第8章 章末整合提升 体系构建 素养提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了空间几何体与位置关系的知识体系，涵盖表面积体积计算、平行垂直关系证明及空间角求解，用转化关系图呈现平行、垂直间的内在联系，突出公式应用和逻辑推理等重难点。 讲义亮点在于“教材原题-高考真题-变式拓展”的练习设计，如从圆柱与球的体积比延伸到截面面积最值、锥体体积范围等问题，培养数学运算和直观想象素养。每个专题配有反思感悟总结方法，基础生可掌握公式应用，优秀生能提升综合解题能力，助力教师实施分层教学。

一、几何体的表面积与体积（考教衔接） 1.主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解. 2.利用公式求解表面积、体积，提升数学运算素养. 教材原题　（教材P119例4）如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（　　） A.2π B.3π C.6π D.9π 解析：B　设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. 变式1　求表面积运算 如图，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O1，O2为圆柱下、上底面的圆心，O为球心，EF为下底面圆O1的一条直径，CD为上底面圆O2的一条直径，则球与圆柱的表面积之比为　2∶3　. 解析：设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则球的表面积为4πr2，圆柱的表面积为2πr2＋2πr·2r＝6πr2，所以球与圆柱的表面积之比为2∶3. 变式2　求截面面积的最值 在变式1中，若球的半径r＝2，则平面DEF截得球的截面面积最小值为　π　. 解析：ABCD所在截面如图所示，过点O作OG⊥DO1于点G，则由题可得OG＝＝，设点O到平面DEF的距离为d1，平面DEF截得球的截面圆的半径为r1，则d1≤OG，＝r2－＝4－≥4－＝，所以平面DEF截得球的截面面积最小值为π. 变式3　球的体积与表面积 在变式1中，若内切球的体积和表面积的数值相等，则球的半径为　3　. 解析：设球的半径为r，由πr3＝4πr2，得r＝3. 变式4　求锥体体积 在变式1中，若球的半径r＝2，则四面体C-DEF的体积的取值范围为　　. 解析：由题意可知四面体C-DEF的体积等于2，点E到平面DCO1的距离d∈（0，2]， 又＝×4×4＝8，所以2＝×8d＝∈. 【反思感悟】 关于空间几何体的体积、表面积 首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱长等，其次是准确代入相关的公式计算. 二、空间中的平行关系 1.空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行. 2.通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和直观想象素养. 【例2】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD， 证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD. 又MA∥PB且MA＝PB，PF＝PB， ∴PF∥MA且PF＝MA，∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM. 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. 【反思感悟】 线线平行、线面平行、面面平行间的关系 线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转化关系如图. 三、空间中的垂直关系 1.主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化. 2.通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和逻辑推理素养. 【例3】　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4.求证： （1）AC⊥平面BCE； 证明：（1）在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以AC＝BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE. （2）AD⊥AE. 证明：（2）因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD.又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABEF， 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 【反思感悟】 线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 四、空间角 1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角. 2.通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养. 【例4】　如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点. （1）试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论； 解：（1）是.证明如下：∵BA⊥平面AA1D1D，BA⊂平面BPA，∴平面BPA⊥平面AA1D1D， ∴无论点P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D. （2）当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值； 解：（2）过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E，如图， 则PE∥AA1，∴∠B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角. 在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，∴∠A1AD1＝30°，∴A1B1＝A1D1＝AD1＝2， ∴A1E＝A1D1＝1，AA1＝A1D1＝2，∴PE＝AA1＝，B1E＝＝， ∴在Rt△B1PE中，B1P＝＝2， ∴cos∠B1PE＝＝＝， ∴异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为. （3）求PB1与平面AA1D1D所成角的正切值的最大值. 解：（3）由（1）知，B1A1⊥平面AA1D1D，∴∠B1PA1是PB1与平面AA1D1D所成的角， ∴tan∠B1PA1＝＝，∴当A1P最小时，tan∠B1PA1最大，这时A1P⊥AD1， A1P＝＝，得tan∠B1PA1＝， 即PB1与平面AA1D1D所成角的正切值的最大值为. 【反思感悟】 几何法求空间角的一般思路 （1）将所求空间角转化为平面角，再将该平面角放置在某一个三角形内，通过解三角形求出该角的大小； （2）求空间角的关键是作平面角 ①求异面直线所成的角采用平移方法构造平面角； ②求线面角一般采用斜线与在该平面内的射影构造直角三角形求解； ③求二面角一般采用定义法或垂面法作二面角的平面角. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $