7.3＊ 复数的三角表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

7.3*　复数的三角表示 1 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系（数学抽象）. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（数学运算）. 课标要求 　　复数可以用a＋bi（a，b∈R）的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z（a，b）一一对应，与平面向量 ＝（a，b）也是一一对应的，你能用向量 的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量 所在射线（射线OZ）为终边的角θ来表示复数z吗？ 情景导入 知识点一　复数的三角形式 01 知识点二　复数三角形式的乘法法则与几何意义 02 知识点三　复数三角形式的除法法则与几何意义 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 复数的三角形式 01 PART 目 录 问题1　我们知道复数z＝a＋bi可以由向量 在两坐标轴方向上的投影 a，b来确定，向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量 的大小和方向这两个要素来表示复数呢？ 提示：可以由复数z的模和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量 所 在射线为终边的角来表示复数z. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 ⁠ 的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的 ⁠ . 叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角 形式. 2. 辐角的主值：我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通 常记作arg z，即0≤arg z＜2π. r（ cos θ＋i sin θ）　 辐 角　 r（ cos θ＋i sin θ）　 数学·必修第二册 目 录 　　提醒：辐角和辐角主值的区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边， 以复数z所对应的向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有 无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角 主值只有一个；辐角和辐角主值的联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 数学·必修第二册 目 录 角度1　复数的代数形式化为三角形式 【例1】　（链接教材P84例1）将下列复数的代数形式化成三角形式： （1） ＋i； 解： r＝ ＝2，所以 cos θ＝ ， 因为与 ＋i对应的点在第一象限，所以arg（ ＋i）＝ ， 故 ＋i＝2 . 数学·必修第二册 目 录 （2）2－2i. 解： r＝ ＝2 ，所以 cos θ＝ ， 因为与2－2i对应的点在第四象限，所以arg（2－2i）＝ ， 故2－2i＝2 . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 将复数的代数形式化为三角形式的步骤 （1）求复数的模； （2）确定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 数学·必修第二册 目 录 角度2　复数的三角形式化成代数形式 【例2】　（链接教材P85例2）把下列复数的三角形式化成代数形式： （1）4（ cos ＋i sin ）； 解： 4（ cos ＋i sin ）＝4 cos ＋（4 sin ）i＝4× ＋（4× ）i ＝2＋2 i. 数学·必修第二册 目 录 （2）3（ cos ＋i sin ）. 解： 3（ cos ＋i sin ）＝3 cos ＋（3 sin ）i＝3×（－ ）＋ 3×（－ ）i＝－ － i. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 将复数的三角形式化为代数形式的方法 复数三角形式为z＝r（ cos θ＋i sin θ），代数形式为z＝x＋yi，对应实部 等于实部，虚部等于虚部，即x＝r cos θ，y＝r sin θ. 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）下列复数是复数三角形式表示的是（　D　） A. B. － C. D. cos π＋i sin π 解析： 选项A， cos 与i sin 之间要用“＋”连接，不是用“－”连 接；选项B，－ ＜0不符合r≥0的要求；选项C，i cos π与 sin π是用 “＋”连接但不是 cos π＋i sin π的形式，故A、B、C均不是复数的三角 形式.故选D. D 数学·必修第二册 目 录 （2）复数 的代数形式为 ⁠. 解析： （ cos π＋i sin π）＝ ［ cos （π＋ π）＋i sin （π＋ π）］＝ ＝ （ － i）＝1－i. 1－i　 数学·必修第二册 目 录 知识点二 复数三角形式的乘法法则与几何意义 02 PART 目 录 问题2　根据复数乘法定义，两复数z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1）和z2＝r2 （ cos θ2＋i sin θ2）相乘的结果是什么呢？ 提示：z1·z2＝r1（ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin θ2） ＝r1r2[（ cos θ1 cos θ2－ sin θ1 sin θ2）＋i（ sin θ1 cos θ2＋ cos θ1 sin θ2）] ＝r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 乘法运算法则 设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2），则z1z2 ＝ ⁠. 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 ，积的辐角等于各复 数的辐角的 ⁠. r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]　 积　 和　 数学·必修第二册 目 录 2. 复数乘法的几何意义 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 ， ，然后 把向量 绕点O按逆时针方向旋转角 （如果θ2＜0，就要把 绕 点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的 倍，得 到向量 ， 表示的复数就是积z1z2 （如图）. θ2　 r2　 数学·必修第二册 目 录 【例3】　（链接教材P87例3）计算： （1）2 × ； 解： 原式＝2 ＝－2 i. （2） （ cos 15°＋i sin 15°）×4（ cos 135°－i sin 135°）. 解： 原式＝ （ cos 15°＋i sin 15°）×4[ cos （－135°）＋i sin （－135°）] ＝2[ cos （－120°）＋i sin （－120°）] ＝－1－ i. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐 角.若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一 成代数形式或三角形式，然后进行相乘. 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1）设复数2－i和3－i的辐角的主值分别为α和β，则α＋β＝ （　　） A. 135° B. 315° C　 解析： 根据题意有2－i＝ （ cos α＋i sin α），3－i＝ （ cos β ＋i sin β），则 （ cos α＋i sin α）× （ cos β＋i sin β）＝5 [ cos （α＋β）＋i sin （α＋β）].又（2－i）（3－i）＝5－5i，所以 cos （α＋ β）＝ ， sin （α＋β）＝－ ，而270°＜α＜360°，270°＜β＜ 360°，所以α＋β＝675°. C. 675° D. 585° 数学·必修第二册 目 录 （2）设向量 对应复数z＝－ － i，把 绕原点O逆时针旋转120° 得到 ，则 对应的复数为 　 　（用代数形式表示）. － i 解析：根据复数乘法的几何意义，所求的复数是z＝－ － i乘一个复 数z0的积，z0的模是1，辐角的主值是120°，故所求复数是（－ － i）·（ cos 120°＋i sin 120°）＝（－ － i）（－ ＋ i）＝ － i. 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 复数三角形式的除法法则与几何意义 目 录 问题3　根据复数除法定义，两复数z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1）和z2＝r2 （ cos θ2＋i sin θ2）（z2≠0）相除的结果是什么呢？ 提示： ＝ ＝ ＝ [（ cos θ1 cos θ2＋ sin θ1 sin θ2）－i（ cos θ1 sin θ2－ sin θ1 cos θ2）]＝ [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 除法运算法则 设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2），且z2≠0，则 ＝ ⁠. 即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的 ⁠， 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的 ⁠. [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）] 商　 差　 数学·必修第二册 目 录 2. 复数除法的几何意义 两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量 ， ，然后 把向量 绕点O按顺时针方向旋转角 （如果θ2＜0，就要把 绕 点O按逆时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为 原来的 ，得到向量 ， 表示的复数就是商 （如图）. θ2　 　 数学·必修第二册 目 录 （1） （ cos 225°＋i sin 225°）÷[（ cos 150°＋i sin 150°）]； 解： （ cos 225°＋i sin 225°）÷[（ cos 150°＋i sin 150°）]＝ [ cos （225°－150°）＋i sin （225°－150°）]＝ （ cos 75°＋i sin 75°）＝ （ ＋ i）＝ ＋ i. 【例4】　（链接教材P88例5）计算： 数学·必修第二册 目 录 （2）4÷（ cos ＋i sin ）. 解：4÷（ cos ＋i sin ）＝4（ cos 0＋i sin 0）÷ （ cos ＋i sin ）＝4［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］ ＝2 －2 i. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 两个三角形式的复数相除（除数不为0），则商还是一个复数，它的模等 于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除 数的辐角所得的差.出现复数的代数形式先转化为复数的三角形式再计算. 数学·必修第二册 目 录 训练3　计算：2i÷ . 解：2i÷ ＝2（ cos 90°＋i sin 90°）÷ ＝4（ cos 60°＋i sin 60°）＝2＋2 i. 数学·必修第二册 目 录 欧拉公式及应用 　欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数学 家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指 数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中 的天桥”. 数学·必修第二册 目 录 【典例】　（1）欧拉公式ei θ＝ cos θ＋i sin θ把自然对数的底数e、虚数单 位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足（eiπ＋ i）·z＝i，则z的虚部为（　B　） A. B. － C. 1 D. －1 解析： 由欧拉公式知eiπ＝ cos π＋i sin π＝－1，∴（eiπ＋i）·z＝ （－1＋i）·z＝i，∴z＝ ＝ ＝ ＝ － i，∴z的虚部 为－ .故选B. B 数学·必修第二册 目 录 （2）〔多选〕欧拉公式exi＝ cos x＋i sin x（其中i为虚数单位，x∈R）， 依据欧拉公式，下列选项正确的是（　BC　） A. 复数e2i对应的点位于第三象限 B. 为纯虚数 C. 复数 的模等于 D. 的共轭复数为 － i BC 数学·必修第二册 目 录 解析： 由题知e2i＝ cos 2＋i sin 2，而 cos 2＜0， sin 2＞0，则复数e2i 对应的点位于第二象限，故A错误； ＝ cos ＋i sin ＝i，则 为纯虚 数，故B正确； ＝ ＝ ＝ ＋ i，则 的模为 ＝ ＝ ，故C正确； ＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i，其共轭复数为 － i，故D错误.故选B、C. 数学·必修第二册 目 录 【迁移应用】 欧拉公式eiθ＝ cos θ＋i sin θ（e＝2.718 28…），被誉为数学上优美的数学 公式.已知 ＝ ＋ i，则θ＝（　　） A. ＋2kπ（k∈Z） B. ＋2kπ（k∈Z） C. ＋kπ（k∈Z） D. ＋kπ（k∈Z） √ 数学·必修第二册 目 录 解析：　∵eiθ＝ cos θ＋i sin θ，∴ ＝ cos （θ＋ ）＋i sin （θ ＋ ）＝ ＋ i，∴ ⇒θ＋ ＝2kπ＋ （k∈Z）， ∴θ＝2kπ＋ （k∈Z）.故选B. 数学·必修第二册 目 录 1. 复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（　　） A. z＝ （ sin 45°＋i cos 45°） B. z＝ （ cos 45°＋i sin 45°） C. z＝ [ cos （－45°）－i sin （－45°）] D. z＝ [ cos （－45°）＋i sin （－45°）] 解析：　依题意得r＝ ＝ ，复数z＝1＋i对应的点在第一象 限，且 cos θ＝ ，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确.故选B. √ 数学·必修第二册 目 录 2. （ cos ＋i sin ）（ cos ＋i sin ）＝ 　 （ cos ＋i sin ）　. 解析：原式＝ ［ cos （ ＋ ）＋i sin （ ＋ ）］＝ （ cos ＋i sin ）. 3. 若｜z｜＝2，arg z＝ ，则复数z＝ 　1＋ i　. 解析：由题意知，z＝2 ＝1＋ i. （ cos ＋i sin ）　 1＋ i　 数学·必修第二册 目 录 4. 计算 ＝ 　1＋ i　. 解析： ＝ ＝2 ＝1＋ i. 1＋ i　 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）复数的三角形式； （2）复数三角形式的乘、除运算及其几何意义. 2.应体会 运用复数乘、除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向 量与复数间的对应关系. 3.避易错 （1）复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连； （2）利用复数三角形式乘、除时，复数必须是三角形式的标准形式. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 若a＜0，则a的三角形式为（　　） A. a（ cos 0＋i sin 0） B. a（ cos π＋i sin π） C. －a（ cos π＋i sin π） D. －a（ cos π－i sin π） 解析：　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（ cos π＋i sin π）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 复数z＝ －i的三角形式为（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 解析：　因为r＝2，所以 cos θ＝ ，因为z＝ －i对应的点在第四象 限，所以arg（ －i）＝ ，故z＝ －i＝2 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 复数（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）的三角形式是 （　　） A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 160°＋i sin 160° C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 160°＋i cos 160° 解析：　（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）＝（ cos 80° ＋i sin 80°）（ cos 80°＋i sin 80°）＝ cos 160°＋i sin 160°.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 将复数i对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到向量 ，则 对应的复数是（　　） A. ＋ i B. － ＋ i C. － － i D. － i 解析：　i＝ cos ＋i sin ，将 绕原点按顺时针方向旋转 得到 对 应的复数为 cos ＋i sin ＝ ＋ i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕已知复数z＝1＋i（i为虚数单位），则下列说法中正确的是 （　　） A. z的共轭复数为 ＝－1＋I B. ｜z｜＝ C. z的辐角主值是 D. ＝1＋i √ √ √ 解析： 因为z＝1＋i，所以 ＝1－i，故A错误；｜z｜＝ ＝ ，故B正确；z＝ （ cos ＋i sin ），所以arg z＝ ，故C正确； ＝ ＝ ＝1＋i，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕已知单位向量 ， 分别对应复数z1，z2，且 · ＝0，则 可能为（　　） A. i B. 1 解析：因为单位向量 ， 分别对应复数z1，z2，设复数z1＝ cos θ1＋i sin θ1，z2＝ cos θ2＋i sin θ2，因为 · ＝0，所以 ⊥ ，即θ1－θ2＝kπ＋ ，k∈Z，所以 ＝ ＝ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）＝ cos （kπ＋ ）＋i sin （kπ＋ ）＝±i.故选A、D. C. －1 D. －i √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 复数 cos ＋i sin 的辐角主值是 　 　. 解析：原式＝ cos ＋i sin ＝ cos ＋i sin ，故其辐角主值 为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 计算（ cos 40°＋i sin 40°）÷（ cos 10°＋i sin 10°）＝ ⁠. 解析：（ cos 40°＋i sin 40°）÷（ cos 10°＋i sin 10°）＝ cos （40°－ 10°）＋i sin （40°－10°）＝ cos 30°＋i sin 30°＝ ＋ i. ＋ i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 已知复数z－1的一个辐角为 ，z＋1的一个辐角为 ，则复数z＝ ⁠ ⁠. 解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），∵z－1＝a－1＋bi的一个辐角为 ， ∴ ＝tan ＝－ ①，∵z＋1＝a＋1＋bi的一个辐角为 ，∴ ＝tan ＝ ②，联立①②，得 ∴z＝－ ＋ i. － ＋ i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 计算： （1）2 × ； 解： 原式＝2× ［ cos （ ＋ π）＋i sin （ ＋ π）］＝ ＝－ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）2 （ cos －i sin ）÷［ （ cos ＋i sin ）］. 解： 原式＝2 ÷ ​ ＝2 ＝2 ＝－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 如果θ∈ ，那么复数（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）的辐角主值是 （　　） A. θ＋ B. θ＋ 解析：　（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）＝ （ cos ＋i sin ）（ cos θ＋i sin θ）＝ ［ cos （θ＋ ）＋i sin （θ＋ ）］，∵θ∈ ，∴θ＋ ∈ ，∴该复数的辐角主值是θ＋ .故选B. C. θ－ D. θ＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关 系，并写下公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位），这个公式在 复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则 有（　　） A. eiπ＋1＝0 B. （ ＋ i）2 025＝－1 C. ｜eix＋e－ix｜≤2 D. －2≤eix－e－ix≤2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　对于A，当x＝π时，因为eiπ＝ cos π＋i sin π＝－1，所以eiπ＋ 1＝0，故A正确；对于B，（ ＋ i）2 025＝（ cos ＋i sin ）2 025＝ （ ）2 025＝e675πi＝ cos 675π＋i sin 675π＝－1，故B正确；对于C，由eix ＝ cos x＋i sin x，e－ix＝ cos （－x）＋i sin （－x）＝ cos x－i sin x，所以 eix＋e－ix＝2 cos x，得出｜eix＋e－ix｜＝｜2 cos x｜≤2，故C正确；对于 D，由C分析得eix－e－ix＝2i sin x，推不出－2≤eix－e－ix≤2，故D错误.故 选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为Z1，Z2， Z3，O（其中O是原点），已知Z1对应复数z1＝1＋ i.若Z3对应的复数 为z3，则Z1和Z3对应的复数的乘积z1z3＝ ⁠. 解析：由题意得｜z3｜＝｜z1｜＝2，复平面上线段OZ1与 x轴正半轴的夹角为 ，则线段OZ3与x轴正半轴的夹角为 ，所以z3＝2（ cos ＋i sin ）＝－ ＋i，所以z1z3 ＝（1＋ i）（－ ＋i）＝－2 －2i. －2 －2i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 设z＝ － i对应的向量为 ，将 绕原点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转60°和30°，求所得两个向量对应的复数（用代数形式表示）. 解： 绕原点O按逆时针方向旋转60°所得向量对应的复数为（ － i）（ cos 60°＋i sin 60°）＝（ － i）（ ＋ i）＝1； 绕原点O按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数为（ － i） [ cos （－30°）＋i sin （－30°）]＝（ － i）（ － i）＝－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 已知复数z＝（m＋3）－（m＋1）i在复平面内对应的点在第一象 限，i是虚数单位. （1）求实数m的取值范围； 解： 因为复数z＝（m＋3）－（m＋1）i在复平面内对应的点在第一 象限， 所以 解得－3＜m＜－1，所以实数m的取值范围为 （－3，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）当m＝－2时，求复数z的三角表示式； 解： 当m＝－2时，z＝1＋i，所以r＝ ＝ ， cos θ＝ sin θ ＝ ＝ ， 所以θ＝45°， 所以z＝ （ cos 45°＋i sin 45°）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （3）若在复平面内，向量 对应（2）中的复数z，把 绕点O按顺时 针方向旋转60°得到 ，求向量 对应的复数z1（结果用代数形式表 示）. 解： 根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量 ＝（1，1），将 其顺时针旋转60°后得到向量 ，则 对应的复数z1＝ ＝ ＝ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $