6.4.1 平面几何中的向量方法-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

6.4.1　平面几何中的向量方法 1 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题（数学建模）. 2.体会向量在解决几何问题中的作用（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 　　向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结 合，因而向量是几何研究的一个有效工具. 情景导入 知识点一　利用向量证明平面几何问题 01 知识点二　利用平面向量求几何中的长度 02 知识点三　利用平面向量求几何中的角度 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 利用向量证明平面几何问题 01 PART 目 录 【例1】　（链接教材P38例1）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别 是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一　设 ＝a， ＝b， 则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0. 又 ＝ ＋ ＝－a＋ ， ＝ ＋ ＝b＋ ， 所以 · ＝（b＋ ）·（－a＋ ） ＝－ － a·b＋ ＝－ ｜a｜2＋ ｜b｜2＝0. 故 ⊥ ，即AF⊥DE. 数学·必修第二册 目 录 法二　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2）， E（1，0），F（2，1）， 则 ＝（2，1）， ＝（1，－2）. 因为 · ＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以 ⊥ ，即AF⊥DE. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 利用向量证明平面几何问题的方法 （1）基底法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知其模或夹角）， 将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算或性质解决； （2）坐标法：建立适当的平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何 问题中的长度、平行、垂直等问题转化为代数运算.一般地，坐标易表示 或易建立坐标系的题目选用坐标法. 数学·必修第二册 目 录 训练1　如图，在平行四边形ABCD中，M为线段DC的中点，N为线段 AC的中点，点T在线段AM上，且AT＝3TM. 求证：NT∥BM. 证明：设 ＝a， ＝b， 则 ＝ ＋ ＝－ a＋b， ＝ ＋ ＝－ ＋ . 而 ＝a＋b， ＝ ＋ ＝ a＋b， 所以 ＝－ （a＋b）＋ （ a＋b）＝－ a＋ b， 所以 ＝4 .所以NT∥BM. 数学·必修第二册 目 录 知识点二 利用平面向量求几何中的长度 02 PART 目 录 【例2】　（链接教材P39例2）在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝ 2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. 解：设 ＝a， ＝b，则 ＝a－b， ＝a＋b， ∵｜ ｜＝｜a－b｜＝ ＝ ＝ ＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝ ， 又｜ ｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋4＋2a·b＝6， ∴｜ ｜＝ ，即AC＝ . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点 选择基底，向向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解；二是建立坐标 系，确定相应向量的坐标，代入公式｜a｜＝ 求解. 数学·必修第二册 目 录 训练2　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且 ⊥ ，则｜ ｜＝（　　） A. B. 2 C. 3 D. 2 √ 数学·必修第二册 目 录 解析：　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD 所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设｜ ｜＝a（a＞0），则A（0，0），C（4， a），D（0，a），E（2，0），所以 ＝（2，－ a）， ＝（4，a）.因为 ⊥ ，所以 · ＝0，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8，所以a＝2 ，所以 ＝（2，－2 ），所以｜ ｜＝ ＝2 . 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 利用平面向量求几何中的角度 目 录 【例3】　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线 段BC上，且BD＝ DC. 求：（1）AD的长； 解：设 ＝a， ＝b，则 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ a＋ b， ∴｜ ｜2＝ ＝（ a＋ b）2＝ a2＋2× a·b＋ b2 ＝ ×9＋2× ×3×3× cos 120°＋ ×9＝3，∴AD＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）∠DAC的大小. 解： 设∠DAC＝θ（0°＜θ＜120°）， 则θ为 与 的夹角， ∴ cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0， ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 平面几何中夹角问题的求解策略 利用平面向量解决几何中的夹角问题时，本质是将平面图形中的角视为两 个向量的夹角，借助夹角公式进行求解，这类问题也有两种方法，一是利 用基底法，二是利用坐标运算.在求解过程中，务必注意向量的方向. 数学·必修第二册 目 录 训练3　在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中 点，则 cos ∠BDC＝（　　） A. － B. 解析：　如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x 轴、y轴建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，8）， C（6，0），D（3，4），∴ ＝（－3，－4）， ＝ （3，－4）.又∠BDC为 ， 的夹角，∴ cos ∠BDC＝ ＝ ＝ .故选B. C. 0 D. √ 数学·必修第二册 目 录 1. 在△ABC中，若｜ ｜＝｜ ＋ ｜，则△ABC为（　　） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 解析：　由题意得，｜ ｜＝｜ ＋ ｜⇒｜ － ｜＝｜ ＋ ｜，故 －2 · ＋ ＝ ＋2 · ＋ ，则 · ＝0，故 ⊥ ，即△ABC为直角三角形.故选D. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 在四边形ABCD中，若 ＋ ＝0， · ＝0，则四边形ABCD为 （　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 菱形 解析：　由 ＋ ＝0，得 ＝－ ＝ ，∴四边形ABCD为平行 四边形；由 · ＝0知，平行四边形ABCD对角线互相垂直，故四边 形ABCD为菱形. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足 ＝ ＋ （ ＋ ），则｜ ｜＝ 　　. 1 解析：∵ ＝ ＋ （ ＋ ），∴ － ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ），∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线，∴｜ ｜＝1. 数学·必修第二册 目 录 4. 已知长方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一 点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED＝45°. 数学·必修第二册 目 录 解：如图，建立平面直角坐标系，则E（1，0），D （2，3）， 设P（0，b）（0≤b≤3）， 则 ＝（1，3）， ＝（－1，b）， ∴ cos ∠PED＝ ＝ ＝ . 整理得2b2－3b－2＝0， 解得b＝2，b＝－ （舍去）， ∴当点P为OA上靠近点A的三等分点时，∠PED＝45°. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）利用向量证明平面几何问题； （2）利用平面向量求几何中的长度、角度问题. 2.应体会 用向量解决平面几何问题时，先把有关问题转化为向量问题，再通过向 量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后把运算结果“翻译”成几 何关系，体现了转化与化归的思想方法. 3.避易错 不能将几何问题转化为向量问题. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则BC边 上的中线AD的长是（　　） A. 2 B. 解析：　∵B（7，5），C（－4，7），∴线段BC的中点D的坐标为 （ ，6），则 ＝（－ ，5），∴｜ ｜＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ C. 3 D. 数学·必修第二册 目 录 2. 在△ABC中，若（ ＋ ）·（ － ）＝0，则△ABC（　　） A. 是正三角形 B. 是直角三角形 C. 是等腰三角形 D. 形状无法确定 解析：　（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝0，即｜ ｜ ＝｜ ｜，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则 cos ∠DOE＝（　　） A. B. 解析：以O为原点，分别以OA，OC所在直线为x轴、 y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知， ＝ （1， ）， ＝（ ，1），故 cos ∠DOE＝ ＝ ＝ . √ C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且3 ＋4 ＝－5 ，则 ∠ACB的大小为（　　） A. B. C. D. 解析：　由题意知∠ACB＝ ∠AOB，设☉O的半径为r，3 ＋4 ＝－5 两边平方得9r2＋16r2＋24 · ＝25r2，得 · ＝0，所 以∠AOB＝ ，故∠ACB＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足 ＋2 ＝0，若 · ＝ ，则BC的长为（　　） A. 1 B. √ C. 2 D. 3 解析：取BC的中点O，连接AO，如图所示.∵ ＋ 2 ＝0，即 ＝2 ，∴M为BC边上靠近C的三等分 点，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴ · ＝0，又 ＝ ，∴ · ＝ ·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＝ · ＝ ｜ ｜2＝ ，解得｜ ｜＝2，即BC＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝ ， ＝2 ，延长DP交BC于点M，则（　　） A. ＝ － B. ＝4 C. · ＝1 D. · ＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 依题意，因为在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1， ∠BAD＝ ， ＝2 ，所以 ＝ ＝ ＝2，即M为BC的中点，所 以 ＝ ＝ （ ＋ ）＝ － ，故A正确；因为 ， 不共线，所以 ＝4 错误，故B错误； · ＝2×1× cos ＝1， 故C正确； · ＝（ － ）·（ ＋ ）＝ ＋ · － ＝ ，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 在四边形ABCD中，若 · ＝0，且 ＝ ，则四边形ABCD的 形状是 ⁠. 解析：由 · ＝0，可得 ⊥ ，即AB⊥BC，又由 ＝ ，可 得AB＝DC且AB∥DC，所以四边形ABCD为矩形. 矩形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 已知G为△ABC的重心，且 ＝λ（ ＋ ），则λ＝ ⁠. 解析：如图所示，取BC中点M，连接AM，则 ＋ ＝2 ，又因为G为△ABC的重心，故 ＝ ，因此 ＝ （ ＋ ），故λ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝ ⁠. 解析：建立平面直角坐标系，如图所示.设AD＝t（t＞ 0），则A（0，0），C（1，t），B（2，0），则 ＝ （1，t）， ＝（－1，t）.由AC⊥BC知 · ＝ －1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M 使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线. 证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点， ∴ ＝ ＋ .∴ ＝ － ＝ . 同理可证明 ＝ － ＝ . ∴ ＝－ ，∴ ， 共线. 又 与 有公共点A， ∴M，A，N三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 ＝（　　） A. 2 B. 4 解析：将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则 ＝ ＝ ＝ ＝ －6＝42－6＝10. C. 5 D. 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 在△ABC中，设 － ＝2 · ，那么动点M形成的图形必 经过△ABC的（　　） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 解析：　假设BC的中点是O，则 － ＝（ ＋ ）·（ － ）＝2 · ＝2 · ，即（ － ）· ＝ · ＝ 0，所以 ⊥ ，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M 形成的图形必经过△ABC的外心. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3 － － ＝0，则 △ABM与△ABC的面积之比为 ⁠. 解析：如图，设D为BC边的中点，则 ＝ （ ＋ ）. 因为3 － － ＝0.所以3 ＝ ＋ ＝2 ，所 以 ＝ ，所以S△ABM＝ S△ABD＝ S△ABC，所以△ABM 与△ABC的面积之比为1∶3. 1∶3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解：若t＝ ，则 ＝ ，即D为BC的中点， 所以 ＝ （ ＋ ），因为∠BAC＝ ，AC＝2，AB＝4， 所以｜ ｜＝ ＝ ＝ . 14. 在△ABC中，AC＝2，AB＝4，点D在边BC上，且 ＝t （t∈R）. （1）若t＝ ，∠BAC＝ ，求｜ ｜； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若t＝ ，AD恰为BC边上的高，求∠BAC. 解：若t＝ ，则 ＝ ＝ （ － ）， 因为AD恰为BC边上的高，所以 ⊥ ， 因为 ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ， ＝ － ，所以 · ＝（ ＋ ）·（ － ） ＝ － · － ＝ ×22－ ×2×4× cos ∠BAC－ ×42＝0， 所以 cos ∠BAC＝0，则∠BAC＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 如图，AB为半圆O的直径，｜AB｜＝2，C为 上一点（不含端点）. （1）用向量的方法证明AC⊥BC； 解：证明：建立如图所示的平面直角坐标系. 由题意可知｜OB｜＝1， 法一　设∠COB＝α，则α∈（0，π）， A（－1，0），B（1，0），C（ cos α， sin α），则有 ＝（ cos α＋ 1， sin α）， ＝（ cos α－1， sin α）， 所以 · ＝ cos 2α－1＋ sin 2α＝1－1＝0，故 ⊥ ，即AC⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解：由题意得∠COB＝ ，则C（ ， ），连接QO，设∠QOB＝β， 则β∈（ ，π），Q（ cos β， sin β）. 由（1）得 ＝ － ＝（ ，－ ）， ＝（－1－ cos β，－ sin β），所以 · ＝－ － cos β＋ sin β＝ sin （β－ ）－ ， 由β∈（ ，π），得β－ ∈（ ， ），当β－ ＝ ，即β＝ 时， （ · ）max＝ ，所以 · 的最大值为 . （2）若C是 上更靠近点B的三等分点，Q为 上的任意一点（不含端 点），求 · 的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $