6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 1 1.掌握向量数乘的坐标运算法则（数学运算）. 2.理解用坐标表示两向量共线的条件，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 　　我们上一节课学习了平面向量加、减运算的坐标表示，知道当a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）时，a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），那么当a＝b时，a＋b＝2a，向量2a的坐标与a的坐标有什么关系呢？ 情景导入 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 01 知识点二　平面向量共线的坐标表示 02 提能点　有向线段的定比分点坐标公式及应用 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示 01 PART 目 录 问题1　已知a＝（x1，y1），怎样求向量2a的坐标？你能得到向量λa的 坐标吗？ 提示：2a＝a＋a＝（2x1，2y1），λa＝（λx1，λy1）. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 符号表示 已知a＝（x，y），则λa＝ ⁠. （λx，λy）　 2. 文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 数学·必修第二册 目 录 【例1】　（链接教材P31例6）已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求： （1）2a＋3b；（2）a－3b；（3） a－ b. 解：（1）2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1）＝（－2，4）＋（6，3）＝ （4，7）. （2）a－3b＝（－1，2）－3（2，1）＝（－1，2）－（6，3）＝（－ 7，－1）. （3） a－ b＝ （－1，2）－ （2，1）＝（－ ，1）－（ ， ）＝ （－ ， ）. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标 运算进行运算； （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进 行向量的坐标运算； （3）向量的线性运算可完全类比数的运算进行. 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－ 2b＋c＝0，则c＝（　A　） A. （－23，－12） B. （23，12） C. （7，0） D. （－7，0） 解析： ∵a＝（5，2），b＝（－4，－3），且c满足3a－2b＋c＝ 0，∴c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝ （－23，－12）. A 数学·必修第二册 目 录 （2）已知点B（4，5），C（－2，－1），若点D满足 ＝3 ，则点 D的坐标为（　A　） A. （－ ， ） B. （ ， ） C. （ ，－ ） D. （－ ，－ ） A 数学·必修第二册 目 录 解析：设点D的坐标为（x，y），由 ＝3 可得（x－4，y－ 5）＝3（－2－x，－1－y），所以 解得 所以点D的坐标为（－ ， ）. 数学·必修第二册 目 录 知识点二 平面向量共线的坐标表示 02 PART 目 录 问题2　向量a与非零向量b共线的充要条件是什么？如何用坐标表示两个 向量共线？ 提示：向量a与非零向量b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，设a ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，若向量a与b共线，则有 （x1，y1）＝λ（x2，y2），即 消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 条件 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0 结论 向量a，b共线的充要条件是 ⁠ 　　提醒：（1）当b＝0时，x1y2－x2y1＝0也成立，所以对任意向量a＝ （x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；（2）也可以将式子 写成x1y2＝x2y1，记忆口诀：外项积＝内项积. x1y2－x2y1＝0　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（1）（链接教材P31例7）已知平面向量a＝（－2，1），b＝ （－4，x），若a与a＋2b共线，则实数x的值为（　　） A. 2 B. －2 C. 8 D. －8 解析：　由题意可得a＋2b＝（－10，1＋2x），因为a与a＋2b 共线，所以－2（1＋2x）＝－10，解得x＝2.故选A. √ 数学·必修第二册 目 录 （2）（链接教材P32例8）已知O为坐标原点， ＝（3，4）， ＝ （7，12）， ＝（9，16），求证：A，B，C三点共线. 证明：由题知 ＝ － ＝（4，8）， ＝ － ＝（6，12）. 因为4×12＝6×8， 所以 ∥ . 又因为 与 有公共点A， 所以A，B，C三点共线. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 利用向量共线求参数 利用向量平行的坐标等价形式列出方程（组），通过解方程（组）可以求 出参数的值. 2. 向量共线的判定方法 　　提醒：三点共线的实质是有公共点的两个向量共线问题. 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1）已知向量m＝（2，λ），n＝（－1，3），若（2m＋n）∥ （m－n），则实数λ的值为（　　） A. 6 B. 3 C. －3 D. －6 解析：　根据题意，向量m＝（2，λ），n＝（－1，3），则2m＋n＝（3，2λ＋3），m－n＝（3，λ－3）.若（2m＋n）∥（m－n）， 则λ－3＝2λ＋3，解得λ＝－6. √ 数学·必修第二册 目 录 （2）已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1， 2），且 ＝ ， ＝ ，求证： ∥ . 证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）.由题意知 ＝（2，2）， ＝（－2，3）， ＝（4，－1），∴ ＝ ＝（ ， ）， ＝ ＝（－ ，1），∴ ＝（x1，y1）－（－1，0）＝（ ， ）， ＝（x2，y2）－（3，－1）＝（－ ，1），∴（x1，y1）＝（－ ， ）， （x2，y2）＝（ ，0），∴ ＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（ ，－ ）. ∵4×（－ ）－（－1）× ＝0，∴ ∥ . 数学·必修第二册 目 录 03 PART 提能点 有向线段的定比分点坐标公式及应用 目 录 【例3】　（链接教材P32例9）已知点A（3，－4）与点B（－1，2），点 P在直线AB上，且｜ ｜＝2｜ ｜，求点P的坐标. 解：设点P的坐标为（x，y）， 因为｜ ｜＝2｜ ｜， 所以当P在线段AB上时， ＝2 ， 所以（x－3，y＋4）＝2（－1－x，2－y）， 所以 解得 数学·必修第二册 目 录 所以点P的坐标为（ ，0）； 当P在线段AB的延长线上时， ＝－2 ， 所以（x－3，y＋4）＝－2（－1－x，2－y）， 所以 解得 所以点P的坐标为（－5，8）， 综上所述，点P的坐标为（ ，0）或（－5，8）. 数学·必修第二册 目 录 变式　（1）若将本例条件“｜ ｜＝2｜ ｜”改为“ ＝3 ”， 其他条件不变，求点P的坐标； 解： 设点P的坐标为（x，y）. 因为 ＝3 ， 所以（x－3，y＋4）＝3（－1－x，2－y）， 所以 解得 所以点P的坐标为（0， ）. 数学·必修第二册 目 录 （2）若将本例条件改为“经过点P（－2，3）的直线分别交x轴、y轴于 点A，B，且｜ ｜＝3｜ ｜”，求点A，B的坐标. 解： 由题设知，A，B，P三点共线，且｜ ｜＝3｜ ｜. 设A（x，0），B（0，y）. ①点P在A，B之间，则有 ＝3 ， 所以（－x，y）＝3（－2－x，3）， 所以 解得 点A，B的坐标分别为（－3，0），（0，9）. 数学·必修第二册 目 录 ②点P不在A，B之间，则有 ＝－3 ， 易得点A，B的坐标分别为（－ ，0），（0，－9）. 综上，点A，B的坐标分别为（－3，0），（0，9）或（－ ，0），（0， －9）. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 利用向量共线求点的坐标方法 （1）求点的坐标：把向量模的比例关系转化为向量数乘关系，再代入坐 标运算； （2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）.若点P是线段P1P2的中点，则点P 的坐标为（ ， ）. 数学·必修第二册 目 录 训练3　在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），点G（2，－1）在中 线AD上，且 ＝2 ，则点C的坐标是（　　） A. （－4，2） B. （－4，－2） C. （4，－2） D. （4，2） 解析：　设点C的坐标为（x，y），则点D的坐标为（ ， ）. 由 ＝2 可得4＋x＝0，且－2＋y＝－4，解得x＝－4，y＝－2，故 点C的坐标为（－4，－2）. √ 数学·必修第二册 目 录 1. 下列各组向量中，共线的是（　　） A. a＝（－1，2），b＝（ ，1） B. a＝（3， ），b＝（2， ） C. a＝（2，3），b＝（2，－3） D. a＝（－3，2），b＝（3，－2） 解析：　选项A中，2× －（－1）×1≠0，则a与b不共线；同理，B， C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2）＝0，则有a∥b. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 已知向量a＝（1，2），2a＋b＝（3，2），则b＝（　　） A. （1，－2） B. （1，2） C. （5，6） D. （2，0） 解析：　由题意，得b＝（3，2）－2（1，2）＝（1，－2）. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 已知A（1，－3），B（8， ），C（9，λ），且A，B，C三点共 线，则λ＝ ⁠. 解析：由A（1，－3），B（8， ），C（9，λ），可得 ＝（7， ）， ＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得 ∥ ，则7（λ＋ 3）－8× ＝0，解得λ＝1. 1　 数学·必修第二册 目 录 4. 在平面直角坐标系中，已知点P1（－1，1），P2（1，3），点P满足 ＝－3 ，则点P的坐标为 ⁠. 解析：设点P的坐标为（x，y），因为点P1（－1，1），P2（1，3），所 以 ＝（x＋1，y－1）， ＝（1－x，3－y），因为 ＝－ 3 ，所以 解得 所以点P的坐标为（2，4）. （2，4）　 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）平面向量数乘运算的坐标表示及简单应用； （2）两个向量共线的坐标表示及应用； （3）三点共线问题； （4）有向线段的定比分点坐标公式及应用. 2.应体会 利用向量共线的坐标表示可以解决参数问题及三点共线问题；向量数乘 运算的坐标表示及应用体现了转化与化归的思想方法. 3.避易错 只有当x2y2≠0时，a∥b⇔ ＝ . 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 已知e1＝（2，1），e2＝（1，3），a＝（－1，2），若a＝λ1e1＋ λ2e2，则实数对（λ1，λ2）为（　　） A. （1，1） B. （－1，1） C. （－1，－1） D. 无法确定 解析：　由已知得a＝λ1e1＋λ2e2＝（2λ1＋λ2，λ1＋3λ2），又a＝（－1， 2），∴ 解得 ∴实数对（λ1，λ2）为（－1， 1）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 如果向量a＝（k，1），b＝（4，k）共线且方向相反，则k＝ （　　） A. ±2 B. －2 解析：　因为a与b共线且方向相反，所以存在实数λ（λ＜0），使得b＝ λa，即（4，k）＝λ（k，1）＝（λk，λ），所以 解得 或 （舍去）.故选B. √ C. 2 D. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 已知点A（3，－1），B（3，2），O为坐标原点， ＝2 ＋λ （λ∈R）.若点P在x轴上，则λ的值为（　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. －2 解析：　设点P（a，0），则 ＝（a，0）.又 ＝（3，－1）， ＝（3，2），则（a，0）＝（6，－2）＋（3λ，2λ），则有 解得 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 已知向量 ＝（7，6）， ＝（－3，m）， ＝（－1，2m）， 若A，C，D三点共线，则m＝（　　） A. B. C. － D. － 解析：　 ＝ ＋ ＝（4，m＋6），因为A，C，D三点共线，所 以 与 共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕已知a＝（5，4），b＝（3，2），则下列向量中与2a－3b平 行的向量有（　　） A. （ ， ） B. （ ，－ ） C. （－2，1） D. （1，2） 解析： 　∵a＝（5，4），b＝（3，2），∴2a－3b＝（1，2），则 与2a－3b平行的向量c＝（x，y）需满足y－2x＝0，即y＝2x.选项A， D中向量满足，故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕已知λ，μ∈R， ＝（λ，1）， ＝（－1，1）， ＝ （1，μ），则（　　） A. ＋ ＝（λ－1，1－μ） B. 若 ∥ ，则λ＝2，μ＝ C. 若A是BD的中点，则B，C两点重合 D. 若点B，C，D共线，则μ＝1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：A选项， ＋ ＝ － ＋ － ＝ － ＝（λ，1）－（1，μ）＝（λ－1，1－μ），A选项正确；B选项，若 ∥ ，则λ·μ＝1，故也可取λ＝3，μ＝ ，B选项错误；C选项，若A是BD的中点，则 ＝－ ，即（λ，1）＝（－1，－μ）⇒λ＝μ＝－1，所以 ＝ ＝（－1，1），所以B，C两点重合，C选项正确；D选项，由于B，C，D三点共线，所以 ∥ ， ＝ － ＝（－1，1）－（λ，1）＝（－1－λ，0）， ＝ － ＝（1，μ）－（λ，1）＝（1－λ，μ－1），则（－1－λ）×（μ－1）＝0×（1－λ）⇒λ＝－1或μ＝1，所以D选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 设向量a＝（1，2），b＝（－3，5），c＝（4，x），若a＋b＝λc （λ∈R），则λ＋x＝ ⁠. 解析：由已知，可得（1，2）＋（－3，5）＝λ（4，x），所以 解得 所以λ＋x＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 已知向量a＝（3，2），b＝（2，－1），若非零向量ma＋nb与a＋ 2b共线，其中m，n∈R，则 的值为 　 　. 解析：由a＝（3，2），b＝（2，－1），得ma＋nb＝（3m＋2n，2m －n），a＋2b＝（7，0）.因为ma＋nb与a＋2b共线，所以14m－7n＝ 0，解得 ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 已知A（2，4），B（－4，6），若 ＝ ， ＝ ，则 的 坐标为 ⁠. 解析：设C（x1，y1），D（x2，y2）， ＝ ，则（x1－2，y1－4） ＝ （－6，2）＝（－9，3），所以x1＝－7，y1＝7，即C（－7，7）.又 ＝ ，则（x2＋4，y2－6）＝ （6，－2）＝（8，－ ），所以x2＝ 4，y2＝ ，即D（4， ），则 ＝（11，－ ）. （11，－ ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，－2），C （4，1）. （1）若 ＝ ，求D点的坐标； 解：设D（x，y）， 则 ＝（1，－5）， ＝（x－4，y－1）. 因为 ＝ ，所以（1，－5）＝（x－4，y－1）， 即 解得 所以D点的坐标为（5，－4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）设向量a＝ ，b＝ ，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值. 解： 由题意得a＝ ＝（1，－5），b＝ ＝（2，3），所以ka －b＝（k－2，－5k－3），a＋3b＝（7，4）. 因为（ka－b）∥（a＋3b）， 所以4（k－2）＝7（－5k－3），解得k＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB ＝4，E为AD的中点，若 ＝λ ＋μ （λ，μ∈R），则λ＋μ的值为 （　　） A. B. C. 2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　以D为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 的方向为y轴正 方向建立平面直角坐标系（图略），则D（0，0），C（4，0），A（0， 4），B（2，4），E（0，2），所以 ＝（－4，4）， ＝（－4， 2）， ＝（2，4）.又因为 ＝λ ＋μ （λ，μ∈R），所以（－4， 4）＝λ（－4，2）＋μ（2，4），则 解得λ＝ ，μ＝ ， 所以λ＋μ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 在平面直角坐标系中，A（1，m），B（－2，2m＋1）， ＝（－ 1，m－1），若A，B，C三点能构成三角形的三个顶点，则实数m的取 值范围为 　 　. {m｜m≠2} 解析：由题知A，B，C三点不共线，即 ， 不共线，易得 ＝（－ 3，m＋1），又 ＝（－1，m－1），所以－（m＋1）≠－3（m－ 1），所以m≠2.所以实数m的取值范围为{m｜m≠2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 已知A（0，5），B（－1，0），C（3，4），D是BC上一点且 △ACD的面积是△ABC面积的 ，则△ABC的重心G的坐标是 　（ ， ，点D的坐标是 ⁠. 解析：由题可得△ABC的重心G的坐标为（ ， ），即（ ， 3）.由题意得 ＝3 .设D（x，y），则 ＝（x＋1，y）， ＝ （3－x，4－y），所以x＋1＝3（3－x），y＝3（4－y），解得x＝2， y＝3，即D（2，3）. （ ， 3）　 （2，3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 已知点O为坐标原点，A（0，2），B（4，6）， ＝t1 ＋t2 . （1）若点M在第二或第三象限，求t1与t2满足的条件； 解： 点O为坐标原点，A（0，2），B（4，6）， ＝t1 ＋ t2 ，所以 ＝ － ＝（4，4）， ＝t1（0，2）＋t2（4，4）＝ （4t2，2t1＋4t2）.当点M在第二或第三象限时， （2）求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线. 解： 证明：当t1＝1时，由（1）知 ＝（4t2，4t2＋2）， ＝ （4，4）.因为 ＝ － ＝（4t2，4t2）＝t2（4，4）＝t2 ，所以 与 共线，又 与 有公共点A，所以A，B，M三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 如图，已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P是直线P1P2上一点，且 ＝λ （λ∈R，且λ≠－1）. （1）求点P的坐标； 解：（1）由题意可知， ＝ ＋ ，　① ＝ － .　② ①＋λ×②得（1＋λ） ＝ ＋ ＋λ －λ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 又已知 ＝λ ， 所以（1＋λ） ＝ ＋λ ， 从而 ＝ ＝ ＝ （ ， ）. 因此，点P的坐标为（ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）探究点P的位置与λ的取值范围之间的关系. 解： 设线段P1P2的中点为P0， 则点P的位置与λ的取值范围之间的关系如下： ①当点P位于P1P2的延长线上时，λ＜－1； ②当点P位于P2P1的延长线上时，－1＜λ＜0； ③当点P与P1重合时，λ＝0； ④当点P位于P1P0之间时，0＜λ＜1； ⑤当点P与P0重合时，λ＝1； ⑥当点P位于P0P2之间时，λ＞1； ⑦当点P与P2重合时，λ不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $