8.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征，简单组合体的构成，以及旋转体截面计算。通过情境导入抽象旋转体，梳理各几何体定义、相关概念及特征，结合例题辨析概念，分层训练巩固，形成完整知识支架。 资料以问题驱动引导数学抽象，通过轴截面转化空间问题培养直观想象，如例3利用球的截面将立体问题转化为平面方程求解。课中助力教师引导探究，课后学生可通过例题解析和分层训练查漏补缺，提升空间观念与应用意识。

第二课时　圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体 课标要求 情境导入 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义（数学抽象）. 2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征（直观想象）. 3.了解简单组合体的概念及结构特征（数学抽象、直观想象）. 　　观察上述实物图，抽象出的几何体可由半圆、直角梯形及直角三角形沿某直线旋转一周，由旋转后的曲面围成的几何体. 知识点一｜常见简单旋转体的结构特征 问题1　多面体与旋转体有何区别？ 提示：多面体由若干个平面多边形围成的几何体；旋转体是一条平面曲线（包括直线）绕其所在平面内的一条定直线旋转一周，由旋转后得到的曲面围成的几何体. 【知识梳理】 1.圆柱的概念及结构特征 圆柱 图形及表示 定义 以　矩形的一边　所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱记作圆柱O'O 相关概念 圆柱的轴：　旋转轴　； 圆柱的底面：　垂直于轴　的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面：　平行于轴　的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，　平行于轴　的边 结构特征 （1）圆柱两个底面是　圆面　而不是圆； （2）圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行（与轴平行）且相等； （3）侧面是曲面，其展开图为矩形 　　提醒：通过轴的各个截面叫做轴截面，轴截面是全等的矩形. 2.圆锥的概念及结构特征 圆锥 图形及表示 定义 以直角三角形的　一条直角边　所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图中圆锥记作圆锥SO 相关概念 圆锥的轴：旋转轴； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的　斜边　旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 结构特征 （1）底面是　圆面　； （2）有无数条母线，长度　相等　且交于顶点； （3）侧面为曲面，其展开图为扇形 　　提醒：（1）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，圆锥的母线l、高h和底面半径r组成一个直角三角形，且满足l2＝h2＋r2；（2）过顶点和底面相交的截面是等腰三角形；（3）母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等. 3.圆台的概念及结构特征 圆台 图形及表示 定义 用　平行于圆锥底面　的平面去截圆锥，　底面与截面　之间的部分叫做圆台 图中圆台记作圆台O'O 相关概念 圆台的轴：旋转轴； 圆台的底面：　垂直于轴　的边旋转一周所形成的圆面； 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于　轴　的边 结构特征 （1）上、下底面是互相平行且　不相等　的圆面； （2）有无数条母线，等长且延长线交于　一点　； （3）侧面为曲面，其展开图为扇环 　　提醒：（1）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，圆台的母线l、高h和上、下底面半径r，R组成一个直角梯形，且满足l2＝h2＋（R－r）2；（2）任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形；（3）圆柱、圆锥、圆台之间的变化关系为：当圆台的上底面与下底面相同时，圆台转化为圆柱；当圆台的上底面缩小为一个点时，圆台转化为圆锥.如图所示. 4.球的概念及结构特征 球 图形及表示 定义 　半圆以它的直径　所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球记作球O 相关概念 球心：半圆的　圆心　； 半径：连接　球心　和球面上任意一点的　线段　； 直径：连接球面上　两点　并经过球心的　线段　 结构特征 （1）球面是旋转形成的曲面.球面也可以看成空间中到定点（球心）的距离等于　定长　（半径）的所有点的集合； （2）球的截面都是　圆面　 　　提醒：球的截面都是圆面，球心和截面圆心的连线垂直于截面. 【例1】　下列说法正确的是　③④　（填序号）. ①圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； ②一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台； ③圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； ④空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面. 解析：①错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；②错，直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示；③正确；④正确. 【规律方法】 1.判断简单旋转体结构特征的方法 （1）明确由哪个平面图形旋转而成； （2）明确旋转轴是哪条直线. 2.简单旋转体的轴截面及其应用 （1）简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量； （2）在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 训练1　〔多选〕下列说法中，正确的是（　　） A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面 D.同一圆锥的轴截面图形都是全等的等腰三角形 解析：ACD　对于A，圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，为2rl，A正确；对于B，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，B错误；对于C，圆台的所有平行于底面的截面都是圆面，C正确；易知D正确. 知识点二｜简单组合体的结构特征 问题2　常见的组合体有哪些？ 提示：常见的组合体有：多面体与多面体的组合体、多面体与旋转体的组合体及旋转体与旋转体的组合体. 【知识梳理】 1.现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作　简单组合体　. 2.简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体　拼接　而成；一种是由简单几何体　截去或挖去　一部分而成. 【例2】　（1）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（　　） A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 （2）观察下列几何体的结构特点，完成以下问题. ①图1所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出旋转180°后能得到几何体1的几何图形； ②图2所示几何体结构特点是什么？试画出旋转360°后能得到几何体2的几何图形； ③图3所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数. （1）解析：D　图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥. （2）解：①题图1是由圆锥和圆台组合而成的.可旋转解析图①180°得到几何体1. ②题图2是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心而成的.可旋转解析图②360°得到几何体2. ③题图3是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成的，且四棱锥的底面与四棱柱的底面相同.共有9个面，16条棱，9个顶点. 【规律方法】 判断组合体构成的方法 （1）判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体； （2）组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证. 训练2　（1）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（　　） （2）请描述如图所示的几何体是如何形成的. （1）解析：A　该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成.故选A. （2）解：图1是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；图2是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；图3是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体. 提能点｜旋转体中与截面有关的计算 【例3】　已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径. 解：如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R， 则π＝5π，π＝8π，∴＝5，＝8，又∵R2＝＋＝＋，∴－＝8－5＝3， 即（d1－d2）（d1＋d2）＝3，又d1－d2＝1，∴解得 ∴R＝＝＝3，即球的半径为3. 变式　若将本例条件变为：“已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的两侧，球的半径为3”，求两个平面之间的距离. 解：由＝5，＝8，则两个平面之间的距离CD＝OC＋OD＝＋＝3， 故两个平面之间的距离为3. 【规律方法】 1.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程（组）求解. 2.利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键. 训练3　（1）如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O'O的母线长； 解：（1）设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm. 过轴SO作截面， 如图所示，则△SO'A'∽△SOA，SA'＝3 cm.所以＝， 所以＝＝，解得l＝9，即圆台O'O的母线长为9 cm. （2）（2025·济南月考）从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l（l＜R）并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积. 解：（2）轴截面如图，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径O1D设为x. ∵OA＝AB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形. 又CD∥OA，则O1D＝O1O，∴x＝l. ∴截面面积S＝πR2－πl2＝π（R2－l2）（l＜R）. 1.〔多选〕下列说法中不正确的是（　　） A.将正方形旋转能形成圆柱 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线 解析：BD　将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A正确；B中没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；易知C正确；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误. 2.一条排水管的截面如图.已知排水管的截面圆半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面水深CD＝（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：B　由题意知OD⊥AB，交AB于点C，∵AB＝16，∴BC＝AB＝×16＝8，在Rt△OBC中，∵OB＝10，BC＝8，∴OC＝＝＝6，∴CD＝OD－OC＝10－6＝4. 3.关于图中的组合体的结构特征有以下几种说法： ①由一个长方体挖去一个四棱柱构成；②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；③由一个长方体挖去一个四棱台构成；④由一个长方体与两个四棱台组合而成. 其中正确说法的序号是　①②　. 4.两相邻边长分别为5 cm和7 cm的矩形，求以一边所在直线为轴旋转所成的圆柱的底面积（单位：cm2）. 解：当以5 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为7 cm，底面积为49π cm2；当以7 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为5 cm，底面积为25π cm2. 课堂小结 1.理清单 （1）圆柱、圆锥、圆台的结构特征； （2）球的结构特征； （3）简单组合体的结构特征； （4）旋转体中与截面有关的计算. 2.应体会 方程思想. 3.避易错 同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的. 1.如图所示的组合体，其结构特征是（　　） A.左边是三棱台，右边是圆柱 B.左边是三棱柱，右边是圆柱 C.左边是三棱台，右边是长方体 D.左边是三棱柱，右边是长方体 解析：D　根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体. 2.下面几何体的截面一定是圆面的是（　　） A.圆台 B.球 C.圆柱 D.圆锥 解析：B　截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球. 3.如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（　　） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.顶角为30°的等腰三角形 D.其他等腰三角形 解析：A　因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为，母线长也为，所以此圆锥的轴截面是等边三角形. 4.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为（　　） A.2 B. C.2 D.4 解析：D　由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示，作CE⊥AB于点E，则CE为圆台的高，所以高CE＝＝4. 5.如图，某工厂生产的一种机器零件原胚是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形中的一个绕对称轴（直线l）旋转而成，这个图形是（　　） 解析：B　根据题意，中空部分呈圆柱形状，而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，分析四个选项，A项，旋转后为圆台；C项，旋转后为圆台；D项，旋转后为球体中挖去一个小球；B项正确. 6.〔多选〕下列说法，正确的是（　　） A.圆柱的母线与它的轴可以不平行 B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 解析：BD　由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B、D正确，A、C错误. 7.〔多选〕（2025·舟山质检）下列命题中正确的是（　　） A.过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆 B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径 C.用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D.球是空间中与定点的距离等于或小于定长的所有点的集合 解析：BCD　对于A中，当过球的直径的两个端点，可以作无数个过球心的圆，所以A错误；对于B中，根据球的定义知，过球心的截面圆为大圆，两个大圆的交线必为球的直径，所以B正确；对于C中，根据球的截面圆的性质，可得用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面，所以C正确；对于D中，根据球的定义，球是在空间中与定点的距离等于或小于定长的所有点的集合，所以D正确.故选B、C、D. 8.用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种　①②③⑤　（填序号）. ①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球. 解析：可能是棱柱、棱锥、棱台、圆锥. 9.一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的母线长为　　cm；圆锥的轴截面的面积为　　cm2. 解析：如图，圆锥SO的轴截面为SAB，底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝（cm），SA＝＝＝（cm），所以S△ASB＝SO·2AO＝（cm2）.所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2. 10.如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A选在射线DE上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点. 解：当AD＞BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是由底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成的组合体；当AD＝BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是圆柱；当AD＜BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是从圆柱中挖去一个同底的圆锥而得到的组合体. 11.（2025·宁波月考）被誉为“中国天眼”的500 m口径球面射电望远镜通过国家验收正式开放运行，成为全球口径最大且最灵敏的射电望远镜（简称FAST）（如图）.FAST的反射面的形状为球冠.球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆面为球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段为球冠的高.某科技馆制作了一个FAST模型，其口径为5 m，反射面总面积为8π m2，若模型的厚度忽略不计，则该球冠模型的高为（　　） （注：球冠表面积S＝2πRh，其中R是球的半径，h是球冠的高） A. m B. m C. m D. m 解析：B　如图所示为球的轴截面图形，ACD部分为该球冠的轴截面，AD是弦，OC是球的半径，点B为AD的中点，OC⊥AD于点B，由题意可得，OC＝OA＝R，BC＝h，AD＝5，所以OB＝R－h，AB＝.在Rt△OAB中，由勾股定理可得R2＝（R－h）2＋（）2　①，又由球冠的表面积及题意可得，2πRh＝8π　②，由①②可得h＝，所以该球冠模型的高为 m. 12.〔多选〕如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（　　） 解析：AD　一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分. 13.如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成. （1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为长方体，则①～⑤中选出的模块可以是　①（或②或⑤）（答案不唯一）　；　 （2）若从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的3个模块可以是　①②⑤（或①④⑤或②③④）（答案不唯一）　. 解析：（1）由图可知，①～⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也可以是⑤. （2）以①②⑤为例，中间层用⑤补齐，最上层用①②.（答案不唯一） 14.已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. （1）若OA＝1，求圆M的面积； （2）若圆M的面积为3π，求OA. 解：（1）若OA＝1，则OM＝，故圆M的半径r＝＝＝， 所以圆M的面积S＝πr2＝π. （2）因为圆M的面积为3π，所以圆M的半径r＝，则OA2＝＋3， 所以OA2＝3，即OA2＝4，所以OA＝2. 15.如图所示的圆锥中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上一点，且SM＝x，若用一条细绳绕过圆锥侧面连接点A和点M. （1）求绳子的最短长度f（x）； （2）绳子最短时，求顶点到绳子的最短距离. 解：将圆锥的侧面沿母线SA展开成扇形ASA'，如图所示. 易知＝2πr＝2π，设∠ASA'＝n°， 则＝2π，解得n＝90，即∠ASA'＝90°. （1）易知绳子的最短长度应为图中AM的长度，在Rt△ASM中，AM＝＝（0≤x≤4）， 所以f（x）＝（0≤x≤4）. （2）绳子最短时，在展开图中，作SH⊥AM于点H，如图，则SH的长度即顶点S到绳子的最短距离. 在Rt△ASM中，SA·SM＝AM·SH，所以SH＝＝（0≤x≤4）. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $