6.1 平面向量的概念(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.1　平面向量的概念 知识点一 问题1　（1）提示：面积、质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又有方向. （2）提示：可以. 知识梳理 1.（1）大小　方向　（2）大小　方向 2.（1）方向　起点　方向　　｜｜　（2）大小　方向　长度　｜｜　（3）0　0　1个单位 知识点二 问题2　（1）提示：大小相等，方向相同；大小相等，方向相反. （2）提示：大小不等，方向相同. 知识梳理 1.相同或相反　a∥b　平行　0∥a 2.相等　相同　a＝b 6.1　平面向量的概念 【例1】　CD　零向量有方向，只是方向任意，A错误；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，B错误；零向量的长度都是0；单位向量的长度都是1，故C、D正确. 训练1　CD　A中平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，没有长度，不是向量，故A错误；B中的温度都是数量，不是向量，故B错误；C中由于｜a｜＝｜｜＝AB，｜b｜＝｜｜＝BA＝AB，因此有｜a｜＝｜b｜，故C正确；D中向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故D正确. 【例2】　解：（1）如图所示，作出，，. （2）由题意知AB∥CD，AB＝CD， 所以四边形ABCD是平行四边形， 所以AD＝BC＝400 km，所以｜｜＝400 km. 训练2　解：根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求的方向，作线段AB＝4，BC＝6，CD＝4，则向量，和如图所示. 【例3】　解：（1）与相等的向量只有；与相等的向量只有. （2）与共线的向量有，，. （3）与模相等的向量有，，，，，，. 训练3　解：（1）因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF＝BC. 又因为D是BC的中点， 所以与共线的向量有，，，，，，. （2）与的模相等的向量有，，，，. （3）与相等的向量有，. 随堂检测 1.C　由题图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆O的半径.故选C. 2.CD　对于A，单位向量长度都相等，但不一定都共线，A错误；对于B，长度相等的向量，方向不一定相同，故长度相等的向量不一定相等，B错误；对于C，共线的单位向量方向可能相反，C正确；对于D，任意向量与零向量都共线，D正确. 3.AD　因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点，即有＝，A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则｜｜与｜｜不一定相等，B不正确；点A，O，B三点不共线，所以向量与向量的方向必不相同，所以与不相等，C不正确；在平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有与共线，D正确.故选A、D. 4.解：（1）因为｜｜＝3，点A在点O的正西方向，所以向量如图所示. （2）因为｜｜＝3，点B在点O的北偏西45°方向，所以向量如图所示. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1　平面向量的概念 1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景（数学抽象）. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素（直观想象）. 3.理解共线向量和相等向量的含义（直观想象）. 　　 知识点一｜向量的概念及表示 问题1　（1）在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？ （2）在平面直角坐标系中，用箭头表示坐标轴的方向，物理量“位移”“速度”和“力”可以用此方法表示它们的方向吗？ 【知识梳理】 1.向量的概念 （1）向量：既有　　　　又有　　　　的量叫做向量； （2）数量：只有　　　　没有　　　　的量称为数量. 2.向量的表示 （1）有向线段：具有　　　　的线段叫做有向线段，它包含三个要素：　　　　、　　　　、长度.以A为起点、B为终点的有向线段记作　　　　，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作　　　　； （2）向量的表示 　　提醒：（1）向量有两个要素：大小和方向；（2）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；（3）有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示. （3）零向量与单位向量 向量名称 定义 零向量 长度为　　　　的向量，记作　　　　 单位向量 长度等于　　　　　　长度的向量 　　提醒：（1）定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向，零向量的方向是任意的；（2）0与0不同.0表示数量，但0表示零向量. 角度1　向量的概念 【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.零向量没有方向 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的长度都为0 D.两个单位向量的长度相等 【规律方法】 向量有关概念的辨析 （1）判断一个量是否为向量的两个关键条件：①有大小；②有方向.两个条件缺一不可； （2）理解零向量和单位向量应注意的问题：①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向. 　　提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等. 训练1　〔多选〕下列命题正确的是（　　） A.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 B.温度含零上和零下温度，所以温度是向量 C.若向量a＝，b＝，则｜a｜＝｜b｜ D.向量的大小与方向无关 角度2　向量的表示 【例2】　（链接教材P3例1）在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务. （1）作出，，； （2）求｜｜. 【规律方法】 用有向线段表示向量的步骤 训练2　某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方向走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D.试分别作出向量，和. 知识点二｜相等向量与共线向量 问题2　（1）在▱ABCD中，向量与有什么关系？向量与有什么关系？ （2）如图，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ 【知识梳理】 1.平行向量（共线向量）：方向　　　　　　的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行，记作　　　　. 规定：零向量与任意向量　　　　，即对于任意向量a，都有　　　　. 2.相等向量：长度　　　　且方向　　　　的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作　　　　. 　　提醒：（1）若a∥b，b∥c，则a与c未必共线；（2）两向量共线，则两向量所在的直线平行或重合. 【例3】　（链接教材P4例2）如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所标出的向量中. （1）分别写出与，相等的向量； （2）写出与共线的向量； （3）写出与模相等的向量. 【规律方法】 共线向量与相等向量的探求方法 （1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量； （2）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的线段，再确定哪些是同向共线的向量. 　　提醒：在寻找共线向量时不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 训练3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. （1）写出与共线的向量； （2）写出与的模相等的向量； （3）写出与相等的向量. 1.如图，在圆O中，向量，，是（　　） A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等向量 2.〔多选〕在下列四个命题中，正确的是（　　） A.单位向量都共线 B.长度相等的向量都相等 C.共线的单位向量不一定相等 D.任意向量与零向量都共线 3.〔多选〕设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是（　　） A.＝ B.｜｜＝｜｜ C.＝ D.与共线 4.在如图所示的坐标纸中，小方格的边长为1，画出下列向量. （1）｜｜＝3，点A在点O的正西方向； （2）｜｜＝3，点B在点O的北偏西45°方向.　 1.理清单 （1）向量的概念及表示； （2）向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量（平行向量）. 2.应体会 共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，与平面几何中的“共线”“平行”是不同的.判定向量平行（共线），体现数形结合思想. 3.避易错 （1）零向量的模为零，方向不确定，不是没有方向； （2）所有的单位向量模都是1个单位长度，方向未必相同. 提示：完成课后作业　第六章　6.1 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $