8.2 立体图形的直观图(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦立体图形的直观图这一核心知识点，以斜二测画法为统领，先讲解水平放置平面图形直观图的画法步骤与实例，再延伸至柱体、锥体等空间几何体的直观图绘制，最后结合直观图与原图形的面积关系及三视图联系，构建从平面到空间的完整学习支架。 该资料以“水立方”情境导入激发兴趣，通过问题驱动引导思考，例题与训练题结合强化技能，规律方法总结提升思维。借助画图培养直观想象，通过还原计算发展数学思维，用规范步骤训练数学语言表达。课中辅助教师引导学生理解，课后练习题与小结帮助学生巩固知识、查漏补缺。

8.2　立体图形的直观图 课标要求 情境导入 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图（直观想象）. 2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图（直观想象）. 　　图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何体——长方体. 　　如果让你在纸上画出“水立方”的图形，应该怎样画呢？这就涉及到立体图形的直观图问题. 　　 知识点一｜平面图形的直观图 问题1　（1）从不同的方向观察同一个空间图形时，所看到的形状一样吗？ 提示：一般不一样. （2）立体几何中的直观图又是怎样一类图形？ 提示：用来表示空间图形的平面图，习惯上称为空间图形的直观图. （3）画空间图形的直观图常采用怎样的画法？ 提示：为使直观图更具有立体感，人们经常采用斜二测画法来作直观图. 【知识梳理】 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 　　提醒：（1）“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反映投影线是斜的；（2）“二测”：平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”. 【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 解：（1）如图1所示，取AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线OE为y轴，两轴交点O为原点，建立直角坐标系，在图2中画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. （2）在图2中，以O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y轴上取O'E'＝OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD. （3）连接B'C'，D'A'，并擦去辅助线x'轴和y'轴，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图3所示. 【规律方法】 画平面图形的直观图的技巧 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段；关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可. 训练1　用斜二测画法画出如图所示的水平放置的△OAB的直观图. 解：（1）在△OAB中建立如图1所示的直角坐标系xOy，再建立如图2所示的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. 　　 （2）在图1中作BD⊥x轴于点D，在坐标系x'O'y'中， 沿x'轴正方向取O'A'＝OA，沿x'轴负方向取O'D'＝OD. 在坐标系x'O'y'中沿y'轴正方向画D'B'平行于y'轴，且D'B'＝DB. （3）连接O'B'，A'B'，去掉辅助线，得到△O'A'B'，即水平放置的△OAB的直观图，如图3所示. 知识点二｜空间几何体的直观图 问题2　我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 提示：先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图. 【例2】　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. 解：（1）画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则▱ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图. （3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴正半轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'. （4）成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图. 【规律方法】 画空间图形的直观图的原则 （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系O-xyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直； （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变； （3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的一半； （4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变. 训练2　用斜二测画法画出正六棱锥P-ABCDEF的直观图.（尺寸自定） 解：（1）画出正六棱锥P-ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O，如图1；画出相应的x'轴、y'轴、z'轴，三轴相交于O'，使∠x'O'y'＝45°，∠x'O'z'＝90°，如图2；②在图2中，以O'为中点，在x'轴上取A'D'＝AD，在y'轴上取M'N'＝MN，以点N'为中点，画出B'C'平行于x'轴，并且长度等于BC，再以点M'为中点，画出E'F'平行于x'轴，并且长度等于EF；③连接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A'B'C'D'E'F'. （2）画出正六棱锥P-ABCDEF的顶点.在z'轴的正半轴上取点P'. （3）成图.连接P'A'，P'B'，P'C'，P'D'，P'E'，P'F'，并擦去x'轴、y'轴和z'轴，便可得到正六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F'，如图3. 知识点三｜直观图的还原与计算 【知识梳理】 直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝　　S原图形，S原图形＝　2　S直观图. 【例3】　如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　） A.AB＝2 B.A'D'＝2 C.四边形ABCD的周长为4＋2＋2 D.四边形ABCD的面积为6 解析：D　如图，过点D'作D'E⊥O'B'于点E，由等腰梯形A'B'C'D'，△A'D'E是等腰直角三角形可得，A'D'＝A'E＝×（4－2）×＝，B错误；还原平面图如图， 即AB＝4＝2CD，AD＝2，A错误；过点C作CF⊥AB于点F，由勾股定理得CB＝2，故四边形ABCD的周长为4＋2＋2＋2＝6＋2＋2，C错误；四边形ABCD的面积为×（4＋2）×2＝6，D正确. 【规律方法】 直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 训练3　（1）已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为（　D　） A.a2　 　B.a2　 　C.a2　 　D.a2 解析：（1）如图1、图2所示，分别为正三角形ABC的实际图形和直观图. 由图2可知，B'C'＝BC＝a，O'A'＝OA＝a，在图2中作A'D'⊥B'C'于点D'，则A'D'＝O'A'＝a，所以S△A'B'C'＝B'C'·A'D'＝×a×a＝a2. （2）如图，矩形O'A'B'C'是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6 cm，O'C'＝2 cm，C'D'＝2 cm，则原图形是　菱形　，其面积为　24 cm2　. 解析：（2）如图，在原图形OABC中，应有OA＝O'A'＝6 cm，OD＝2O'D'＝2×2＝4（cm），CD＝C'D'＝2 cm，所以OC＝＝＝6（cm），所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形，S四边形OABC＝OA×OD＝6×4＝24（cm2）. 三视图与直观图的联系与区别 通过教材P112第7题我们联想到三视图、直观图是从不同角度观察空间物体而抽象出来的平面图形，它们都是将空间几何体通过不同平行投影而得到的平面图形. 1.三视图与直观图的联系与区别 联系：（1）三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间几何体的位置特征与度量特征； （2）从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形. 区别：（1）三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状； （2）直观图是在某一方向观察到的图形，三视图是从不同角度将物体向投影面作正投影所得到的图形，对于同一物体，二者可以相互转换. 2.由三视图画直观图的基本步骤 （1）想象空间几何体的形状：由三视图还原成空间几何体，应充分抓住三视图的结构特征进行逆向思维，并联想基本几何体的结构. 对于简单几何体而言，当俯视图是圆时，该几何体可能是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体可能是多面体. （2）利用斜二测画法画直观图：当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验. 　　提醒：（1）由三视图画直观图，需要发挥空间想象能力，一般先从正视图出发，然后是侧视图、俯视图；（2）画出后要检验，对所画几何体的直观图进行检查修补；（3）需要熟悉一些常见几何体的三视图，如长方体、圆柱、圆锥、圆台、球等，并能由三视图逆推出几何体. 3.两类图形的相互转换 （1）由直观图到三视图 若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，可见的轮廓线和棱都用实线画出，不可见的轮廓线和棱用虚线画出. （2）由三视图到直观图 由三视图还原立体图形时，根据三视图的特征，先判断是简单几何体还是组合体.若是简单几何体，结合柱、锥、台、球的三视图逆推；若是组合体，结合柱、锥、台、球的三视图，判断是由哪几种简单几何体组合而成的，根据它们的相对位置关系，想象出它的构成情况. 【迁移应用】 1.将正方体（如图1）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（　　） 解析：B　在正方体中，过D1，D，A三点分别向正方体的右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线. 2.若某几何体的三视图如图，则这个几何体的直观图可以是（　　） 解析：D　用排除法，A、B的正视图不符合要求，C的俯视图不符合要求.故选D. 1.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴，y'轴平行，且A'B'＝A'C'，那么△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析：D　因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x'O'y'＝45°，A'B'＝A'C'，且A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形. 2.〔多选〕关于斜二测画法所得到的水平放置的平面图形的直观图，下列说法正确的是（　　） A.三角形的直观图是三角形 B.平行四边形的直观图是平行四边形 C.正方形的直观图是正方形 D.菱形的直观图是菱形 解析：AB　斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，正方形的直观图是平行四边形，菱形的直观图是平行四边形. 3.如图，△A'O'B'是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图，则△AOB的面积是　16　. 解析：由图可知O'B'＝4，则对应△AOB中，OB＝4.又和y'轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8，所以△AOB的面积为×4×8＝16. 4.画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图. 解：（1）画轴.画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图. （2）画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. （3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于四棱锥的高. （4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图. 课堂小结 1.理清单 （1）平面图形的直观图画法； （2）空间几何体的直观图画法； （3）直观图的还原与计算. 2.应体会 数形结合思想. 3.避易错 （1）在原图形中平行于y轴的线段，在直观图中长度减半； （2）同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 1.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　） 解析：C　根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C. 2.下列说法中正确的是（　　） A.相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B.相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C.不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 解析：D　如图，由正方形的直观图是平行四边形可知A、B错误，易知D正确. C项，如图，矩形的邻边满足OC＝2OA，其直观图的邻边是相等的，故C错误. 3.如图，△A'O'B'是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O'为坐标原点，顶点A'，B'均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O'B'的长度为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　法一　如图，画出△A'O'B'的原图形△AOB，为直角三角形，且OA＝O'A'＝6，因为OB·OA＝12，所以OB＝4，所以O'B'＝OB＝2. 法二　S直观图＝S原图形＝3，又S直观图＝O'A'·O'B'·sin∠A'O'B'，所以O'B'＝2. 4.如图所示为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中，点B的坐标为（2，2），则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B'到x'轴的距离为（　　） A. B. C.1 D. 解析：B　因为BC垂直于x轴，所以在直观图中B'C'的长度是1，且与x'轴的夹角是45°，所以B'到x'轴的距离是. 5.如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A'B'C'D'是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（　　） A.4＋4 B.4＋4 C.8 D.8 解析：B　根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，其中OA＝2，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝＝2，故原平面图形的周长为2＋2＋2＋2＝4＋4. 6.〔多选〕用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，下列描述正确的是（　　） A.正方形的直观图是平行四边形 B.梯形的直观图是梯形 C.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行于y轴的线段变为原来的一半 D.用斜二测画法画平面图形的直观图时，锐角在直观图中依然是锐角 解析：ABC　根据直观图的画法中平行性保持不变，且平行线段的长度比不变，故A、B正确；由斜二侧画法规则可知，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半，C正确；由斜二测画法知，锐角在直观图中不一定是锐角，故D错误.故选A、B、C. 7.〔多选〕如图是由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（　　） A.AB＝BC＝AC B.AD⊥BC C.AB⊥BC D.AC＞AD＞AB＞BC 解析：CD　由直观图知△ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，D为BC的中点，如图所示，又A1B1＝B1C1，所以AB＝2BC，故A、B错误，C、D正确. 8.一个菱形的边长为4 cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为　2　cm2. 解析：由条件可知，较长的对角线的长度是＝4 cm，较短的对角线的长度是4 cm，则菱形直观图的面积S＝2××4×1×＝2（cm2）. 9.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面重合，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若利用斜二测画法按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为　4　cm，宽为　0.5　cm，建筑物的高为　3.6　cm. 解析：由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm，1 cm，2 cm，四棱锥的高为1.6 cm，所以长方体的直观图的长、宽、高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm，所以直观图中建筑物的高为2＋1.6＝3.6（cm）. 10.用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图. 解：（1）画x'轴，y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'＝45°. （2）在x'轴上取点H，使O'H＝3，作HA'∥y'轴，并取A'H＝1（A'在x'轴下方），在y'轴正半轴上取点C'，使O'C'＝1，在x'轴正半轴上取点B'，使O'B'＝4，顺次连接O'，A'，B'，C'，如图1所示. （3）擦去作为辅助线的坐标轴、线段A'H、点H，便得到四边形OABC的直观图O'A'B'C'，如图2所示. 11.如图是用斜二测画法得到的水平放置的Rt△ABO的直观图，已知O'B'＝4，且△ABO的面积为16，过点A'作A'C'⊥x'轴于点C'，则A'C'的长为（　　） A.2 B. C.16 D.1 解析：A　由直观图可知在Rt△ABO中，AB⊥OB且OB＝4，则S△ABO＝×4×AB＝16，∴AB＝8，∴A'B'＝4，∴A'C'＝4×＝2. 12.〔多选〕（2025·临沂质检）如图所示是水平放置的△ABC在平面直角坐标系中的直观图，其中D'是A'C'的中点，则在原△ABC中，与线段BD相等的线段可能有（　　） A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 解析：CD　将直观图还原，可得△ABC为直角三角形，BD为斜边上的中线，当∠BAC≠30°且∠BAC≠60°时，与BD的长相等的线段有2条；当∠BAC＝30°或60°时，与BD的长相等的线段有3条. 13.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是　2　. 解析：过点B'作B'C'∥y'轴，交x'轴于点C'，如图，在△O'B'C'中，∠B'O'C'＝30°，∠B'C'O'＝135°，O'B'＝2，由正弦定理得＝，于是得B'C'＝＝，由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是2. 14.一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图. 解：（1）如图1，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画圆柱的两底面.以O为中点，在x轴上取线段AB，使AB＝3 cm，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.在z轴正半轴上截取OO'，使OO'＝3 cm，过O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，类似下底面的作法作出圆柱的上底面. （3）画圆锥的顶点.在z轴正半轴上画出点P，使PO'＝3 cm. （4）成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此机器部件的直观图，如图2. 15.泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）. 解：（1）先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD； （2）以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE-BCF，直观图如图所示. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $