6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 课标要求 情境导入 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算（数学运算）. 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直（逻辑推理）. 　　前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标来表示两向量的数量积呢？ 　　 知识点一｜平面向量数量积的坐标表示 问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能给出a·b的值吗？ 提示：根据向量数量积的定义，易得i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝（x1i＋y1j）·（x2i＋y2j） ＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2. 【知识梳理】 向量数量积的坐标表示 （1）语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和； （2）坐标表示：已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝　x1x2＋y1y2　. 【例1】　已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）. （1）求a·（a－b）； 解：（1）法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2）， 所以a－b＝（－4，0）. 所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－4）＋2×0＝4. 法二　a·（a－b）＝a·a－a·b ＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4. （2）求（a＋b）·（2a－b）. 解：（2）因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2）， 所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝－2. 【规律方法】 向量数量积坐标运算的技巧 （1）两向量进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：①a2＝a·a；②（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；③（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2； （2）在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积. 训练1　（1）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（　C　） A.6 B.5 C.4 D.3 解析：（1）由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4. （2）在平面直角坐标系Oxy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，－2），＝（2，1），则·＝（　A　） A.5 B.4 C.3 D.2 解析：（2）由＝＋＝（1，－2）＋（2，1）＝（3，－1），得·＝（2，1）·（3，－1）＝2×3＋1×（－1）＝5. 知识点二｜平面向量的模 问题2　若向量a＝（x，y），你能计算出向量a的模吗？ 提示：｜a｜＝＝＝＝. 【知识梳理】 1.向量模的坐标公式 若a＝（x，y），则｜a｜2＝　x2＋y2　，｜a｜＝. 2.两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式 ｜｜＝　　. 【例2】　（1）已知向量a＝（1，0），b＝（2，2），则｜a－2b｜＝（　D　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：（1）由题知向量a＝（1，0），b＝（2，2），所以a－2b＝（－3，－4），所以｜a－2b｜＝＝5，故选D. （2）已知，均为单位向量，且＋2＝（1，1），则｜｜＝（　C　） A. B.C. D. 解析：（2）因为＋2＝（1，1），所以（＋2）2＝＋4＋4·＝2，因为向量，均为单位向量，所以1＋4＋4·＝2，所以·＝－，所以｜｜＝｜－｜＝＝＝. 【规律方法】 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ . 训练2　已知向量a＝（2，m），b＝（3，6），若｜3a＋b｜＝｜3a－b｜，则实数m的值为（　　） A.1 B.－1 C.4 D.－4 解析：B　法一　已知向量a＝（2，m），b＝（3，6），则3a＋b＝（9，3m＋6），3a－b＝（3，3m－6），由｜3a＋b｜＝｜3a－b｜可得＝，解得m＝－1. 法二　∵｜3a＋b｜＝｜3a－b｜，∴（3a＋b）2＝（3a－b）2，即9a2＋6a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2，∴12a·b＝0，即a·b＝0，∴2×3＋6m＝0，m＝－1. 知识点三｜平面向量的夹角与垂直 问题3　你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当夹角为时，得到的结论是什么？ 提示：若两非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.当夹角为时，x1x2＋y1y2＝0. 【知识梳理】 设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹角. （1）cos θ＝＝； （2）a⊥b⇔　x1x2＋y1y2＝0　. 【例3】　（链接教材P35例11）已知a＝（4，3），b＝（－1，2）. （1）求a与b夹角的余弦值； 解：（1）因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2， ｜a｜＝＝5，｜b｜＝＝， 设a与b的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝. （2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值. 解：（2）因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8）， 又（a－λb）⊥（2a＋b）， 所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，解得λ＝. 【规律方法】 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ； （2）注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 训练3　（1）已知向量a＝（1，1），2a＋b＝（4，2），则向量a与b的夹角为（　B　） A. B. C. D. 解析：（1）由题意得b＝2a＋b－2a＝（2，0），所以a·b＝1×2＋1×0＝2，易得｜b｜＝2，｜a｜＝，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，故选B. （2）已知A，B，C是平面直角坐标系内的三点，若＝（2，1），＝（3，－6），则△ABC的面积为（C　　） A.15 B.12 C. D.6 解析：（2）因为＝（2，1），＝（3，－6），所以·＝2×3－6＝0，即⊥，所以S△ABC＝｜｜·｜｜＝××＝，故选C. 1.已知a＝（－4，3），b＝（5，6），则3｜a｜2－4a·b＝（　　） A.23 B.57 C.63 D.83 解析：D　3｜a｜2－4a·b＝3×[（－4）2＋32]－4×（－4×5＋3×6）＝83.故选D. 2.已知向量a＝（1，－2），b＝（m，1），若a⊥b，则b与a＋b夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D.－ 解析：A　因为a⊥b，所以a·b＝m－2＝0，即m＝2.所以b＝（2，1），a＋b＝（3，－1），所以cos＜b，a＋b＞＝＝＝＝.故选A. 3.设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则｜3a＋b｜＝　　. 解析：∵a∥b，∴1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝（1，2），｜3a＋b｜＝. 4.已知点A（0，1），B（1，－2），向量＝（4，－1），求·及｜｜. 解：因为＝（1，－3）， 所以·＝1×4＋（－3）×（－1）＝7， ＝－＝（4，－1）－（1，－3）＝（3，2）， 所以｜｜＝＝. 课堂小结 1.理清单 （1）平面向量数量积的坐标表示； （2）平面向量的模与夹角（垂直）问题. 2.应体会 应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、平行、夹角及长度等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法. 3.避易错 （1）易混淆平面向量平行与垂直的坐标表示； （2）在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况. 1.向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：C　∵a＝（1，－1），b＝（－1，2），∴2a＋b＝（1，0），∴（2a＋b）·a＝1×1＋0×（－1）＝1. 2.已知向量m＝（1，1），向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则｜n｜＝（　　） A.－1 B.1 C.2 D.－2 解析：B　cos ＝＝＝－，｜n｜＝1.故选B. 3.已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析：A　由题设知＝（8，－4），＝（2，4），所以·＝8×2＋（－4）×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形. 4.已知向量a＝（－2，－1），b＝（1，2），若a在b上的投影向量为c，则c·（a＋b）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：B　因为a＝（－2，－1），b＝（1，2），所以a在b上的投影向量为·＝×（1，2）＝（－，－），所以c＝（－，－）.因为a＋b＝（－1，1），所以c·（a＋b）＝－＝－.故选B. 5.〔多选〕已知向量a＝（1，3），b＝（2，－4），则下列结论正确的是（　　） A.（a＋b）⊥a B.｜2a＋b｜＝ C.向量a，b的夹角为 D.a·b＝－10 解析：ACD　对于选项A，a＋b＝（3，－1），因为（a＋b）·a＝（3，－1）·（1，3）＝3－3＝0，所以（a＋b）⊥a，故A正确；对于选项B，易得2a＋b＝（4，2），所以｜2a＋b｜＝＝＝2，故B错误；对于选项C，设向量a，b的夹角为θ（θ∈[0，π]），则cos θ＝＝＝－，所以θ＝，即向量a，b的夹角为，故C正确；对于选项D，a·b＝1×2＋3×（－4）＝－10，故D正确.故选A、C、D. 6.〔多选〕已知向量a＝（cos θ，sin θ），b＝（－3，4），则（　　） A.若a∥b，则tan θ＝－ B.若a⊥b，则sin θ＝ C.｜a－b｜的最大值为6 D.若a·（a－b）＝0，则｜a－b｜＝2 解析：ACD　若a∥b，则4cos θ＝－3sin θ，tan θ＝－，A正确；若a⊥b，则－3cos θ＋4sin θ＝0，tan θ＝，所以sin θ＝±，B错误；因为｜a｜＝＝1，｜b｜＝＝5，｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，所以C正确；若a·（a－b）＝0，则a2＝a·b，则｜a－b｜＝＝＝＝＝2，D正确.故选A、C、D. 7.设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m＝　－1　. 解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1. 8.已知a＝（2，0），b＝（1，2），实数λ满足｜a－λb｜＝，则λ的值为　1或－　. 解析：由题意可得a－λb＝（2－λ，－2λ），所以｜a－λb｜＝＝，解得λ＝1或λ＝－. 9.设点A（4，2），B（a，8），C（2，a），O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为　　. 解析：∵四边形OABC是平行四边形，∴＝，即（4－0，2－0）＝（a－2，8－a），∴a＝6，∴＝（4，2），＝（2，6），设向量与的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，∴与的夹角为. 10.已知向量a＝（－1，2），b＝（3，－1）. （1）求a＋2b的坐标与｜a－b｜； （2）求向量a与a－b的夹角的余弦值. 解：（1）a＋2b＝（5，0），a－b＝（－4，3）， ｜a－b｜＝＝5. （2）a·（a－b）＝10， ｜a｜＝＝， cos＜a，a－b＞＝＝＝. 11.若向量＝（3，－1），n＝（2，1），且n·＝7，则n·＝（　　） A.－2 B.2 C.－2或2 D.0 解析：B　∵＋＝，∴n·（＋）＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2. 12.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是（　　） A.（－2，6） B.（－6，2） C.（－2，4） D.（－4，6） 解析：A　连接AE，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），设P（x0，y0），则－1＜x0＜3.＝（2，0），＝（x0，y0），则·＝2x0∈（－2，6）.故选A. 13.已知O为坐标原点，向量＝（2，2），＝（4，1），在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标为　（3，0）　. 解析：设点P的坐标为（x，0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1）.所以·＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）. 14.已知向量a＝（2，0），b＝（，）. （1）若（a＋b）⊥（a－λb），求实数λ的值； （2）若ka＋b与2a－b的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 解：（1）因为（a＋b）⊥（a－λb），所以（a＋b）·（a－λb）＝0. 因为a＝（2，0），b＝（，），所以a＋b＝（，），a－λb＝（2－λ，－λ），所以（a＋b）·（a－λb）＝7－6λ＝0，解得λ＝. （2）由已知可得（ka＋b）·（2a－b）＜0，且ka＋b与2a－b不共线，易得ka＋b＝（2k＋，），2a－b＝（，－）， 由（ka＋b）·（2a－b）＜0，可得（2k＋）×＋×（－）＜0，解得k＜－. 若ka＋b与2a－b共线，则（2k＋）×（－）＝×，解得k＝－2， 所以由ka＋b与2a－b不共线可得k≠－2，所以k的取值范围为{k｜k＜－且k≠－2}. 15.在平面直角坐标系xOy中，给定A（x1，y1），B（x2，y2），假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示. （1）你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？ （2）以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积用A，B的坐标怎样表示？ 解：（1）如图所示， 记t＝OA，a＝（－y1，x1），则容易验证，a是与垂直的单位向量. 过B作BD⊥OA于点D.因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知 BD＝｜a·｜， 因此，△OAB的面积为 S△OAB＝AO×BD＝AO×｜a·｜ ＝t×｜（－y1，x1）·（x2，y2）｜ ＝｜（－y1，x1）·（x2，y2）｜ ＝｜x1y2－x2y1｜. 所以S△OAB＝｜x1y2－x2y1｜. （2）由于以OA，OB为邻边的平行四边形OACB被AB分为两个全等的三角形，所以S▱OACB＝｜x1y2－x2y1｜. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $