第6章 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 体系构建 数学·必修第二册 素养提升 一、向量的线性运算 　向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以 及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性 运算求参数等. 数学·必修第二册 【例1】　（1）已知向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，那么 2a－b＝（　C　） A. （4，0） B. （0，4） C. （4，－8） D. （－4，8） 解析： 因为a∥b，所以1×4＝－2×m，解得m＝－2，所以b＝（－ 2，4），所以2a－b＝2（1，－2）－（－2，4）＝（4，－8）. C 数学·必修第二册 （2）设D，E为△ABC所在平面内两点， ＝ ， ＝2 ，则 ＝（　B　） A. － ＋ B. － C. － D. － ＋ 解析： 如图，因为 ＝ ， ＝2 ，所以 ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ － .故选B. B 数学·必修第二册 【反思感悟】 向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的 结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用时要 注意向量的大小和方向两个方面. 数学·必修第二册 二、向量的数量积运算（考教衔接） 平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的 数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 教材原题　（教材P60复习参考题第8题）已知向量a＝（1，0），b＝ （1，1）.当λ为何值时，a＋λb与a垂直？ 数学·必修第二册 【例2】　（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2， x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 解析：　法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2 －4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D. D 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4 （0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所 以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0， 解得x＝2.故选D. 数学·必修第二册 变式1　计算向量的模 （2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝ 2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　） A. B. √ C. D. 1 解析：　因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝ 2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋ 6b2＝4，从而｜b｜＝ .故选B. 数学·必修第二册 变式2　计算向量的夹角 已知单位向量a，b满足｜a－b｜＝ ，则a与a＋b的夹角为（　　） A. B. 解析：　由｜a－b｜＝ ，｜a｜＝｜b｜＝1得2－2a·b＝3，即 a·b＝－ ，所以｜a＋b｜2＝2＋2a·b＝1，所以｜a＋b｜＝1，易知 a·（a＋b）＝1＋a·b＝ ，所以 cos ＜a，a＋b＞＝ ＝ ＝ ，又0≤＜a，a＋b＞≤π，所以a与a＋b的夹 角为 .故选B. C. D. √ 数学·必修第二册 变式3　计算向量的数量积 在△ABC中，BC＝6，AB＝4，∠CBA＝ ，D为AC的中点，E在BC 上，且 · ＝0，则 · ＝（　　） A. 16 B. 12 C. 8 D. －4 √ 数学·必修第二册 解析：　以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A（4，0），B（0，0），C（0，6），D（2，3）， ＝（2，3）， ＝（0，6），设E（0，b），则 ＝ （－4，b），由 · ＝0得（－4，b）·（2，3）＝ 0，即－8＋3b＝0，所以b＝ ，所以E（0， ），所以 ＝（－4， ），所以 · ＝16.故选A. 数学·必修第二册 变式4　计算向量的投影向量 已知向量a与向量b的夹角为 ，｜a｜＝ ｜b｜，则b－2a在a上的投 影向量为（　　） A. － a B. － a √ C. a D. a 解析：　因为向量a与向量b的夹角为 ，｜a｜＝ ｜b｜，所以 a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＝ ｜b｜2，则b－2a在a上的投影向量为 ·a＝ ·a＝ ·a＝－ a.故选A. 数学·必修第二册 【反思感悟】 1. 向量数量积的两种计算方法 （1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a｜｜ b｜ cos θ； （2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b ＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2. 数学·必修第二册 2. 利用向量数量积可以解决以下问题 （1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均为非零向量）： a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0； （2）求向量的夹角和模的问题： 设a＝（x1，y1），则｜a｜＝ ； 两向量夹角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b为非零向量） cos θ＝ ＝ . 数学·必修第二册 三、余弦定理、正弦定理 主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角 形的面积，以及余弦定理、正弦定理与三角恒等变换公式的综合应用. 数学·必修第二册 （1）求a的值； 解： 由 ＝ 得a＝ c， 由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac cos B，即 c2＋c2－25＝2× c×c× ， 得 c2－25＝ c2，得c＝6，故a＝ c＝4. 【例3】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知 cos B ＝ ，b＝5， ＝ . 数学·必修第二册 （2）求 sin A的值. 解： 因为 cos B＝ ，所以 sin B＝ ＝ ， 由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ， 得 sin A＝ . 数学·必修第二册 【例4】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分 别为a，b，c.已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab. （1）求B； 解：由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab cos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ ab，可得 cos C＝ ＝ ＝ ， 因为C∈（0，π），所以C＝ ， 又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B， 即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ . 数学·必修第二册 （2）若△ABC的面积为3＋ ，求c. 解：由（1）可得A＝ ， 则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，由正弦定理 有 ＝ ，从而a＝ · c＝ c， 又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1）， 将a＝ c代入，解得c＝2 . 数学·必修第二册 【反思感悟】 在解决解三角形、判断三角形的形状、求三角形面积等问题时，首先要结 合已知条件，恰当地选用余弦定理或正弦定理求解；其次就是解题过程中 要注意边角的互化和等式的恒等变形. 数学·必修第二册 四、余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用 　余弦定理和正弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用，常见的问题涉 及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关 键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求 解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 数学·必修第二册 【例5】　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋ ）n mile的两 个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发 出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援 船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长 时间？ 数学·必修第二册 解：由题意知AB＝5（3＋ ）n mile，∠DBA＝90°－60°＝30°， ∠DAB＝45°， ∴∠ADB＝105°. 在△DAB中，由正弦定理得 ＝ ， ∴DB＝ ＝ ＝ ＝ ＝10 （n mile）. 数学·必修第二册 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°） ＝60°，BC＝20 n mile， ∴在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC· cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×10 ×20 × ＝900， ∴CD＝30 n mile， ∴该救援船到达D点需要的时间为 ＝1（h）. 数学·必修第二册 【反思感悟】 正、余弦定理在实际应用中应注意的问题 （1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图； （2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方 位角等； （3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知 识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解 此三角形； （4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数 据，尽量减少计算中误差的积累. 数学·必修第二册 $