9.2.2 总体百分位数的估计(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦总体百分位数的估计，系统梳理百分位数的定义（含四分位数）、样本数据计算步骤（排序、算i值、确定分位数）及统计图表估计方法，构建从概念理解到样本计算再到图表应用的完整学习支架。 以学业水平考试补考分数线情境导入，结合多选、计算等分层例题，培养数学抽象与数据分析能力。通过频率分布直方图估计分位数，强化数学运算与逻辑推理，课中辅助教师系统授课，课后练习题覆盖不同难度，助力学生查漏补缺。

9.2.2　总体百分位数的估计 课标要求 情境导入 1.结合实例，理解百分位数的统计含义（数学抽象）. 2.能用样本估计总体百分位数（数据分析、数学运算）. 　　某省学业水平考试结果揭晓，根据规定，0.8％的同学需要补考，如何确定需要补考的分数线，就是我们本节将要学习的内容. 　　 知识点一｜百分位数的定义 问题　请阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民用户月均用水量标准转化为数学问题具体指什么？你能制定一个具体方案吗？ 提示：寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80％，大于a的占20％. 方案如下： 把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个数据和第81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间[13.6，13.8）内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数＝13.7. 【知识梳理】 1.第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有　p％　的数据　小于或等于　这个值，且至少有（100－p）％的数据大于或等于这个值. 2.四分位数 25％，50％，75％这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为　四分位数　，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 　　提醒：中位数是第50百分位数. 【例1】　〔多选〕下列表述正确的是（　　） A.第p百分位数可以有单位 B.一个总体的四分位数有4个 C.样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确 D.班主任老师说“90％的同学能考取本科院校”，这里的90％是第90百分位数 解析：AC　一个总体的25％分位数，50％分位数，75％分位数是总体的四分位数，有3个，故B错误；90％是指能够考取本科院校的同学与同学总数的百分比，故D错误；A、C正确. 【规律方法】 分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息. 训练1　（1）15％分位数的含义是（　B　） A.总体中任何一个数小于它的可能性是15％ B.总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15％ C.总体中任何一个数大于它的可能性是15％ D.总体中任何一个数大于或等于它的可能性是15％ 解析：（1）根据第p百分位数的定义可知B正确. （2）已知2 026个互不相同的实数，记其上四分位数为a，中位数为b，第75百分位数为c，则（　C　） A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜a＝c D.a＝c＜b 解析：（2）根据百分位数的概念可知，将这2 026个互不相同的实数从小到大排列后，其上四分位数即为第75百分位数，故a＝c，由于这2 026个互不相同的实数最中间两个数为第1 013和第1 014个数，故中位数b为这两个数的平均数，又第50百分位数也为第1 013和第1 014个数的平均数，故b等于第50百分位数，而第50百分位数小于第75百分位数，故b＜a＝c. 知识点二｜由样本数据求百分位数 【知识梳理】 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按　从小到大　排列原始数据； 第2步，计算i＝　n×p％　； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第　j　项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的　平均数　. 【例2】　（链接教材P203例2、P204例3）从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：g）如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. （1）分别求出这组数据的第25，75，95百分位数； 解：（1）将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据，所以12×25％＝3，12×75％＝9，12×95％＝11.4， 则第25百分位数是＝8.15，第75百分位数是＝8.75， 第95百分位数是第12个数据为9.9. （2）请你找出珍珠质量较小的前15％的珍珠质量. 解：（2）因为共有12个数据，所以12×15％＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15％的产品有2个，它们的质量分别为7.8 g，7.9 g. 【规律方法】 总体百分位数估计需要注意的两个问题 （1）总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键； （2）由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值. 训练2　（1）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：421，399，445，359，415，443，367，454，368，375，392，400，423，405，412，427，414，423，430，388，430，357，434，445，451，则估计该品种小麦亩产的第80百分位数为　438.5　，第95百分位数为　451　； 解析：（1）将25个样本数据按从小到大排序，可得 357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454. 由80％×25＝20，95％×25＝23.75，可知样本数据的第80百分位数为438.5，第95百分位数为第24项数据，为451. （2）已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则＝　　. 解析：（2）因为30％×6＝1.8，50％×6＝3，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为，乙组：第30百分位数为n，第50百分位数为＝，由题意知n＝30，＝，解得m＝40，所以＝＝. 知识点三｜由统计图表估计百分位数 【例3】　我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得86％的居民生活用水不超过这个标准.在本市居民中随机抽取了100户家庭，统计其某年的月均用水量（单位：吨），通过数据分析得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a，m的值； 解：（1）由频率分布直方图得（0.16＋0.30＋0.40＋0.50＋0.30＋0.16＋a＋a＋a）×0.5＝1，解得a＝0.06. 由频率分布直方图得月均用水量在[0，3）内的频率为1－（0.16＋0.06＋0.06）×0.5＝0.86. ∵计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得86％的居民生活用水不超过这个标准. ∴m≈3. （2）如果我们称m为这组数据的86％分位数，那么这组数据的50％分位数是多少？ 解：（2）由频率分布直方图知，数据在[0，2）内的频率为（0.06＋0.16＋0.30＋0.40）×0.5＝0.46，在[2，2.5）内的频率为0.50×0.5＝0.25， ∴这组数据的50％分位数是2＋×0.5＝2.08（吨）. 变式　根据本例中的频率分布直方图计算月均用水量的20％分位数. 解：由例3的频率分布直方图可知，月均用水量在[0，1）内的频率为（0.06＋0.16）×0.5＝0.11，在[1，1.5）内的频率为0.30×0.5＝0.15.所以月均用水量的20％分位数应在[1，1.5）内，设月均用水量的20％分位数为x，则0.11＋（x－1）×0.30＝0.20，解得x＝1.3. 所以月均用水量的20％分位数为1.3（吨）. 【规律方法】 由频率分布直方图求百分位数的思路 （1）确定第p百分位数所在的区间[a，b）； （2）确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa％，fb％，则第p百分位数为a＋×（b－a）. 训练3　为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？ 解：由题意知在[80，100）上的频率为0.4，在[100，110）上的频率为0.3，在[110，120）上的频率为0.2，可知第50百分位数一定落在区间[100，110）上， 法一　则100＋10×＝100＋≈103.3； 第75百分位数一定落在区间[110，120）上， 则110＋10×＝110＋＝112.5. 法二　设第50百分位数为m，第75百分位数为n， 则0.4＋（m－100）×0.03＝0.5，解得m≈103.3； 0.7＋（n－110）×0.02＝0.75，解得n＝112.5. 综上可知，第50百分位数和第70百分位数的估计值分别为103.3 cm，112.5 cm. 1.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是（　　） A.90　　　　　　　　　 B.90.5 C.91 D.91.5 解析：B　把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80％＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是＝90.5. 2.〔多选〕已知100个数据的75％分位数是9.3，则下列说法正确的是（　　） A.这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数 解析：AC　通过定义知A正确；因为100×75％＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75％分位数，是9.3，则C正确. 3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为　　. 解析：样本数据低于10的频率为（0.08＋0.02）×4＝0.40，样本数据低于14的频率为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10，14）内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝. 4.如图是某市2025年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的10％分位数为　24 ℃　，日最低气温的80％分位数为　16 ℃　. 解析：由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24，24.5，24.5，25，26，26，27，因为共有7个数据，所以7×10％＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的10％分位数是第1个数据，为24 ℃.把日最低气温按照从小到大排序，得12，12，13，14，15，16，17，因为共有7个数据，所以7×80％＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的80％分位数是第6个数据，为16 ℃. 课堂小结 1.理清单 （1）百分位数的定义； （2）由样本数据求百分位数； （3）由统计图表估计百分位数. 2.应体会 由统计图表求百分位数时要注意方程思想的应用. 3.避易错 求第p百分位数时，应先将数据从小到大排列. 1.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30％分位数为（　　） A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.3 解析：A　因为8×30％＝2.4，故30％分位数是由小到大排列后的第三项数据8.4. 2.高一年级共有1 000名学生参加物理测试，若所有学生成绩（单位：分）的第80百分位数是75，则物理成绩大于或等于75分的学生数至少有（　　） A.200 B.220 C.240 D.260 解析：A　由1 000×80％＝800，所以小于75分的学生最多有800人，所以大于或等于75分的学生至少有200人.故选A. 3.按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则m＝（　　） A.40 B.45 C.48 D.62 解析：C　因为9×25％＝2.25，所以第一四分位数为25，因为9×75％＝6.75，所以第三四分位为m，则25＋m＝73，所以m＝48. 4.某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是（　　） A.82.5 B.85 C.90 D.92.5 解析：D　根据题意，20×70％＝14，这个学习小组成员该次数学测试成绩的第14项为90，第15项为95，故第70百分位数为＝92.5. 5.已知按从小到大的顺序排列的一组数据：3，6，a，b，12，若其60％分位数为8，则下列情况可能的是（　　） A.a＝7，b＝9 B.a＝7，b＝10 C.a＝8，b＝9 D.a＝8，b＝10 解析：A　∵5×60％＝3，∴60％分位数为第3项和第4项数据的平均数，∴＝8，∴a＋b＝16.只有A选项满足此条件. 6.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的第70百分位数为（　　） A.16 B.16.5 C.17 D.17.4 解析：B　设成绩的第70百分位数为x，因为＝0.55，＝0.85，所以x∈[16，17），所以0.55＋（x－16）×＝0.70，解得x＝16.5. 7.〔多选〕某校高二（13）班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.没有人的成绩在30～40分这组内 B.第50百分位数位于60～70分这组内 C.第25百分位数位于40～50分这组内 D.第75百分位数位于70～80分这组内 解析：ABC　由题图知没有人的成绩在30～40分这组内，故A正确；由40×50％＝20，取第20，21项数据的平均数，所以第50百分位数位于60～70分这组内，故B正确；由40×25％＝10，取第10，11项数据的平均数，所以第25百分位数位于40～50分这组内，故C正确；由40×75％＝30，取第30，31项数据的平均数，所以第75百分位数位于60～70分这组内，故D不正确.故选A、B、C. 8.在共有100名学生参加的某项测试中，小张的成绩排名是第75名，小李成绩的百分位数为75，则他们两人中成绩较好的是　小李　. 解析：因为小李成绩的百分位数为75，所以约有75名学生的成绩比小李低，即小李的排名大约为第25名，因为小张的成绩排名是第75名，所以小李成绩较好. 9.已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是　8.6　. 解析：由于30×60％＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6. 10.（2025·宁波月考）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到频率分布直方图： （1）估计总体400名学生中分数小于70的人数； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数； （3）根据该大学规定，把15％的学生划定为不及格，利用（2）中的数据，确定本次测试的及格分数线. 解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02＋0.04）×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4. 所以总体400名学生中分数小于70的人数约为400×0.4＝160. （2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×10＝0.9， 分数在区间[40，50）内的人数为100－100×0.9－5＝5. 所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400×＝20. （3）由（2）可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以分数的第15百分位数在[50，60）内，由50＋10×＝55，则本次考试的及格分数线为55分. 11.已知一组数据按从小到大的顺序排列：11，12，15，x，17，y，22，26，经过计算，该组数据的50％分位数是16，75％分位数是20，则x＋y＝（　　） A.48 B.38 C.36 D.33 解析：D　因为50％×8＝4，所以50％分位数是＝16，解得x＝15.因为75％×8＝6，所以75％分位数为＝20，解得y＝18.所以x＋y＝15＋18＝33. 12.〔多选〕甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（　　） A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数 D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 解析：BCD　由题图可得，＝＝6，＝＝6，A项错误，B项正确；甲的成绩的第80百分位数是＝7.5，乙的成绩的第80百分位数是＝7.5，所以二者相等，C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项正确. 13.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m（1≤m≤10）的值可以是　7（填7，8，9，10中任意一个均可）　（写出一个满足条件的值即可）. 解析：7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为6，7，7，8，8，9，10，因为7×0.25＝1.75，故第25百分位数为第二个数，即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位数为7，而8×0.25＝2，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以m（1≤m≤10）的值可以是7或8或9或10. 14.某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x（单位：t），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.现通过简单随机抽样获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），并将数据按照[0，4），[4，8），…，[16，20]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）设该市共有20万居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于12（t）的用户数； （2）若该市政府希望使85％的居民用户月均用水量不超过标准x（t），试估计x的值（精确到0.01）； （3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下： 级差 水量基数x（单位：t） 水费价格（元/t） 第一阶梯 x≤14 1.4 第二阶梯 14＜x≤20 2.1 第三阶梯 x＞20 2.8 小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量. 解：（1）由频率分布直方图可得（a＋0.06＋0.11＋a＋0.02）×4＝1，解得a＝0.03. 居民用户月均用水量不超过12（t）的频率为（0.03＋0.06＋0.11）×4＝0.80， 所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于12（t）的用户数为20×0.80＝16（万）. （2）由频率分布直方图知，居民用户月均用水量不超过12（t）的频率为0.80. 月均用水量不超过16（t）的频率为0.92.则85％的居民用户月均用水量不超过的标准x∈[12，16），故0.80＋0.03（x－12）＝0.85，解得x≈13.67，即x的值为13.67. （3）因为19.6＝14×1.4＜28＜14×1.4＋（20－14）×2.1＝32.2.所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费，未达到第三阶梯收费. 设小明家上个月的用水量为m（t），由28＝14×1.4＋（m－14）×2.1，得m＝18，所以小明家上个月的用水量为18（t）. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $