定义，在四边形OCAB中，AC与OB平行且相等，所以四边形OCAB是平行四边形，所以＝＝a－b. 知识梳理 向量b　向量a 6.2.2　向量的减法运算 【例1】　（1）D　（2）A　解析：（1）－＋－＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.故选D. （2）＝＋＝－－＝－m－n.故选A. 训练1　BCD　由相反向量的定义知B、D正确，且C正确，A错误.故选B、C、D. 【例2】　解：法一　如图1所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二　如图2所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 训练2　解：由向量减法的三角形法则， 令a＝，b＝，则a－b＝－＝， 令c＝，所以a－b－c＝－＝.如图中即为a－b－c. 【例3】　解：（1）＋－－＝（－）＋（－）＝＋＝. （2）（＋＋）－（－－） ＝＋－＋ ＝＋＋＋ ＝＋＝0. 训练3　（1）A　（2）　解析：（1）＋－－＝（－）＋（－）＝＋＝－＝0. （2）＋－＝－＝. 【例4】　解：由平行四边形的性质可知＝＝c， 由向量的减法可知＝－＝b－a， 由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c. 训练4　a－b＋c　解析：依题意，在△OAD中，＝＋＝c－b；在△OAB中，＝＋＝c－b＋a，所以＝a－b＋c. 随堂检测 1.B　如图，∵＝＋＝a＋b，∴＝－＝－a－b. 2.B　原式＝（＋）＋（＋）＝＋0＝. 3.2　解析：｜－＋｜＝｜＋＋｜＝｜｜＝2. 4.解：（1）＝－＝c－a. （2）＝－＝d－a. （3）＝－＝d－b. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2　向量的减法运算 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、理解向量减法的几何意义（数学抽象、直观想象）. 2.掌握平面向量的减法运算及运算法则（直观想象、数学运算）. 　　 知识点一｜向量的减法运算 问题1　（1）互为相反数的两个数有什么性质？类比相反数，能否给出“相反向量”的定义？ （2）类比两个实数的减法，如何定义向量的减法？ 【知识梳理】 1.相反向量 （1）定义：与向量a长度　　　　，方向　　　　的向量，叫做a的相反向量，记作－a； （2）性质：①－（－a）＝a； ②零向量的相反向量仍是零向量； ③对于相反向量有：a＋（－a）＝（－a）＋a＝0； ④如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 　　提醒：相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量. 2.向量减法的定义 向量a加上b的　　　　　　，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b）.求两个向量差的运算叫做向量的减法. 　　提醒：两向量的差仍是向量. 【例1】　（1）－＋－＝（　　） A. B. C. D.0 （2）在△ABC中，O为BC的中点，记＝m，＝n，则＝（　　） A.－m－n B.－m＋n C.m－n D.m＋n 【规律方法】 两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行运算，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋（－b）即可. 训练1　〔多选〕下列命题中，正确的是（　　） A.相反向量就是方向相反的向量 B.向量与是相反向量 C.两个向量的差仍是一个向量 D.相反向量是共线向量 知识点二｜向量减法的几何意义 问题2　如果已知＝a，＝b，请利用向量减法与加法的转化规则，用作图的方法得到a－b. 【知识梳理】 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b 可以表示为从　　　　的终点指向　　　　的终点的向量，这就是向量减法的几何意义. 　　提醒：作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”. 【例2】　（链接教材P12例3）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 【规律方法】 作两向量的差向量的步骤 训练2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 知识点三｜向量加、减法的混合运算 【例3】　化简：（1）＋－－； （2）（＋＋）－（－－）. 【规律方法】 1.向量减法运算的常用方法 2.向量加、减法化简的两种形式 （1）首尾相连且为和； （2）起点相同且为差. 　　提醒：做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用. 训练3　（1）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为（　　） A.0 B. C. D. （2）在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则＋－＝　　　　. 提能点｜向量加、减法的综合应用 【例4】　（链接教材P12例4）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 【规律方法】 用已知向量表示其他向量的一般步骤 （1）先观察各个向量在图形中的位置； （2）寻找（或作出）相应的平行四边形或三角形； （3）运用法则找关系； （4）化简结果. 　　提醒：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和或差，即＝＋或＝－（M，N均是同一平面内的任意点）. 训练4　如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝　　　　.（用a，b，c表示） 1.在△ABC中，＝a，＝b，则＝（　　） A.a＋b B.－a－b C.a－b D.b－a 2.－＋＋＝（　　） A. B. C. D. 3.若菱形ABCD的边长为2，则｜－＋｜＝　　　　. 4.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，试用a，b，c，d表示以下向量： （1）； （2）； （3）. 1.理清单 （1）向量减法的定义及几何意义； （2）向量加、减法的混合运算； （3）向量加、减法的综合应用. 2.应体会 向量的减法可以转化为向量的加法来进行，体现转化思想，三角形法则仍然可以进行向量减法运算，体现了数形结合思想. 3.避易错 求两向量的差时，将两向量移至共起点，连接两向量的终点，差向量的方向指向被减向量的终点. 提示：完成课后作业　第六章　6.2　6.2.2 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $