6.2.4 第1课时 向量的夹角、数量积的定义及投影向量(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.4　向量的数量积 课标要求 情境导入 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（数学抽象、直观想象）. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系（逻辑推理）. 　　前面我们学习了向量的线性运算，包括加法、减法和数乘运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 第一课时　向量的夹角、数量积的定义及投影向量 知识点一｜两向量的夹角 问题1　物理上已学习了物体在力F的作用下发生了位移s，那么F所做的功为W＝｜F｜｜s｜cos θ.在计算公式中，θ的几何意义是什么？ 提示：θ是向量F与向量s的夹角. 【知识梳理】 1.夹角：已知两个　非零向量　a，b（如图），O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则　∠AOB＝θ　叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是　0≤θ≤π　.a，b的夹角记作＜a，b＞. 当θ＝0时，a与b　同向　；当θ＝π时，a与b　反向　. 2.垂直：如果a与b的夹角是　　，则称a与b垂直，记作　a⊥b　. 　　提醒：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为. 【例1】　已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b. 因为｜a｜＝｜b｜＝2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 【规律方法】 求两个向量夹角的方法 （1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出； （2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. 训练1　如图，在等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，写出下列各组向量的夹角. （1）与； 解：（1）与的夹角是∠EDF＝60°. （2）与. 解：（2）因为＝，所以与的夹角等于与的夹角，即∠EDA＝120°. 知识点二｜两向量的数量积 【知识梳理】 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量　｜a｜｜b｜cos θ　叫做向量a与b的数量积（或内积），记作　a·b　，即　a·b＝｜a｜｜b｜cos θ　. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 　　提醒：（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0，这个数量的大小与两向量的长度及其夹角有关. 2.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则： （1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ； （2）a⊥b⇔　a·b＝0　； （3）当a∥b时，a·b＝特别地，a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝； （4）a·b　≤　｜a｜｜b｜； （5）cos θ＝. 【例2】　（1）（链接教材P17例9）若｜m｜＝4，｜n｜＝6，m与n的夹角θ为120°，则m·n＝（　D　） A.12 B.12 C.－12 D.－12 解析：（1）m·n＝｜m｜｜n｜cos θ＝4×6×cos 120°＝24×（－）＝－12.故选D. （2）已知正三角形ABC的边长为1，则·＝　　，·＝　－　. 解析：（2）∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜cos 60°＝1×1×＝.∵与的夹角为120°，∴·＝｜｜｜｜cos 120°＝1×1×（－）＝－. 【规律方法】 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；该定义式中涉及四个量，可知三求一. 训练2　（1）设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（　B　） A. B. C. D.π 解析：（1）设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝. （2）已知平面上三点A，B，C满足｜｜＝3，｜｜＝4，｜｜＝5，则·＋·＋·＝（　D　） A.－7 B.7 C.25 D.－25 解析：（2）由题得｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos（180°－C）＋5×3cos（180°－A）＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D. 知识点三｜投影向量 【问题2】　如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用｜OA｜和θ表示｜OD｜. 提示：｜OD｜＝｜OA｜cos θ. 【知识梳理】 1.定义： 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b　投影　，叫做向量a在向量b上的　投影向量　. 2.公式：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是　｜a｜cos θ e　. 　　提醒：（1）向量a在向量b上的投影向量是一个向量，它与向量b共线，其大小为｜｜a｜cos θ｜，其中θ为向量a与b的夹角；（2）a在b上的投影向量也可表示为｜a｜cos＜a，b＞或·b. 【例3】　已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. （1）求a·b； 解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. （2）求a在b上的投影向量. 解：（2）a在b上的投影向量为｜a｜cos θ e＝－e. 【规律方法】 投影向量的求解方法 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜cos θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜cos θ也称为a在b上投影向量的数量，即当0≤θ≤时，｜a｜cos θ为a在b上投影向量的模，当＜θ≤π时，｜a｜cos θ为a在b上投影向量模的相反数. 训练3　（1）等边三角形ABC的边长为2，则在上的投影向量为（　A　） A.－ B. C.2 D.－2 解析：（1）因为△ABC是边长为2的等边三角形，且cos＜，＞＝－，所以向量在向量上的投影向量为｜｜cos＜，＞×＝－1×＝－.故选A. （2）已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且b在a上的投影向量为－a，则｜a＋b｜＝　　. 解析：（2）由题意可得·a＝－a，又｜a｜＝3，所以a·b＝－6，又｜b｜＝4，所以｜a＋b｜＝＝＝＝. 1.已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：C　如图，∠DAB＝60°，则与的夹角为∠ABC＝120°. 2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝（　　） A.3 B.－3 C.－3 D.3 解析：B　由数量积的定义，得a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝×2×（－）＝－3. 3.