第6章 培优课 解三角形中的综合问题 能力提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

培优课　解三角形中的综合问题 能力提升 1 一、解三角形与三角恒等变换的综合问题 【例1】　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 m＝（a， b）与n＝（ cos A， sin B）平行. （1）求A； 解： 因为m∥n，所以a sin B－ b cos A＝0， 由正弦定理得 sin A sin B－ sin B cos A＝0， 又B∈（0，π），所以 sin B≠0，所以 sin A－ cos A＝0，则tan A＝ ，又A∈（0，π），所以A＝ . 数学·必修第二册 （2）若a＝ ，b＝2，求△ABC的面积. 解： 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，因为a＝ ，b＝2， A＝ ，所以7＝4＋c2－2c，解得c＝3或c＝－1（舍）， 所以△ABC的面积S＝ bc sin A＝ ×2×3× ＝ . 数学·必修第二册 【规律方法】 对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理（A＋B＋C＝ π）展开的，一般是通过正弦、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找 相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到 减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函 数问题，从而求解. 数学·必修第二册 训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B －b cos A＝c，且C＝ ，则B＝（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第二册 解析： 　在△ABC中，由正弦定理 ＝ ＝ ，及a cos B－b cos A ＝c，得 sin A cos B－ sin B cos A＝ sin C，即 sin （A－B）＝ sin C，又C ＝ ，所以 sin （A－B）＝ sin C＞0，所以0＜A－B＜π，所以A－B＝ C或A－B＝π－C. 易知A＋B＝ ，当A－B＝C＝ 时，A＝ ，B＝ ；当A－B＝π－C＝ 时，A＝ ，B＝0，不合题意，舍去.综上，B ＝ .故选C. 数学·必修第二册 二、解三角形与三角函数的综合问题 【例2】　已知函数f（x）＝3 sin （2x＋ ）. （1）求f（x）的单调递增区间； 解： 由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z）， 所以f（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）. 数学·必修第二册 （2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（ ＋ ）＝ － ，B＝2A，a＝3，求c. 解： 由f（ ＋ ）＝3 sin （A＋π）＝－ ，得 sin A＝ . 因为B＝2A＜π，所以A为锐角，所以 cos A＝ . 由正弦定理，得 ＝ ， 从而b＝ · sin 2A＝ ·2 sin A cos A＝6 cos A＝4. 易得 cos B＝ cos 2A＝1－2 sin 2A＝－ ， 结合余弦定理的推论， cos B＝ ， 得－ ＝ ，解得c＝ （负值已舍去）. 数学·必修第二册 【规律方法】 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 （1）转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理地 将问题转化为三角函数的问题； （2）用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅 助角公式等进行三角形中边角关系的互化； （3）得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数 解析式、角、三角函数值或讨论三角函数的基本性质等. 数学·必修第二册 训练2　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f（x） ＝ sin （x＋B）＋ cos （x＋B）tan C，且f（ ）＝－ . （1）求角A； 解： f（x）＝ ＝ ＝ ＝－ . ∵f（ ）＝－ ，∴－ ＝－ ，∴ sin （ －A）＝1. 又0＜A＜π，∴－ ＜ －A＜ ，∴ －A＝ ，∴A＝ . 数学·必修第二册 （2）若△ABC的面积为 ，且 sin B＋ sin C＝ ，求a的值. 解： ∵△ABC的面积S＝ bc sin A＝ bc· ＝ ，∴bc＝4， 设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知 ＝ ＝ ＝2R， sin B＝ ， sin C＝ ，a＝ R， sin B＋ sin C＝ ⇒b＋c＝ R， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ， ∴a2＝（b＋c）2－3bc， ∴3R2＝6R2－12，∴R＝2，∴a＝2 . 数学·必修第二册 三、解三角形中的中线问题 【例3】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满 足b cos ＝a sin B. （1）求A； 解：∵ cos ＝ cos （ － ）＝ sin ，∴b sin ＝a sin B， 由正弦定理得 sin B sin ＝ sin A sin B，∵ sin B≠0，∴ sin ＝ sin A， ∴ sin ＝2 sin cos ，∵A∈（0，π）， ∈（0， ），∴ sin ≠0，得 cos ＝ ，即 ＝ ，∴A＝ . 数学·必修第二册 （2）若a＝ ， · ＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长. 解： ∵ · ＝3，∴bc cos （π－A）＝3，得bc＝6， 由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13， ∵ ＝ （ ＋ ）， ∴｜ ｜2＝ （ ＋ ）2＝ （c2＋b2＋2bc cos A）＝ ， ∴｜ ｜＝ ，即AD的长为 . 数学·必修第二册 【规律方法】 求解三角形中线问题的常用方法 （1）中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2 （BD2＋AD2）； （2）向量法： ＝ （b2＋c2＋2bc cos A）. 数学·必修第二册 训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a sin B ＝ b cos A. （1）求角A的大小； 解： 由a sin B＝ b cos A及正弦定理可得 sin A sin B＝ sin B cos A， 因为A，B∈（0，π），则 sin B＞0，可得 sin A＝ cos A＞0， 则tan A＝ ，因此A＝ . 数学·必修第二册 （2）若BC边上的中线AD＝ ，且c＝4，求b的值. 解： 因为 ＝ （ ＋ ）， 所以2 ＝ ＋ ，所以4 ＝（ ＋ ）2＝ ＋ ＋ 2 · ， 即28＝c2＋b2＋2bc cos ∠BAC＝c2＋b2＋bc， 即b2＋4b－12＝0，解得b＝2（负值舍去）. 数学·必修第二册 四、解三角形中的角平分线问题 【例4】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝ ，b＝2 ，b2＋c2－a2＝ bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则 AE＝（　　） A. B. C. 2 D. 3 √ 数学·必修第二册 解析：　∵b2＋c2－a2＝ bc，∴ cos ∠BAC＝ ＝ ，∵B ＝ ，∴∠BAC∈（0， ） ，∴∠BAC＝ ，∴C＝ ，∴ ＝ ，∴c＝ × ＝2.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ， ∴∠AEB＝π－ － ＝ ，∴ ＝ ，∴AE＝ ＝ × sin ＝ × ＝ . 数学·必修第二册 【规律方法】 求解三角形中角平分线问题的常用方法 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c： （1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD； （2）内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则 ＝ ； （3）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC⇒AD＝ （角平分线长公式）. 数学·必修第二册 训练4　在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为 2 .若∠BAC的平分线与BC交于点E，求AE的长. 解：∵AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为2 ， ∴S△ABC＝ AB·AC· sin ∠BAC＝ ×2×4× sin ∠BAC＝2 ， ∴ sin ∠BAC＝ ，又∠BAC为钝角， ∴∠BAC＝ ， ∵AE为∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝ ∠BAC＝ ， 数学·必修第二册 ∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACE， ∴ AB·AE· sin ＋ AC·AE· sin ＝2 ， 即 ×2AE× ＋ ×4AE× ＝2 ， ∴AE＝ . 数学·必修第二册 五、解三角形中的最值（范围）问题 【例5】　在△ABC中，a2－ ac＋c2＝b2. （1）求B的大小； 解： 由a2－ ac＋c2＝b2及余弦定理得2ac cos B＝ ac，所以 cos B＝ ， 又B∈（0，π），所以B＝ . 数学·必修第二册 （2）求 cos A＋ cos C的取值范围. 解： 因为B＝ ，所以 cos A＋ cos C＝ cos A＋ cos （ －A） ＝ sin A＋ cos A＝ sin （A＋ ）， 因为0＜A＜ ，所以A＋ ∈（ ，π）， 所以 sin （A＋ ）∈（0，1]， 所以 cos A＋ cos C∈（0，1]， 故 cos A＋ cos C的取值范围为（0，1]. 数学·必修第二册 【规律方法】 解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为 边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某 一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范 围确定最值（范围）. 数学·必修第二册 训练5　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b cos C＋c cos B＝3a cos A，若S为△ABC的面积，则 的最小值 为 ⁠. 2 　 数学·必修第二册 解析：由题意及正弦定理得 sin B cos C＋ sin C cos B＝3 sin A cos A，即 sin （B＋C）＝3 sin A cos A，而A＋B＋C＝π，故 sin A＝3 sin A cos A，又 sin A≠0，则 cos A＝ ，故 sin A＝ ，而a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2 － bc，S＝ bc sin A＝ ，所以 ＝ ≥ ＝ 2 ，当且仅当b＝c时，等号成立，故 的最小值为2 . 数学·必修第二册 1. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长 为4（ ＋1），且 sin B＋ sin C＝ sin A，则a＝（　　） A. B. 2 C. 4 D. 2 解析：　由题知周长为a＋b＋c＝4（ ＋1）①，∵ sin B＋ sin C＝ sin A，由正弦定理得b＋c＝ a②，∴由①②可解得a＝4.故选C. √ 数学·必修第二册 2. 在△ABC中，BC＝3，AC＝5， ＜B＜π，则边AB的取值范围是 （　　） A. （2，8） B. （1，4） C. （4，＋∞） D. （2，4） 解析：　令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5 －3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以 cos B＝ ＜0， a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即 AB的取值范围是（2，4）.故选D. √ 数学·必修第二册 3. 已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC 上的中线AD的长为 ⁠. 解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝ .在△ABC中，AB＝ 1，BD＝ ＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ＝3，因此AD＝ . 　 数学·必修第二册 4. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD 为∠BAC的角平分线，则AD＝ ⁠. 解析：由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得， ×2×3× sin 120°＝ ×2AD× sin 60°＋ ×3AD× sin 60°，解得AD＝ . 　 数学·必修第二册 课堂小结 1.理清单 （1）解三角形与三角恒等变换、三角函数的综合问题； （2）解三角形中的中线与角平分线问题； （3）解三角形中的最值（范围）问题. 2.应体会 解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程.体现了数形结合、转化与化归的思想方法. 3.避易错 求三角形中有关最值与范围时易忽视三角形的内角范围. 数学·必修第二册 课时作业 1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b cos A＋a cos B ＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 7.5 解析：　由余弦定理的推论，得b· ＋a· ＝c2⇒c＝ 1，即△ABC的周长为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·必修第二册 2. 在△ABC中，BC＝3，AB＝7，C＝ π，则AB边上的高为（　　） A. B. 解析：　因为BC＝3，AB＝7，C＝ π，所以由余弦定理可得AB2＝AC2 ＋BC2－2AC·BC· cos π，即49＝AC2＋9＋3AC，解得AC＝5或AC＝ －8（舍去），设AB边上的高为h，则 AB·h＝ AC·BC· sin C，即 7h＝3×5× ⇒h＝ .故选B. √ C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 3. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ＝ ， 则△ABC的形状是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 解析：　∵ ＝ ，∴由正弦定理得 ＝ ，整理得a cos A ＝b cos B，由正弦定理得 sin A cos A＝ sin B cos B，∴ sin 2A＝ sin 2B， ∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝ .当A＋B＝ 时，C＝ ，此时△ABC为直角三角形，有c cos B＝a，则a－c cos B＝0，分母无 意义，故舍去，∴A＝B，此时△ABC为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 4. 已知在△ABC中，A＝ ，BC＝3，则下列各式成立的是（　　） A. AC＝ sin B B. AC＝2 sin B C. AB＝ sin B＋3 cos B D. AB＝3 sin B＋ cos B 解析：　根据正弦定理，得 ＝ ＝ ，所以AC＝ sin B× ＝2 sin B，AB＝ sin （ －B）× ＝3 cos B＋ sin B. 故 选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为 a，则 ＋ 的最大值为（　　） A. 8 B. 6 C. 3 D. 4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 解析：　因为BC边上的高为 a，所以S△ABC＝ a× a＝ bc sin A， 所以a2＝2 bc sin A，由余弦定理得2 bc sin A＝b2＋c2－2bc cos A，整 理得 ＝2 sin A＋2 cos A，即 ＋ ＝4 sin （A＋ ）.因为A∈ （0，π），所以A＋ ∈（ ， ），所以当A＋ ＝ ，即A＝ 时，4 sin （A＋ ）有最大值，且最大值为4，所以 ＋ 的最大值为4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 6. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝ 3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝ ，则 cos ∠ADB＝（　　） A. － B. C. D. ± √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 解析：　因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝ ∠BAD＝30°.又b＝3c，所以 ＝ ＝ ＝ ＝3.因 为BD＝ ，所以CD＝3 ，a＝CB＝4 .由余弦定理可得a2＝b2＋c2 －2bc cos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c· ，解得c＝4.在△ABD 中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，所以 sin ∠ADB＝ .因为b＞c，所以B＞C. 又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB＜∠ADC， 所以∠ADB为锐角，所以 cos ∠ADB＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 7. 〔多选〕在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝ 1， cos ∠BAC＝ ，以下结论正确的是（　　） A. AB＝8 B. ＝ C. AB＝6 D. △ABD的面积为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 解析：如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝ ∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得 cos 2α ＝2 cos 2α－1＝ ，且0＜α＜ ，所以 cos α＝ ， 在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝AD cos α＝ ，在Rt△ACB中，AB＝ ＝ ×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理， ＝ ＝ × ＝ ，故B正确；因为 cos α＝ ，且0＜α＜ ，所以 sin α＝ ，所以S△ABD ＝ AD·AB· sin α＝ ×6× ＝ ，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＋b cos A ＝ bc，则b＝ ⁠. 解析：因为a cos B＋b cos A＝ bc，所以由正弦定理得， sin A cos B＋ sin B cos A＝ b sin C，则 sin （A＋B）＝ sin C＝ b sin C，又 sin C≠0，所以 b＝1，即b＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 9. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，则 ＝ ，角C的最大值为 　 　. 解析：∵2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，∴2ab cos C＝c2⇒a2＋b2－c2＝ c2⇒ ＝2，∴ cos C＝ ＝ ≥ ，当且仅当a＝b时取等 号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤ ，即角C的最大值为 . 2　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 10. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ，a＝ 6，1≤b≤4，则 sin A的取值范围为 ⁠. 解析：∵C＝ ，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36 ＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]， ∴c∈[3 ， ]，∴由正弦定理 ＝ ，可得 sin A＝ ＝ ＝ ∈［ ，1］. ［ ，1］　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cos C＋c＝ 2a. （1）求角B的大小； 解：∵2b cos C＋c＝2a， 由正弦定理，得2 sin B cos C＋ sin C＝2 sin A， 又∵A＋B＋C＝π，∴ sin A＝ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C， ∴2 sin B cos C＋ sin C＝2（ sin B cos C＋ cos B sin C）， 即 sin C＝2 cos B sin C. ∵0＜C＜π，∴ sin C≠0，∴ cos B＝ .∵0＜B＜π，∴B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 （2）若 cos A＝ ，求 的值. 解：在△ABC中，B＝ ， cos A＝ ， ∴ sin A＝ ， ∴ sin C＝ sin （A＋B） ＝ sin A cos B＋ cos A sin B＝ . ∴ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 12. 已知a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x）＝ a·b. （1）求函数f（x）图象的对称轴方程； 解：因为a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x）， 则f（x）＝a·b＝ sin x cos x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x－ ＝ sin （2x－ ）－ ， 由2x－ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z）， 即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 （2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝ 且b＝ .求a＋c的取值范围. 解： 由f（B）＝ ，得 sin （2B－ ）＝1，又2B－ ∈（－ ， ），即2B－ ＝ . 所以B＝ ，又b＝ ， 由正弦定理 ＝ ＝ ，得a＝2 sin A，c＝2 sin C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 即a＋c＝2 sin A＋2 sin C＝2 sin A＋2 sin （ －A）＝2 cos （A－ ）， 又0＜A＜ ，所以－ ＜A－ ＜ ， 所以2 cos （A－ ）∈（ ，2 ]. 即a＋c的取值范围为（ ，2 ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 13. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a cos C－c cos B＝b cos C. （1）求角C； 解： 由题意及正弦定理得2 sin A cos C－ sin C· cos B＝ sin B cos C， 所以2 sin A cos C＝ sin B cos C＋ sin C cos B＝ sin （B＋C）＝ sin A，易知 sin A≠0， 所以 cos C＝ ，又C∈（0，π），所以C＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 （2）若∠ACB的平分线交AB于点D，CD＝4 ，△ABC的面积为 18 ，求c的值. 解： 由S△ABC＝ ab sin ＝ ab＝18 ，得ab＝72， 因为CD平分∠ACB，∠ACB＝ ，所以∠ACD＝∠BCD＝ ， 则S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝ b·CD sin ＋ a·CD sin ＝ ×4 ×（a ＋b）× ＝ （a＋b）＝18 ，所以a＋b＝18， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝（a＋b）2－3ab＝182－3×72＝ 108，所以c＝6 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第二册 $