6.2.1 向量的加法运算(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.1　向量的加法运算 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量加法的概念（数学抽象、直观想象）. 2.理解向量加法的几何意义，掌握平面向量的加法运算及运算律（直观想象、数学运算）. 　　 知识点一｜向量加法的定义及三角形法则 问题1　如图所示，小王上午从家（点A）到达了公司（点B），下午从公司（点B）到达了舅舅家（点C）.　 （1）分别用向量表示出小王上午的位移、下午的位移以及这一天的位移； （2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？ 【知识梳理】 1.向量加法的定义 （1）定义：求两个向量　　　　的运算，叫做向量的加法； （2）对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 2.三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的　　　　法则. 　　提醒：（1）两向量的和仍是向量；（2）运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”. 【例1】　如图所示， （1）a＋b＝　　　　； （2）c＋d＝　　　　； （3）a＋b＋d＝　　　　. 【规律方法】 1.求向量和的三角形法则 在平面内任取一点，以该点为起点，将两向量平移到首尾相接，从该起点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接. 2.推广 多个向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋…＋＝. 　　提醒：若＋＋…＋＝0，则该图形为封闭图形. 训练1　点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝（　　） A. B. C. D.0 知识点二｜向量加法的平行四边形法则 问题2　如图，平行四边形ABCD. （1）向量与是什么关系？ （2）向量＋与相等吗？ 【知识梳理】 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和. 　　提醒：应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”，且两个向量不共线. 【例2】　（链接教材P8例1）如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c. 【规律方法】 1.求向量和的平行四边形法则 在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为起点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和. 2.三角形法则与平行四边形法则的适用条件 法则 三角形法则 平行四边形法则 适用 条件 两向量共线或不共线均可，特别是一个向量的终点为另一个向量起点的求和 只适用于两向量不共线的情况，特别是两向量起点相同的求和 训练2　（1）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝（　　） A.　　　　　　 B. C. D. （2）已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜｜＝1，则｜＋｜＝　　　　. 知识点三｜向量加法的运算律 问题3　（1）结合向量加法的三角形法则和平行四边形法则，试探索｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系； （2）我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 【知识梳理】 1.向量加法的运算律 （1）加法交换律：a＋b＝　　　　； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝　　　　. 2.｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系 一般地，我们有｜a＋b｜≤　　　　，当且仅当a，b方向相同时等号成立. 　　提醒：当a，b至少有一个是零向量时等号也成立. 【例3】　化简：（1）＋； （2）＋＋； （3）（＋）＋（＋）＋. 【规律方法】 向量加法运算律的应用策略 （1）多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）； （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 训练3　（1）化简：＋（＋）＋＝（　　） A.　 　 B. C.　 　 D. （2）设｜a｜＝8，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最大值为　　　　. 提能点｜向量加法的实际应用 【例4】　（链接教材P9例2）在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 变式　若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少千米？ 【规律方法】 应用向量解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题； （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题； （3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 训练4　一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置. 向量加法三角形法则的推广 在加拿大蒙特利尔举行的机器人世界杯比赛决赛中，中国浙江大学队以4∶0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队，获得了冠军.机器人在赛场上能“多人协作”进行断球、传球，能够做出假动作迷惑对手，还可以通过人工智能技术对球场局势进行相应的判断. 在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采用迂回战术带球射门，行走的路线如图1，从点A开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队员，成功踢进一球，这名射手激动地跳起了如图2所示的正多边形舞，跳舞的方式是从点P开始，沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，……，最终回到起点. 成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图3的路线组织传球，又进了一球.最终中国浙江大学队踢进4球，以4∶0的成绩获得了机器人足球世界杯冠军！ 【问题探究】 1.当α＝45°时，请画出射手的跳舞轨迹，并说明跳多少步时位移为0，请作图说明（假设机器人跳1步为1米）. 2.要使射手能回到出发点，跳舞时设定的α应满足什么条件？ 【迁移应用】 　甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东30°的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2 m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小. 1.化简＋＋＝（　　） A.0 B.0 C. D. 2.〔多选〕下列等式正确的是（　　） A.a＋（b＋c）＝（a＋c）＋b B.＋＝0 C.＝＋＋ D.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ 3.如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝（　　） A.0 B. C. D. 4.若在△ABC中，AB＝AC＝1，｜＋｜＝，判断△ABC的形状. 1.理清单 （1）向量加法的三角形法则及平行四边形法则； （2）向量三角不等式；d （3）向量加法的运算律； （4）向量加法的实际应用. 2.应体会 三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，体现了数形结合的思想方法. 3.避易错 当a，b，c没有确定都同向时，｜a＋b＋c｜≠｜a｜＋｜b｜＋｜c｜. 提示：完成课后作业　第六章　6.2　6.2.1 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 知识点一 问题1　（1）提示：；；. （2）提示：位移可以看成是位移与合成的，即可以看作是与的和. 知识梳理 1.（1）和　 2.三角形 知识点二 问题2　（1）提示：＝. （2）提示：相等. 知识点三 问题3　（1）提示：①当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜. ②当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜.　 （2）提示：满足.如图1，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，容易发现＝b，＝a，故＝＋＝a＋b.又＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a. 如图2，易得（a＋b）＋c＝＋＝，且a＋（b＋c）＝＋＝，所以（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）. 知识梳理 1.（1）b＋a　（2）a＋（b＋c） 2.｜a｜＋｜b｜ 6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 【例1】　（1）c　（2）f　（3）f　解析：（1）a＋b＝＋＝c. （2）c＋d＝＋＝f. （3）a＋b＋d＝＋＋＝＝f. 训练1　A 【例2】　解：法一（三角形法则）　如图1所示，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a＋b；再作向量＝c，则向量＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求. 法二（平行四边形法则）　如图2所示，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b；再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求. 训练2　（1）C　（2）1　解析：（1）以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝. （2）因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以｜＋｜＝｜｜＝｜｜＝1. 【例3】　解：（1）＋＝＋＝. （2）＋＋＝＋＋＝（＋）＋＝＋＝0. （3）（＋）＋（＋）＋＝（＋）＋＋（＋）＝（＋）＋＝＋＝. 训练3　（1）B　（2）20　解析：（1）＋（＋）＋＝＋＋＋＝.故选B. （2）由｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，得｜a＋b｜≤8＋12＝20.所以最大值为20. 【例4】　解：作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中，｜｜＝｜｜＝｜v水｜＝10 m/min，｜｜＝｜v船｜＝20 m/min， ∴cos α＝＝＝，∴α＝60°. 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向. 变式　解：由题意可知｜｜＝｜｜＝×20＝10m/min＝km/h， 则经过3小时，该船的实际航程是3×＝千米. 训练4　解：如图所示，设，分别是直升飞机的位移， 则表示两次位移的合位移， 即＝＋. 在Rt△ABD中，｜｜＝20 km， ｜｜＝20 km， 则｜｜＝｜｜＋｜｜＝20＋40＝60 km， 在Rt△ACD中， ｜｜＝＝40 km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km处. 教材挖掘 问题探究 1.提示：射手的跳舞轨迹为如图所示的正八边形，其中边长为1 m，跳8步时，射手回到起点，所以当射手跳8n（n∈N*）步时，射手的位移为零. 2.提示：要使射手能回到出发点，只需射手的位移为零.按上述方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，由多边形的内角和定理可得n（180°－α）＝（n－2）·180°，解得α＝，且n≥3，n∈N*.故α应满足的条件为α＝，且n≥3，n∈N*. 迁移应用 解：根据题意画出示意图如图，用A，B，C，D分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，则球的位移为＋＋＝，故球的最终位移为， 依题意知△ABC为正三角形，故｜｜＝｜｜＝AC＝2 m. 又因为∠ACD＝45°，CD＝ m，所以∠ADC＝90°，所以△ACD为等腰直角三角形，所以｜｜＝ m. 随堂检测 1.A　＋＋＝＋＋＝0，故选A. 2.AC　易知A、C正确.B错误，因为＋＝0；D错误，因为只有在a与b至少有一个为零向量或a，b为方向相同的非零向量时等式成立，而其他情况下等式不成立. 3.D　由于＝，故＋＋＝＋＋＝.故选D. 4.解：以AB，AC为邻边作▱ABDC，如图所示. 则｜＋｜＝｜｜＝. 又AB＝AC＝1，且BD＝AC， ∴AB＝BD＝1， 从而△ABD为等腰直角三角形. 因此▱ABDC为正方形， 故△ABC为等腰直角三角形. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $