8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

课标要求                                                                                                                   情境导入

　　

知识点一｜圆柱、圆锥、圆台的表面积

问题1　（1）如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？

提示：圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高（母线）；则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr（r＋l），其中r为圆柱底面半径，l为母线长.

（2）如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？

提示：圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl＝πrl，∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr（r＋l），其中r为圆锥底面半径，l为母线长.

（3）如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？

提示：圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图，＝，解得x＝l，S扇环＝S大扇形－S小扇形＝πR（x＋l）－πrx＝π[（R－r）x＋Rl]＝π（r＋R）l，所以S圆台侧＝π（r＋R）l，S圆台表＝π（r2＋rl＋Rl＋R2）.

 

 

 

 

 

【知识梳理】

　　提醒：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面缩为一个点时，得到圆锥.由此可得：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r'）lS圆锥侧＝πrl.

【例1】　（1）〔多选〕如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB＝4，AC＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是（　BC　）

A.圆柱的侧面积为2π

B.圆柱的侧面积为6π

C.圆柱的表面积为6π＋12π

D.圆柱的表面积为2π＋6π

解析：（1）因为AB＝4，AC＝2，所以BC＝＝2，即r＝，又因为AA1＝3，所以圆柱的侧面积是2πrl＝2π××3＝6π，圆柱的表面积是2πrl＋2πr2＝6π＋12π.故选B、C.

（2）若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为　5　，表面积为　80π　.

解析：（2）设圆台的母线长为l，则由题意得π（2＋6）l＝π×22＋π×62，所以8πl＝40π，所以l＝5，所以该圆台的母线长为5.圆台的表面积为S＝π×（2＋6）×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.

【规律方法】

解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：

（1）得到空间几何体的平面展开图；

（2）依次求出各个平面图形的面积；

（3）将各平面图形的面积相加.

训练1　（1）若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（　B　）

A.40π B.36π

C.26π D.20π

（2）如图所示为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一个圆台和一个圆柱组成的，其中O为圆台下底面圆心，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上、下底面圆的半径为2 cm，O1O2＝5 cm，OO1＝4 cm，圆台下底面圆半径为5 cm，则该组合体的表面积为（　B　）