〔多选〕对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是（　　） A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π） C.若a⊥b，则a·b＝0 D.｜a｜＝ 解析：CD　a·b＝0，则a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；由 数量积的性质知，C正确；因为a·a＝｜a｜｜a｜cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝，所以D正确. 4.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，向量a在向量e上的投影向量是　3e　. 解析：因为向量a，e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上的投影向量是｜a｜·cos 45°·e＝3e. 课堂小结 1.理清单 （1）两向量的夹角； （2）向量数量积的定义； （3）向量数量积的性质； （4）投影向量. 2.应体会 计算向量的数量积及投影向量，二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角问题时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法. 3.避易错 （1）用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； （2）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不同. 1.若｜a｜＝3，｜b｜＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝（　　） A.－3 B.－6 C.6 D.2 解析：B　a·b＝｜a｜｜b｜cos 135°＝3×4×（－）＝－6.故选B. 2.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（　　） A.100 J B.50 J C.50 J D.200 J 解析：B　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50（J）. 3.对于非零向量a与b，下列不等式中恒成立的是（　　） A.a·b≥｜a｜｜b｜ B.a·b≤｜a｜｜b｜ C.a·b＞｜a｜｜b｜ D.a·b＜｜a｜｜b｜ 解析：B　设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，cos θ∈[－1，1]，则a·b＝｜a｜｜b｜cos θ≤｜a｜｜b｜.故选B. 4.已知向量｜a｜＝2，b在a上的投影向量为－2a，则a·b＝（　　） A.4 B.8 C.－8 D.－4 解析：C　根据b在a上的投影向量为－2a，得·＝－2a，即a·b＝－2｜a｜2＝－2×4＝－8.故选C. 5.〔多选〕设a为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（　　） A.｜｜＝1 B.∥a C.＝a D.·a＝｜a｜ 解析：ABD　因为表示与向量a同方向的单位向量，所以＝1，∥a，即A、B正确；当a不是单位向量时，≠a，所以C错误；因为·a＝｜｜｜a｜cos 0°＝×｜a｜＝｜a｜，所以D正确. 6.〔多选〕在△ABC中，下列说法正确的是（　　） A.在上的投影向量可能为0 B.｜－｜＝｜｜ C.若·＜0，则△ABC为钝角三角形 D.若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° 解析：ABC　对于A，△ABC为直角三角形且∠ABC＝90°时，在上的投影向量为0，故A正确；对于B，｜－｜＝｜｜＝｜｜，故B正确；对于C，·＝｜｜｜｜cos A＜0，所以cos A＜0，所以A为钝角，则△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故D错误.故选A、B、C. 7.若向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1，且a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝　　. 解析：a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝. 8.已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为4e，则｜b｜＝　4　. 解析：设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜·cos θ＝16，又∵a在b上的投影向量为4e，∴｜a｜·cos θ e＝4e，∴｜a｜cos θ＝4，∴｜b｜＝4. 9.已知圆O的半径为R，A，B是其圆周上的两个三等分点，则·＝　－R2　. 解析：因为圆O的半径为R，A，B是其圆周上的两个三等分点，所以｜｜＝｜｜＝R，＜，＞＝，＜，＞＝π－＝，｜｜＝R，所以·＝｜｜·｜｜cos＜，＞＝R2cos ＝－R2. 10.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向量. （1）求a与b的夹角θ； （2）求a在b上的投影向量. 解：（1）由a·b＝｜a｜｜b｜cos θ， 得cos θ＝＝＝－. 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. （2）a在b上的投影向量为｜a｜cos θ e＝－e. 11.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星ABCDE中，AB＝6，O是该正五角星的中心，则·＝（　　） A.－18 B.－12 C.12 D.18 解析：D　过O作OH⊥AB，垂足为H，如图所示，易知H为AB的中点，故·＝｜｜·｜｜·cos∠OAB＝｜｜·｜｜·＝｜｜2＝18.故选D. 12.〔多选〕在△ABC中，边长分别为a，b，c，外接圆半径为1，则下列结论中正确的是（　　） A.若G是重心，则＋＋＝0 B.若H是垂心，则·＋·＋·＝0 C.若I是外心，则·（＋＋）＝（a2＋b2＋c2） D.若O是内心，则·－·＝ 解析：ABD　A、B显然正确；对于C，·（＋＋）＝·（＋－＋）＝2·＝b2，若·（＋＋）＝（a2＋b2＋c2）成立，则△ABC为直角三角形，否则不成立，所以C不一定正确；对于D，设AD＝x，BD＝y，CE＝z，则解得x＝，如图， ·－·＝｜｜c－｜｜b＝｜｜（c－b）＝.故A、B、D正确. 13.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是　等边三角形　，·＝　－8　. 解析：·＝｜｜｜｜cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.此时·＝｜｜｜｜cos 120°＝－8. 14.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. （1）若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量； （2）求·的取值范围. 解：（1）由已知可得＝，连接AM，BM（图略），则四边形OAMB是菱形，则＝＋， 所以＝－＝－（＋）＝－－. （2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则·＝cos 60°＝. 所以·的取值范围为［，］. 15.设M，P，Q为平面内三点，求证｜·｜≤｜｜｜｜，并确定等号成立的条件. 证明：令向量，的夹角为θ. ∵M，P，Q为平面内三点，∴0°≤θ≤180°，∴－1≤cos θ≤1， 又·＝｜｜｜｜cos θ， ∴－｜｜｜｜≤·≤｜｜｜｜， ∴｜·｜≤｜｜｜｜， 当且仅当cos θ＝±1即θ＝0°或180°时，｜·｜＝｜｜｜｜. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $