6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了平面向量数量积的坐标表示、模、夹角与垂直等核心知识，通过问题引导推导公式，以“数量积坐标运算—模的计算—夹角与垂直判定”为逻辑主线串联知识点，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“基础例题—变式训练—分层作业”设计，如通过例1巩固数量积坐标运算，训练题结合几何图形提升应用能力，课时作业分A、B、C级满足不同需求，培养数学运算和逻辑推理能力，助力学生夯实基础、提升解题技能，为教师提供系统复习方案。

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 1 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算（数学运算）. 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直（逻辑推理）. 课标要求 　　前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用 “坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能 否用坐标来表示两向量的数量积呢？ 情景导入 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 01 知识点二　平面向量的模 02 知识点三　平面向量的夹角与垂直 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 01 PART 目 录 问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个 单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝ （x1，y1），b＝（x2，y2），你能给出a·b的值吗？ 提示：根据向量数量积的定义，易得i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝（x1i＋y1j）·（x2i＋y2j） ＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 向量数量积的坐标表示 （1）语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和； （2）坐标表示：已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝ ⁠ ⁠. x1x2 ＋y1y2　 数学·必修第二册 目 录 （1）求a·（a－b）； 解： 法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2）， 所以a－b＝（－4，0）. 所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－4）＋2×0 ＝4. 【例1】　已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）. 法二　a·（a－b）＝a·a－a·b ＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4. 数学·必修第二册 目 录 （2）求（a＋b）·（2a－b）. 解： 因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），2a－b＝2 （－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2）， 所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋ 4×2＝－2. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 向量数量积坐标运算的技巧 （1）两向量进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并 能灵活运用以下几个关系：①a2＝a·a；②（a＋b）·（a－b）＝a2 －b2；③（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2； （2）在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立 坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积. 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a －b）·c＝30，则x＝（　C　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析： 由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝30，c ＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4. C 数学·必修第二册 目 录 （2）在平面直角坐标系Oxy中，已知四边形ABCD是平行四边形， ＝ （1，－2）， ＝（2，1），则 · ＝（　A　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 A 解析： 由 ＝ ＋ ＝（1，－2）＋（2，1）＝（3，－1），得 · ＝（2，1）·（3，－1）＝2×3＋1×（－1）＝5. 数学·必修第二册 目 录 知识点二 平面向量的模 02 PART 目 录 问题2　若向量a＝（x，y），你能计算出向量a的模吗？ 提示：｜a｜＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 向量模的坐标公式 若a＝（x，y），则｜a｜2＝ ，｜a｜＝ . 2. 两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式 ｜ ｜＝ ⁠. x2＋y2　 　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（1）已知向量a＝（1，0），b＝（2，2），则｜a－2b｜＝ （　D　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析： 由题知向量a＝（1，0），b＝（2，2），所以a－2b＝（－ 3，－4），所以｜a－2b｜＝ ＝5，故选D. D 数学·必修第二册 目 录 （2）已知 ， 均为单位向量，且 ＋2 ＝（1，1），则｜ ｜ ＝（　C　） A. B. C. D. 解析： 因为 ＋2 ＝（1，1），所以（ ＋2 ）2＝ ＋ 4 ＋4 · ＝2，因为向量 ， 均为单位向量，所以1＋4＋ 4 · ＝2，所以 · ＝－ ，所以｜ ｜＝｜ － ｜＝ ＝ ＝ . C 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量 与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋ y2，于是有｜a｜＝ . 数学·必修第二册 目 录 训练2　已知向量a＝（2，m），b＝（3，6），若｜3a＋b｜＝｜3a－ b｜，则实数m的值为（　　） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 解析：　法一　已知向量a＝（2，m），b＝（3，6），则3a＋b＝ （9，3m＋6），3a－b＝（3，3m－6），由｜3a＋b｜＝｜3a－b｜可 得 ＝ ，解得m＝－1. 法二　∵｜3a＋b｜＝｜3a－b｜，∴（3a＋b）2＝（3a－b）2，即9a2 ＋6a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2，∴12a·b＝0，即a·b＝0，∴2×3 ＋6m＝0，m＝－1. √ 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 平面向量的夹角与垂直 目 录 问题3　你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当 夹角为 时，得到的结论是什么？ 提示：若两非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ .当夹角为 时，x1x2＋y1y2＝0. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹 角. （1） cos θ＝ ＝ ； （2）a⊥b⇔ ⁠. x1x2＋y1y2＝0　 数学·必修第二册 目 录 （1）求a与b夹角的余弦值； 解： 因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2， ｜a｜＝ ＝5，｜b｜＝ ＝ ， 设a与b的夹角为θ，所以 cos θ＝ ＝ ＝ . （2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值. 解： 因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8）， 又（a－λb）⊥（2a＋b）， 所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，解得λ＝ . 【例3】　（链接教材P35例11）已知a＝（4，3），b＝（－1，2）. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由 cos θ＝ ＝ 直接求出 cos θ； （2）注意事项：利用三角函数值 cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围 是0°≤θ≤180°.利用 cos θ＝ 判断θ的值时，要注意 cos θ＜0时， 有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°； cos θ＞0时，也有两种情况： 一是θ是锐角，二是θ为0°. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（1）已知向量a＝（1，1），2a＋b＝（4，2），则向量a与b的 夹角为（　B　） A. B. C. D. 解析： 由题意得b＝2a＋b－2a＝（2，0），所以a·b＝1×2＋ 1×0＝2，易得｜b｜＝2，｜a｜＝ ，设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ ，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝ ，故选B. B 数学·必修第二册 目 录 （2）已知A，B，C是平面直角坐标系内的三点，若 ＝（2，1）， ＝（3，－6），则△ABC的面积为（　C　） A. 15 B. 12 C. D. 6 解析： 因为 ＝（2，1）， ＝（3，－6），所以 · ＝ 2×3－6＝0，即 ⊥ ，所以S△ABC＝ ｜ ｜·｜ ｜＝ × × ＝ ，故选C. C 数学·必修第二册 目 录 1. 已知a＝（－4，3），b＝（5，6），则3｜a｜2－4a·b＝（　　） A. 23 B. 57 C. 63 D. 83 解析：　3｜a｜2－4a·b＝3×[（－4）2＋32]－4×（－4×5＋3×6） ＝83.故选D. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 已知向量a＝（1，－2），b＝（m，1），若a⊥b，则b与a＋b夹角 的余弦值为（　　） A. B. C. D. － 解析：　因为a⊥b，所以a·b＝m－2＝0，即m＝2.所以b＝（2， 1），a＋b＝（3，－1），所以 cos ＜b，a＋b＞＝ ＝ ＝ ＝ .故选A. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则｜3a＋b｜ ＝ ⁠. 解析：∵a∥b，∴1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝ （1，2），｜3a＋b｜＝ . 　 数学·必修第二册 目 录 4. 已知点A（0，1），B（1，－2），向量 ＝（4，－1），求 · 及｜ ｜. 解：因为 ＝（1，－3）， 所以 · ＝1×4＋（－3）×（－1）＝7， ＝ － ＝（4，－1）－（1，－3）＝（3，2）， 所以｜ ｜＝ ＝ . 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）平面向量数量积的坐标表示； （2）平面向量的模与夹角（垂直）问题. 2.应体会 应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、平行、夹角及 长度等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法. 3.避易错 （1）易混淆平面向量平行与垂直的坐标表示； （2）在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析：　∵a＝（1，－1），b＝（－1，2），∴2a＋b＝（1，0）， ∴（2a＋b）·a＝1×1＋0×（－1）＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 已知向量m＝（1，1），向量n与向量m的夹角为 ，且m·n＝－ 1，则｜n｜＝（　　） A. －1 B. 1 C. 2 D. －2 解析：　 cos ＝ ＝ ＝－ ，｜n｜＝1.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状是 （　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 解析：　由题设知 ＝（8，－4）， ＝（2，4），所以 · ＝ 8×2＋（－4）×4＝0，即 ⊥ .所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角 三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 已知向量a＝（－2，－1），b＝（1，2），若a在b上的投影向量为 c，则c·（a＋b）＝（　　） A. － B. － C. D. 解析：　因为a＝（－2，－1），b＝（1，2），所以a在b上的投影向 量为 · ＝ × （1，2）＝（－ ，－ ），所以c＝（－ ，－ ）.因为a＋b＝（－1，1），所以c·（a＋b）＝ － ＝－ .故 选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕已知向量a＝（1，3），b＝（2，－4），则下列结论正确的 是（　　） A. （a＋b）⊥a B. ｜2a＋b｜＝ C. 向量a，b的夹角为 D. a·b＝－10 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　对于选项A，a＋b＝（3，－1），因为（a＋b）·a＝ （3，－1）·（1，3）＝3－3＝0，所以（a＋b）⊥a，故A正确；对于 选项B，易得2a＋b＝（4，2），所以｜2a＋b｜＝ ＝ ＝ 2 ，故B错误；对于选项C，设向量a，b的夹角为θ（θ∈[0，π]），则 cos θ＝ ＝ ＝－ ，所以θ＝ ，即向量a，b的夹角为 ，故C正确；对于选项D，a·b＝1×2＋3×（－4）＝－10，故D正确. 故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕已知向量a＝（ cos θ， sin θ），b＝（－3，4），则（　　） A. 若a∥b，则tan θ＝－ B. 若a⊥b，则 sin θ＝ C. ｜a－b｜的最大值为6 D. 若a·（a－b）＝0，则｜a－b｜＝2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　若a∥b，则4 cos θ＝－3 sin θ，tan θ＝－ ，A正确；若 a⊥b，则－3 cos θ＋4 sin θ＝0，tan θ＝ ，所以 sin θ＝± ，B错 误；因为｜a｜＝ ＝1，｜b｜＝ ＝ 5，｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，所 以C正确；若a·（a－b）＝0，则a2＝a·b，则｜a－b｜＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 ，D 正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m ＝ ⁠. 解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要条件可 得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 已知a＝（2，0），b＝（1，2），实数λ满足｜a－λb｜＝ ，则λ的 值为 ⁠. 解析：由题意可得a－λb＝（2－λ，－2λ），所以｜a－λb｜＝ ＝ ，解得λ＝1或λ＝－ . 1或－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 设点A（4，2），B（a，8），C（2，a），O为坐标原点，若四边 形OABC是平行四边形，则向量 与 的夹角为 ⁠. 解析：∵四边形OABC是平行四边形，∴ ＝ ，即（4－0，2－0）＝ （a－2，8－a），∴a＝6，∴ ＝（4，2）， ＝（2，6），设向量 与 的夹角为θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝ ，又 θ∈[0，π]，∴ 与 的夹角为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 已知向量a＝（－1，2），b＝（3，－1）. （1）求a＋2b的坐标与｜a－b｜； 解： a＋2b＝（5，0），a－b＝（－4，3）， ｜a－b｜＝ ＝5. （2）求向量a与a－b的夹角的余弦值. 解： a·（a－b）＝10， ｜a｜＝ ＝ ， cos ＜a，a－b＞＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 若向量 ＝（3，－1），n＝（2，1），且n· ＝7，则n· ＝ （　　） A. －2 B. 2 C. －2或2 D. 0 解析：　∵ ＋ ＝ ，∴n·（ ＋ ）＝n· ，即n· ＋n· ＝n· ，∴n· ＝n· －n· ＝7－5＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 · 的取值范 围是（　　） A. （－2，6） B. （－6，2） C. （－2，4） D. （－4，6） 解析：　连接AE，以A为坐标原点，AB所在直线为x 轴，AE所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标 系，则A（0，0），B（2，0），设P（x0，y0），则－1 ＜x0＜3. ＝（2，0）， ＝（x0，y0），则 · ＝2x0∈（－2，6）.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 已知O为坐标原点，向量 ＝（2，2）， ＝（4，1），在x轴上 有一点P使得 · 有最小值，则点P的坐标为 ⁠. 解析：设点P的坐标为（x，0），则 ＝（x－2，－2）， ＝（x－ 4，－1）.所以 · ＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－ 6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时， · 有最小值1.此时点P的 坐标为（3，0）. （3，0）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 已知向量a＝（2，0），b＝（ ， ）. （1）若（a＋b）⊥（a－λb），求实数λ的值； 解：因为（a＋b）⊥（a－λb），所以（a＋b）·（a－λb）＝0. 因为a＝（2，0），b＝（ ， ），所以a＋b＝（ ， ），a－λb＝ （2－ λ，－ λ），所以（a＋b）·（a－λb）＝7－6λ＝0，解得λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若ka＋b与2a－b的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 解：由已知可得（ka＋b）·（2a－b）＜0，且ka＋b与2a－b不 共线，易得ka＋b＝（2k＋ ， ），2a－b＝（ ，－ ）， 由（ka＋b）·（2a－b）＜0，可得（2k＋ ）× ＋ ×（－ ）＜ 0，解得k＜－ .若ka＋b与2a－b共线，则（2k＋ ）×（－ ）＝ × ，解得k＝－2，所以由ka＋b与2a－b不共线可得k≠－2，所以k的取值范围为{k｜k＜－ 且k≠－2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 在平面直角坐标系xOy中，给定A（x1，y1），B（x2，y2），假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示. （1）你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？ 解：如图所示， 记t＝OA，a＝ （－y1，x1），则容易验证，a是与 垂直的单位向量. 过B作BD⊥OA于点D. 因为a为单位向量，所以由向量 数量积的几何意义可知BD＝｜a· ｜， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 因此，△OAB的面积为 S△OAB＝ AO×BD＝ AO×｜a· ｜ ＝ t×｜ （－y1，x1）·（x2，y2）｜ ＝ ｜（－y1，x1）·（x2，y2）｜ ＝ ｜x1y2－x2y1｜. 所以S△OAB＝ ｜x1y2－x2y1｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积用A，B的坐标怎样 表示？ 解：由于以OA，OB为邻边的平行四边形OACB被 AB分为两个全等的三角形，所以S▱OACB＝｜x1y2－ x2y1｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $