6.4.1 平面几何中的向量方法(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.4.1　平面几何中的向量方法

课标要求                                                                                         情境导入

　　

知识点一｜利用向量证明平面几何问题

【例1】　（链接教材P38例1）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.

证明：法一　设＝a，＝b，

则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0.

又＝＋＝－a＋，

＝＋＝b＋，

所以·＝（b＋）·（－a＋）

＝－－a·b＋＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0.

故⊥，即AF⊥DE.

法二　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，

设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），

则＝（2，1），＝（1，－2）.

因为·＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，

所以⊥，即AF⊥DE.

【规律方法】

利用向量证明平面几何问题的方法

（1）基底法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知其模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算或性质解决；

（2）坐标法：建立适当的平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、平行、垂直等问题转化为代数运算.一般地，坐标易表示或易建立坐标系的题目选用坐标法.

训练1　如图，在平行四边形ABCD中，M为线段DC的中点，N为线段AC的中点，点T在线段AM上，且AT＝3TM.求证：NT∥BM.

证明：设＝a，＝b，

则＝＋＝－a＋b，

＝＋＝－＋.

而＝a＋b，＝＋＝a＋b，

所以＝－（a＋b）＋（a＋b）＝－a＋b，

所以＝4.

所以NT∥BM.

知识点二｜利用平面向量求几何中的长度

【例2】　（链接教材P39例2）在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.

解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，

∵｜｜＝｜a－b｜＝＝＝＝2，

∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，

又｜｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2

＝1＋4＋2a·b＝6，

∴｜｜＝，即AC＝.

【规律方法】

利用向量法解决长度问题的策略

向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式｜a｜＝ 求解.

训练2　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则｜｜＝（　　）

A. B.2

C.3 D.2

解析：B　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设｜｜＝a（a＞0），则A（0，0），C（4，a），D（0，a），E（2，0），所以＝（2，－a），＝（4，a）.因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8，所以a＝2，所以＝（2，－2），所以｜｜＝ ＝2.

知识点三｜利用平面向量求几何中的角度

【例3】　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.