第8章 培优课 空间几何体的截面问题 能力提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦空间几何体截面问题，系统梳理截面定义、交线与交点的理解，构建直接法、平行法、延长线法作截面的学习支架，衔接截面面积、周长计算，形成从概念到作图再到运算的完整知识链。 资料以正方体、直三棱柱等为实例，通过例题解析与分层训练，培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生通过规律方法与练习巩固，有效查漏补缺。

重点解读 1.理解空间几何体被平面所截所得的截面、交线、交点（直观想象）. 2.会作简单几何体的截面图（逻辑推理、直观想象）. 3.会计算简单几何体截面图的面积、周长或部分交线长（数学运算）. 　　 截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集（交线）叫做截线，与几何体棱的交集（交点）叫做截点. 一、直接法作截面 【例1】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为A1B1，B1C1的中点，过M，N的平面所得截面为四边形，则该截面的最大面积为（　　） A.2 B.2 C. D. 解析：D　如图所示，面积最大的截面四边形为等腰梯形MNCA，其中MN＝，AC＝2，AM＝CN＝，高为h＝＝，故面积为×（＋2）×＝. 【规律方法】 若截面与几何体的交点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程. 训练1　〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分别为棱A1C1，B1C1，BC，AC上的点，过E，F，G，H四点作截面，则截面的形状可以为（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 解析：ACD　截面图如图所示，因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，则平面A1B1C1∥平面ABC，截面过平面A1B1C1、平面ABC，则交线EF∥HG，当FG不与B1B平行时，此时截得的EH不平行于FG，四边形EFGH为梯形；当FG∥B1B时，此时截得的EH∥FG，FG⊥EF，当EH≠EF时，四边形EFGH为矩形；当EH＝EF时，四边形EFGH为正方形.故A、C、D正确. 二、平行法作截面 【例2】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且该截面的面积为时，求线段AP的长. 解：如图，连接BD，A1D，过点P作BD，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR. 因为BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1，因为B1D1⊂平面B1D1C，PQ⊄平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C. 因为A1D∥B1C，所以PR∥B1C.因为B1C⊂平面B1D1C，PR⊄平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C. 又PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则平面PQR为截面， 易知△PQR是等边三角形，则PQ2·＝，解得PQ＝2，所以AP＝PQ＝. 【规律方法】 若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面. 训练2　如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，过A，D1，E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分，则该截面的周长为（　　） A.3＋2 B.2＋＋3 C. D.2＋2＋2 解析：A　如图，取BC的中点F，连接EF，AF，BC1，E，F分别为棱CC1，BC的中点，则EF∥BC1，又在正方体中BC1∥AD1，则有EF∥AD1，所以平面AFED1为所求截面，因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以EF＝，D1E＝AF＝＝，AD1＝2，所以四边形AFED1的周长为3＋2. 三、延长线法作截面 【例3】　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法. 解：如图所示，五边形DQMFN为所求截面. 作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H，连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，所以五边形DQMFN即为所求截面. 【规律方法】 若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面. 训练3　已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M为PA中点，过点C，D，M的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面为α.若α与棱PB交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置. 解：延长DC交AB的延长线于E，连接ME交PB于F，连接FC，如图，四边形MFCD为截面α.在△ADE中，BC∥AD，由＝，则C为DE中点，B为AE中点，过M作MN∥AB交PB于N，则MN＝AB＝1，∴△MNF∽△EBF，∴＝＝，∴BF＝2NF，即BF＝BP，∴F为棱PB上靠近点B的三等分点. 1.用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是（　　） A.四边形 B.三角形 C.五边形 D.六边形 解析：D　根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形.故选D. 2.已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（　　） A.（3＋3）π B. C.（4＋6）π D.（6＋6）π 解析：B　依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径为r＝，所以圆锥的表面积为π×（）2＋π××3＝.故选B. 3.（2025·中山月考）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是正方形ABCD、正方形BB1C1C的中心，则过点A，M，N的平面截正方体的截面面积为　a2　. 解析：如图，连接AC，则AC过点M，连接B1C，则B1C经过点N，连接AB1，则过点A，M，N的平面截正方体的截面为等边△ACB1，因为正方体棱长为a，故△ACB1边长为a，面积为·（a）2＝a2. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是A1D1，C1D1，AA1的中点，试过P，Q，R三点作其截面. 解：如图，取BC的中点为F，延长PR，DA交于点E，连接EF交AB于点G，则G为AB的中点，延长GF，DC交于点H，连接HQ交CC1于点I，所得六边形PRGFIQ即为所作截面. 课堂小结 1.理清单 （1）直接法作截面； （2）平行线法作截面； （3）延长线法作截面. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 线面交点、面面交线易标错画错. 1.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（　　） A.圆锥 B.圆柱 C.三棱锥 D.正方体 解析：B　用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件； 用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状可能是矩形，可能是圆，可能是椭圆，不可能是一个三角形，所以B不满足条件； 用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件； 用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件.故选B. 2.若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面（　　） A.一定通过正方体的中心 B.一定通过正方体一个表面的中心 C.一定通过正方体的一个顶点 D.一定构成正多边形 解析：A　根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正方体的中心.故选A. 3.（2025·杭州月考）已知过BD1的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1相交，分别交棱AA1，CC1于M，N.则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是（　　） A.截面BMD1N可能是矩形 B.截面BMD1N可能是菱形 C.截面BMD1N可能是梯形 D.截面BMD1N不可能是正方形 解析：C　如图1，当M，N分别与对角顶点重合时，显然BMD1N是矩形；如图2，当M，N为AA1，CC1的中点时，显然BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：BMD1N不可能为正方形；根据对称性，其他情况下BMD1N为平行四边形；综上，C不正确.故选C. 　　 4.在圆柱、圆锥、圆台和球四个几何体中，分别作出它们的截面（阴影部分），那么截面面积y与x之间的函数关系可以用如图所示的曲线表示的是（　　） 解析：B　对于A，y是x的正比例函数；对于C、D，y都是x的二次函数. 5.在三棱锥P-ABC中，AB＋2PC＝9，E为线段AP上更靠近P的三等分点，过E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥P-ABC所得截面的周长为（　　） A.5 B.6 C.8 D.9 解析：B　如图所示，在三棱锥P-ABC中，过E分别作EF∥AB，EH∥PC，再分别过点H，F作HG∥AB，FG∥PC，可得E，F，G，H四点共面，因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH，同理可证，PC∥平面EFGH，所以截面即为平行四边形EFGH，又由E为线段AP上更靠近P的三等分点，且AB＋2PC＝9，所以EF＝AB，EH＝PC，所以平行四边形EFGH的周长为2（EF＋EH）＝（AB＋2PC）＝6. 6.〔多选〕下列判断不正确的是（　　） A.平面于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形 解析：ABD　对于选项A，B，D，截面的边界中，可能有曲线，即所截面可能是曲边图形；对于C，如图，过S的截面截圆锥SO得到截面△SAB，由Rt△SOA≌Rt△SOB，所以SA＝SB，△SAB为等腰三角形，C正确. 7.〔多选〕用一个平面截正方体，则截面的形状可能是（　　） A.锐角三角形 B.直角梯形 C.菱形 D.最多是六边形 解析：ACD　对于A，截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形，如图所示的截面为△ABC，设DA＝a，DB＝b，DC＝c，所以AC2＝a2＋c2，AB2＝a2＋b2，BC2＝b2＋c2.所以由余弦定理得，cos∠CAB＝＝＞0，所以∠CAB为锐角.同理可求，∠ACB为锐角，∠CBA为锐角，所以△ABC为锐角三角形，故A符合题意；对于B，如图，截面图形如果是四边形，可能是正方形、矩形、菱形、一般梯形、等腰梯形，不可能是直角梯形，故B不符合题意；对于C，如图（1）（3），截面可能是菱形，故C符合题意；对于D，因为正方体有六个面，所以它的截面最多是六边形，故D符合题意. 8.已知正四面体A-BCD的棱长为2，四个顶点都在球心为O的球面上，P为棱AB的中点，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为　6π　. 解析：易知当截面与PO垂直时截面面积最小，设截面半径为r，有r＝＝PA＝，所以截面面积的最小值为π·r2＝6π. 9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝2，AD＝AA1＝4，E，F分别为BB1，A1D1的中点，过点A，E，F作长方体ABCD-A1B1C1D1的一截面，则该截面的周长为　4＋2　. 解析：连接AF，过点E作EP∥AF交B1C1于点P，连接FP，AE，即可得到截面AFPE，因为E为BB1中点，EP∥AF，所以B1P＝A1F＝1，因为AB＝2，AD＝AA1＝4，则AF＝＝2，且EP＝AF＝，AE＝＝2，FP＝＝，所以截面AFPE的周长为2＋＋2＋＝4＋2. 10.从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为　4π－2　. 解析：截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，则截面圆的面积为4π，设正四棱锥的底面正方形边长为a，则2a2＝16，所以a＝2，正四棱锥的底面正方形的面积为（2）2＝8，由截面是由平行于底面的平面截得的，则圆面中挖去的正方形与正四棱锥的底面正方形相似，设圆面中挖去的正方形的面积为S'，正四棱锥的底面正方形的面积为S，则＝＝，从而S'＝2，所以截面图形的面积为4π－2. 11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，求过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长. 解：由题意可知过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC1的周长， 因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各侧面均为矩形，所以AC1＝＝， 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面部分展开图如图所示， 则在矩形ACC1A1中，AM＋MC1≥AC1＝＝3， 所以过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为3＋. 12.（2025·阳江质检）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，M为DD1的中点. （1）求证：D1B∥平面MAC； （2）过D1B作正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面，使得截面平行于平面MAC，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理由，并求出截面的面积. 解：（1）证明：连接DB，交AC于点O，所以O为DB的中点，连接MO.因为M为DD1的中点，所以MO是△D1DB的中位线，所以D1B∥MO. 又MO⊂平面MAC，D1B⊄平面MAC，所以D1B∥平面MAC. （2）分别取A1A，B1B，C1C的中点E，G，F，连接D1E，EB，BF，FD1，则四边形D1EBF即为所求截面，理由如下： 连接A1G，GF，所以A1E＝GB，A1E∥GB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1G＝EB，A1G∥EB.同理A1D1＝GF，A1D1∥GF，所以四边形D1A1GF是平行四边形，所以A1G＝D1F，A1G∥D1F，所以D1F＝EB，D1F∥EB，即四边形D1EBF是平行四边形. 又因为MD1＝CF，MD1∥CF，所以四边形D1MCF是平行四边形，所以D1F∥MC. 因为D1F⊄平面MAC，MC⊂平面MAC，所以D1F∥平面MAC，又因为D1F∩D1B＝D1，D1F， D1B⊂平面D1EBF，所以平面MAC∥平面D1EBF，所以四边形D1EBF即为所求截面. 又因为EB＝＝＝， FB＝＝＝，所以EB＝FB，所以四边形D1EBF为菱形，所以D1B⊥EF. 因为D1B＝＝＝＝2， EF＝AC＝＝，所以截面面积为D1B·EF＝. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $