7.3.2复数乘除运算的三角表示及其几何意义教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》教学设计 教学设计 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 1.复数的三角形式：. 2.复数向量表示. 3.复数代数形式的乘除运算法则. 4.两角和的正弦公式和余弦公式. 教师使用多媒体展示问题. 学生思考回答. 教师适时回顾，引入新课. 复习回顾，为新知识的学习做好准备工作. 提出问题 如果把复数分别写成三角形式， ，你能计算并将结果表示成三角形式吗？ 教师引导学生参与讨论、计算. 生：利用复数代数形式的乘法运算法则，结合两角和的正弦公式、余弦公式进行求解. 教师巡回指导学生，检查运算情况. 提出两个复数的三角形式的乘法计算问题，引入本课的学习，调动学生的积极性. 探究过程 1.如何推导复数三角形式的乘法运算公式呢？ 推导过程如下 . 2.如何理解复数乘法的几何意义呢？ 如图所示： 问题一：复数的积的辐角是如何变化的？ 问题二：复数的积的模是如何变化的？ 问题三：你能解释和的几何意义吗？ 3.如何推导复数三角形式的除法运算法则呢？ 问题：复数的除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角形式，你能得出复数的除法运算的三角表示吗？ . 4.如何理解复数除法的几何意义呢？ 问题：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ 学生阅读教材，利用三角函数的知识作出回答. 教师得出结论： 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 教师指出此处辐角不一定是辐角主值. 学生阅读教材回答. 师：两个复数相乘时，可以像左图那样，先画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义. 学生解释和的几何意义. 学生继续阅读教材，回答. 师：教材中是根据除法是乘法的逆运算而得到的.也还可以通过下面的途径得到： 教师得出结论： 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得差. 学生分组讨论. 师：复数除法对应的向量，就是由被除数所对应的向量按顺时针方向旋转一个角（，如果，按逆时针方向旋转一个角），再把其模变为原来的，所得的向量就表示.这就是复数除法的几何意义. 教师引导，学生思考回答，共同探究复数乘除运算的三角表示及其几何意义，充分体现了教师为主导、学生为主体的地位，也更能调动学生求知的欲望.体现了数学运算和直观想象的数学核心素养. 应用举例 例1 已知 ， , 求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释. 解: . 首先作出对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到个长度为3，辐角为的向量（如图所示），即为积所对应的向量. 例2 如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到求向量对应的复数（用代数形式表示）. 解：向量对应的复数为 . 例3 计算: ，并把结果化为代数形式. 解：原式 .... 学生独立完成例1，代表回答. 教师纠正指导. 教师归纳总结：对于两个（或多个）复数相乘，一定要注意其表示形式，符合三角形式才可以使用乘法运算三角表示法则.对于运算结果，当不要求把结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示. 学生板演例2和例3. 教师巡回指导，点拨. 教师归纳总结：对于两个复数相除，一定要注意其表示形式，符合三角形式才可以使用复数除法三角形式运算法则.对于运算结果，当不要求把结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示. 对复数的三角形式的乘法运算及其几何意义进行练习，加深学生的理解. 对复数的三角形式的除法运算及其几何意义进行练习，加深学生的理解小组合作与独立完成相结合，充分训练学生的主动性，达到学以致用的目的. 巩固训练 1.教材第89页练习第1，2，3题. 2.已知复数， ， 求. 3.（1）计算： ， 请把结果化为代数形式. （2）计算： ，请把结果表示为三角形式. 先让学生独立思考、逐个回答，再请其他学生评价，最后教师讲解、点评. 通过练习，强化对复数乘除运算的三角表示方法的理解，同时培养学生的解题能力，巩固所学知识. 归纳小结 1.复数乘除运算的三角表示. 2.复数乘除运算的几何意义. 小组合作总结，选出代表发表自己的收获. 引导学生整理知识，使其体会知识的生成、发展、完善的过程. 布置作业 1.教材第89~90页习题7.3第3，4题2教材第90页习题7.3第6，8题（选做题）. 学生独立完成. 教师批阅. 通过分层作业使学生巩固所学内容，并为有余力的学生提供进步学习的机会. 板书设计 7.32 复数乘、除运