8.4.1 平面(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面的概念、画法及表示，系统梳理点线面位置关系的符号表示，深入讲解平面基本事实及推论，构建从抽象概念到逻辑应用的学习支架，为立体几何后续学习奠定基础。 资料以生活情境（如合页固定门、直尺检查桌面）导入，培养数学眼光，通过问题链驱动数学抽象，结合符号与图形语言转换训练直观想象，例题与训练题强化逻辑推理。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后学生可通过分层练习巩固，有效查漏补缺。

8.4.1　平面 课标要求 情境导入 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法（数学抽象）. 2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实（数学抽象）. 3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系（直观想象）. 　　在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整，这些问题就涉及到我们即将学习的新知识——平面. 知识点一｜平面的概念、画法及表示 问题1　生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？ 提示：无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等. 【知识梳理】 1.平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周　无限延展　的. 2.平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向 图示 3.平面的表示方法 （1）用希腊字母表示，如平面　α　、平面　β　、平面γ等； （2）用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面　ABCD　； （3）用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面　AC　，平面　BD　. 　　提醒：一般按逆时针的顺序用大写英文字母标注平行四边形的四个顶点. 【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　AC　） A.平面是绝对的平滑、无厚度、无限延展的抽象的数学概念 B.平面的形状是平行四边形 C.三角形、正六边形、圆也可以表示平面 D.有一个平面的长是50 cm，宽是20 cm 【规律方法】 对平面的理解 （1）“平面”是平的，这是区别“平面”与“曲面”的依据； （2）“平面”无厚薄之分； （3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据. 训练1　（1）如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为（　A　） A.平面MN B.平面NQ C.平面α D.平面MNPQ 解析：（1）不能用相邻两个顶点表示平面. （2）下列说法正确的是（　D　） A.平行四边形是一个平面 B.任何一个平面图形都是一个平面 C.平静的太平洋面就是一个平面 D.一个平面可以将空间分成两部分 解析：（2）A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面；D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分. 知识点二｜点、线、面之间的关系及符号表示 问题2　如果把空间内的点看作元素，把直线、平面都看作点的集合，那么点、线、面之间的关系怎样表述？能否用符号表示它们的关系？ 提示：点与直线（平面）的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；直线与平面的关系是集合与集合间的关系，用“⊂”或“⊄”表示. 【知识梳理】 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言 图形语言 符号语言 A在l上 A　∈　l A在l外 A　∉　l A在α内 A　∈　α A在α外 A　∉　α l在α内 l　⊂　α l在α外 l　⊄　α l，m相交于A 　l∩m　＝A l，α相交于A 　l∩α　＝A α，β相交于l 　α∩β　＝l 　　提醒：符号的用法原则上与集合符号的用法一致，但个别地方与集合符号略有差异.例如，不用l∩m＝{A}来表示直线l，m相交于点A，而是简记为l∩m＝A，这里的A既可以理解为一个点，又可以理解为只含一个元素（点）的集合. 【例2】　用符号表示下列语句，并画出图形： （1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； 解：（1）用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图. （2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上. 解：（2）用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图. 【规律方法】 三种语言的转换方法 （1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示； （2）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. 　　提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 训练2　（1）如图所示，用符号语言可表述为（　A　） A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n （2）画图表示下列语句（其中P，M表示点，l，m表示直线，α，β表示平面）： （1）P∈l，P∉α，l∩α＝M；（2）α∩β＝m，P∈α，P∉m；（3）P∈α，P∈β，α∩β＝m. 解：如图所示. 知识点三｜平面的基本事实及推论 问题3　（1）我们知道，两点确定一条直线，过空间一点有几个平面？两个点呢？三个点呢？ 提示：无数个平面；无数个平面；如果三点共线，则有无数个平面，如果三点不共线，有唯一的一个平面. （2）如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？如果直线与平面有两个公共点，直线在平面内吗？ 提示：不在；在. （3）我们把三角尺的一个顶点直立在桌面上，则该三角尺所在的平面与桌面是否只有一个公共点？ 提示：不是.三角尺所在的平面是可以无限延展的，用它去“穿透”课桌面，两个平面相交于一条直线. 【知识梳理】 1.与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，　有且只有　一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的　两个点　在一个平面内，那么这条直线在　这个平面内　 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒　l⊂α　 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的　公共直线　 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.基本事实1、2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定 平面的 依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 角度1　点、线共面问题 【例3】　如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面. 证明：法一（同一法）　因为a∥b，所以a，b确定一个平面α. 因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，所以l⊂α. 因为C∈l，所以C∈α，所以直线a与点C同在平面α内. 因为a∥c，所以直线a，c确定一个平面β. 因为C∈c，c⊂β，所以C∈β，即直线a与点C同在平面β内. 由推论1，可得平面α和平面β重合，则c⊂α. 所以a，b，c，l共面. 法二（纳入法）　因为a∥b，所以a，b确定一个平面α. 因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，所以l⊂α. 则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内. 同理可证c在a，l确定的平面内. 因为过a与l只能确定一个平面， 所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面. 【规律方法】 证明点、线共面问题的常用方法 （1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； （2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”. 训练3　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 证明：法一（纳入法）　∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 法二（同一法）　∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 角度2　点共线、线共点问题 【例4】　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点. 证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰， 所以AB，CD必定相交于一点，如图，设AB∩CD＝M. 又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α且M∈β，又因为α∩β＝l， 所以M∈l，即AB，CD，l共点. 【规律方法】 1.证明三点共线的方法 2.证明三线共点的步骤 训练4　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： （1）D，B，F，E四点共面； 证明：（1）如图所示， 连接B1D1. 因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD， 所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面. （2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线. 证明：（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C， 设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点. 所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β， 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线. 1.〔多选〕下列选项中图形的画法正确的是（　　） A.点A在平面α内 B.直线l在平面α内 C.直线l交平面α于点P D.三个平面两两相交 解析：ACD　由点与平面、直线与平面、平面与平面的画法可知A、C、D对，B选项中直线应画在平行四边形里面.故选A、C、D. 2.空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者，所以空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件. 3.若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记作　Q∈b⊂α　. 解析：因为点Q在直线b上，所以Q∈b.又因为直线b在平面α内，所以b⊂α，所以Q∈b⊂α. 4.（2025·洛阳质检）如图所示，△ABC的三个顶点在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线. 证明：因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR. 又因为AB∩α＝P，AC∩α＝R， 所以平面APR∩平面α＝PR. 因为B∈平面APR，C∈平面APR， 所以BC⊂平面APR. 因为Q∈BC，所以Q∈平面APR，又Q∈α， 所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线. 课堂小结 1.理清单 （1）平面的概念、画法及表示； （2）点、线、面之间的位置关系及符号表示； （3）平面的基本事实及推论. 2.应体会 数形结合思想. 3.避易错 （1）直线l在平面α内，l上的所有点都在α内； （2）平面α与平面β有一个公共点，这两个平面就有无数个公共点，且它们都在同一条直线上，这条直线就是α与β的交线. 1.下列命题中真命题的个数是（　　） ①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形. A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　在①中，由不共线的三点确定一个平面，得三角形是一个平面图形，故①为真命题；在②③中，若这四条边不在同一平面内，例如空间四边形，则该四边形不是平面图形，所以②③为假命题；在④中，圆是平面图形，所以④为真命题.故选B. 2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（　　） A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α＝M D.l∩α＝N 解析：A　∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l⊂α. 3.交于一点的三条直线可以确定平面的个数是（　　） A.三个 B.两个 C.一个或两个 D.一个或三个 解析：D　如图，a，b，c是三条不同的直线，a∩b＝P，a，b确定平面α，且点P∈c，若c在平面α内，则直线a，b，c确定一个平面；若c不在平面α内，则直线a，c确定一个平面，b，c确定一个平面，于是得直线a，b，c确定三个平面，所以交于一点的三条直线可以确定平面的个数是一个或三个.故选D. 4.已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交；由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l共面. 5.已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l＝M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是（　　） A.直线CM B.直线BM C.直线AB D.直线BC 解析：B　已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l＝M，则M∈γ，又平面α∩平面β＝l，则l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l＝M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM. 6.〔多选〕下列推断中，正确的是（　　） A.M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C.l⊄α，A∈l⇒A∉α D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 解析：ABD　对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确. 7.〔多选〕下列说法错误的是（　　） A.不共面的四点中，其中任意三点不共线 B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D.依次首尾相接的四条线段共面 解析：BCD　A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A正确；B中，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面，所以B不正确；C显然不正确；D中，因为所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形，所以D不正确. 8.已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是两条不同的直线，P为空间中一点.若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为　P∈l　. 解析：∵m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，∴P∈α且P∈β，又α∩β＝l，∴点P在直线l上，即P∈l. 9.空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定　7　个平面. 解析：可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面. 10.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若RP，DC的延长线交于点M，试画出截面PQR与底面BCD的交线. 解：∵直线PR⊂平面PQR，直线CD⊂平面BCD，M∈直线PR，M∈直线CD， ∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点， 即M在平面PQR与平面BCD的交线l上. 同理，设RQ，DB的延长线交于点N，则点N也在l上，过点M，N作直线，则直线MN即截面PQR与底面BCD的交线l，如图所示. 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是（　　） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 解析：C　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形.故选C. 12.〔多选〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（　　） A.C1，M，O三点共线 B.C1，M，O，C四点共面 C.C1，O，A，M四点共面 D.D1，D，O，M四点共面 解析：ABC　在题图中，连接A1C1，AC（图略），则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A、B、C均正确，D不正确. 13.（2025·莱芜质检）一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成　21　部分. 解析：三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上将空间分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7＝21部分. 14.已知空间四边形ABCD（如图所示）中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证： （1）E，F，H，G四点共面； （2）直线FH，EG，AC共点. 证明：（1）连接EF，GH.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF􀰿BD.因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC，所以GH􀰿BD. 所以EF∥GH，所以E，F，H，G四点共面. （2）由（1）知，EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形.设两腰EG，FH相交于一点T.因为EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， 所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC， 所以T∈AC， 所以直线EG，FH，AC相交于一点T，即直线FH，EG，AC共点. 15.定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外一点，P∉直线AB，P∉α，若直线AP，BP与平面α分别相交于A'，B'.试问，如果点P任意移动，直线A'B'是否恒过一定点？请说明理由. 解：随着点P移动，直线A'B'恒过定点O.理由如下： 由直线AB和直线外一点P可确定平面β， 因为AP∩α＝A'，BP∩α＝B'， 所以α∩β＝A'B'，而AB∩α＝O，所以点O一定在交线A'B'上，即直线A'B'恒过定点O. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $