6.4.3 第2课时 正弦定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了正弦定理的推导、变形及应用，通过从直角三角形到锐角、钝角三角形的分类证明构建知识逻辑，串联起已知两角一边、两边一对角解三角形及形状判断等内容，形成完整知识网络。 其亮点在于注重数学思维培养，如用向量法推导定理渗透逻辑推理，通过例2分类讨论两边一对角解的个数培养严谨思维，分层作业（A级基础到C级拓展）满足不同需求，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习支持。

第二课时　正弦定理 1 知识点一　正弦定理的推导 01 知识点二　已知两角及一边解三角形 02 提能点　判断三角形的形状 04 目录 课时作业 05 知识点三　已知两边及一边的对角解三角形 03 2 知识点一 正弦定理的推导 01 PART 目 录 问题　（1）如图，在Rt△ABC中，C＝90°，边a，b，c与角A，B的关 系是什么？ 提示： sin A＝ ， sin B＝ ，可以变形写成c＝ ＝ ，又 sin C＝1， 则上式可写成 ＝ ＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？你能用向量的 方法证明吗？ 提示：成立. ①如图，在锐角△ABC中，过点A作与 垂直的单位向 量j，则j与 的夹角为 －A，j与 的夹角为 －C. 因为 ＋ ＝ ，所以j·（ ＋ ）＝j· . 由分配律，得j· ＋j· ＝j· ，即｜j｜｜ ｜· cos ＋｜ j｜｜ ｜ cos （ －C）＝｜j｜｜ ｜ cos （ －A）， 数学·必修第二册 目 录 ②当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角（如图所示）， 过点A作与 垂直的单位向量j，则j与 的夹角为A－ ，j与 的夹 角为 －C， 仿照上述方法，同样可得 ＝ ＝ . 也即a sin C＝c sin A，所以 ＝ .同理，过点C作与 垂直的单位向量m，可得 ＝ .因此 ＝ ＝ . 数学·必修第二册 目 录 （3）在△ABC中， ＝ ＝ ，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ 提示：观察图， 无论怎么移动B'，都会有角B'＝B， 所以在△AB'C中， ＝ ＝c，c是Rt△ABC，△AB'C外接圆的直径， 所以对任意△ABC，均有 ＝ ＝ ＝2R（R为△ABC外接圆的半径）. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 正弦定理的表示 （1）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的 ⁠的比相 等，该比值为该三角形外接圆的直径； （2）符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 则 ＝ 　 　＝ 　 　＝2R（R为△ABC的外接圆的半径）. 正弦　 　 　 数学·必修第二册 目 录 2. 正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下 变形： （1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝ ⁠； （2） sin A＝ ， sin B＝ 　 　， sin C＝ ； （3）a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C； （4） ＝ ＝ ＝ ＝2R； （5）a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A. 2R sin C　 　 数学·必修第二册 目 录 知识点二 已知两角及一边解三角形 02 PART 目 录 【例1】　（链接教材P47例7）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知a＝2 ，A＝30°，B＝45°，解三角形. 解：因为 ＝ ＝ ，所以b＝ ＝ ＝ ＝4；因 为C＝180°－（A＋B）＝180°－（30°＋45°）＝105°，所以c＝ ＝ ＝ ＝2＋2 . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 已知两角及一边解三角形的一般步骤 数学·必修第二册 目 录 训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝ ，C＝ ，a＝5，则此三角形的最大边长为 　5 　. 解析：∵B＝ ，C＝ ，∴A＝ ，∴B所对的边最大，∵ ＝ ， ∴b＝ ＝ ＝5 . 5 　 数学·必修第二册 目 录 知识点三 已知两边及一边的对角解三角形 03 PART 目 录 【例2】　（链接教材P47例8）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，解此三角形. 解：由正弦定理 ＝ ，知 sin A＝ ＝ ， ∵b＜a，∴A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， ∴c＝ ＝ ＝ ； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， 数学·必修第二册 目 录 ∴c＝ ＝ ＝ . 故当A＝60°时，C＝75°，c＝ ； 当A＝120°时，C＝15°，c＝ . 数学·必修第二册 目 录 变式　若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三 角形. 解：由正弦定理 ＝ ，知 sin B＝ ＝ ， ∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°， ∴c＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 数学·必修第二册 目 录 训练2　在△ABC中，已知A＝ ，a＝ ，b＝1，则c的值为（　　） A. 1 B. 2 C. －1 D. 解析：　由 ＝ 及已知可得 ＝ ，∴ sin B＝ ，由a＞b， 得A＞B，又A＝ ，∴B∈（0， ），∴B＝ .故C＝π－ － ＝ ，由 勾股定理得c＝ ＝2. √ 数学·必修第二册 目 录 04 PART 提能点 判断三角形的形状 目 录 【例3】　在△ABC中，若 ＝2 cos A，则此三角形为（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　由 ＝2 cos A可得 sin B＝2 sin C cos A，易知 sin B＝ sin （A＋ C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C，所以2 sin C cos A＝ sin A cos C＋ cos A sin C⇒ sin （C－A）＝0，由于C，A为△ABC的内角，故C＝A，故△ABC 为等腰三角形.故选B. √ 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 利用正弦定理判断三角形形状的方法 （1）化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据 三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状； （2）化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据 代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进而确定三角形的 形状. 数学·必修第二册 目 录 训练3　已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ＝ ＝ ，则△ABC是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个内角是30°的直角三角形 解析：　已知 ＝ ＝ ，由正弦定理可得 cos A＝ sin A， cos B ＝ sin B，故A＝B＝ ，C＝ ，则△ABC是等腰直角三角形.故选C. √ 数学·必修第二册 目 录 三角形解的个数判断 通过教材P47例8我们知道，已知三角形的两边和其中一边的对角，可求其 他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一 确定.那么怎样判断解的个数呢？ 具体方法如下： （1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨 设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A ＜B，由正弦定理得 sin B＝ ，① sin B＞1，即a＜b sin A，无解；② sin B＝1，即a＝b sin A，一解；③ sin B＜1，即b sin A＜a＜b，两解. 数学·必修第二册 目 录 （2）几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为 半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个 数，见下表： 分类 图形 关系式 解的个数 A为锐角 a＜b sin A 无解 a＝b sin A 一解 数学·必修第二册 目 录 分类 图形 关系式 解的个数 A为锐角 b sin A＜a＜b 两解 a≥b 一解 A为钝角或直角 a＞b 一解 a≤b 无解 数学·必修第二册 目 录 【典例】　不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A， B，C的对边分别为a，b，c）： （1）a＝5，b＝4，A＝120°； 解： sin B＝ sin 120°＝ × ＜ ，所以三角形有一解. 数学·必修第二册 目 录 （2）a＝9，b＝10，A＝60°； 解： sin B＝ sin 60°＝ × ＝ ，而 ＜ ＜1. 所以当B为锐角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是60°＜B＜90°. 满足A＋B＜180°； 当B为钝角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也 满足A＋B＜180°.故三角形有两解. 数学·必修第二册 目 录 （3）b＝72，c＝50，C＝135°. 解： sin B＝ ＝ sin C＞ sin C＝ . 所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解. 数学·必修第二册 目 录 【迁移应用】 1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正 确的是（　　） A. B＝30°，c＝4，b＝5，有两解 B. B＝30°，c＝4，b＝3.9，有一解 C. B＝30°，c＝4，b＝3，有一解 D. B＝30°，c＝4，b＝1，无解 √ 数学·必修第二册 目 录 解析：　选项A，因为b＝5＞c＝4，所以B＝30°＞C，△ABC只有一 解，故A错误；选项B，因为c sin 30°＝2＜b＝3.9＜c＝4，所以△ABC 有两解，故B错误；选项C，因为c sin 30°＝2＜b＝3＜c＝4，所以△ABC 有两解，故C错误；选项D，因为b＝1＜c sin 30°＝2，所以△ABC无解， 故D正确.故选D. 数学·必修第二册 目 录 2. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝ 2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x＜2 C. 2＜x＜2 D. 2＜x＜2 解析：　由题意知a＞b，则x＞2，又由 sin A＝ ＝ ＜1，可得x ＜2 ，∴x的取值范围是2＜x＜2 .故选C. √ 数学·必修第二册 目 录 1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的 是（　　） A. a∶b＝A∶B B. a∶b＝ sin A∶ sin B C. a∶b＝ sin B∶ sin A D. a sin A＝b sin B 解析：　由正弦定理 ＝ 可得a∶b＝ sin A∶ sin B，可知B正确. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4 ，b＝ 4 ，B＝45°，则A＝（　　） A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 以上答案都不对 解析：　由正弦定理 ＝ ，得 sin A＝ ＝ .∵a＞b，∴A＞ B，∴A＝60°或120°. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，A＝ 45°，B＝30°，则b的值及△ABC外接圆的半径分别为（　　） A. ，2 B. ， C. 2 ， D. 2 ，2 解析：　由正弦定理可得b＝ ＝ ＝ .设△ABC的外接圆的半径 为R，则由正弦定理可得2R＝ ＝ ＝2 ，所以R＝ .故选B. √ 数学·必修第二册 目 录 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6 ，c ＝6，C＝30°，求a. 解：由正弦定理，得 ＝ ，得 sin B＝ ＝ . 因为b＞c，所以B＞C＝30°，所以B＝60°或B＝120°. 当B＝60°时，A＝90°，a＝ ＝ ＝12； 当B＝120°时，A＝30°，a＝ ＝ ＝6. 所以a＝6或a＝12. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）正弦定理及变形形式； （2）利用正弦定理解三角形； （3）应用正弦定理判断三角形的形状. 2.应体会 在解三角形的过程中，正弦定理及公式变形实现边角互化，体现了转化与化归、数形结合的思想方法. 3.避易错 已知两边及其中一边对角解三角形时一般要分类讨论. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2，A ＝45°，B＝60°，则a＝（　　） A. B. 2 解析：　已知b＝2，A＝45°，B＝60°，由正弦定理可得 ＝ ， 则a＝ ＝ ＝ .故选A. C. 2 D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ＝ ，则角B的大小为（　　） A. B. C. D. 解析：　由正弦定理 ＝ 及 ＝ ，可得 sin B＝ cos B. 又0＜ B＜π，所以B＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a ＝6，b＝3 ，则B的大小为（　　） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 解析：　由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin B＝ ， 又B为三角形内角，所以B＝30°或B＝150°，又因为a＞b，所以A＞ B，即B＝30°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， sin A－ sin B＋ ＝0，则△ABC的形状一定为（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 解析：　在△ABC中， sin A－ sin B＋ ＝0，则由正弦定理可得 （ sin A－ sin B）＋ ＝（1＋ ）·（ sin A－ sin B）＝0. 因为A，B，C∈（0，π），所以 sin C＞0，可得 ＋1≠0，所以 sin A ＝ sin B，则有a＝b，则△ABC一定为等腰三角形.故选B. √ C. 等边三角形 D. 钝角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A ＝b cos B，则△ABC是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 解析： 　由正弦定理 ＝ ，得 ＝ .又a cos A＝b cos B，所以 ＝ ，所以 ＝ ，所以 sin A· cos A＝ sin B· cos B，所以2 sin A· cos A＝2 sin B· cos B，即 sin 2A＝ sin 2B. 因为A，B为三角形内 角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝ ，故△ABC是等腰 三角形或直角三角形. C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（　　） A. a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B. b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C. a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　A中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝1，∴B＝ 90°，即只有一解；B中，∵ ＝ ，∴ sin C＝ ＝ ＝ ，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2， ∴b＝ ＝ ，有解；D中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，又b＜a，∴只有一解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝ 1∶1∶4，则a∶b∶c＝ 　 　. 1∶1∶ 解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别 为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝ sin 30°∶ sin 30°∶ sin 120°＝ 1∶1∶ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a sin C＝ c，则A＝ ⁠. 解析：设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2×2R sin A sin C＝ ×2R sin C，因此 sin A＝ ，又因为0°＜A＜180°，故A＝45°或A ＝135°. 45°或135°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝ ， sin B＝ ，C＝ ，则b＝ ⁠. 解析：在△ABC中，因为 sin B＝ ，0＜B＜π，所以B＝ 或B＝ π.又因 为B＋C＜π，C＝ ，所以B＝ ，所以A＝π－ － ＝ π.因为 ＝ ，所以b＝ ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解： ∵A＝30°，C＝105°， ∴B＝180°－（A＋C）＝45°. ∵ ＝ ＝ ，∴b＝ ＝ ＝2 ， c＝ ＝ ＝ ＋ . ∴B＝45°，b＝2 ，c＝ ＋ . 10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解 三角形： （1）A＝30°，C＝105°，a＝2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）b＝3，c＝3 ，B＝30°. 解： 由正弦定理，得 ＝ ， 即 ＝ ，解得 sin C＝ . ∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°. ①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为直角三角形， 此时a＝ ＝6； ②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，∴a＝b＝3. 综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 cos A＝ ，a＝1，则 ＝（　　） A. B. C. 2 D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　因为 cos A＝ ，0＜A＜π，所以 sin A＝ ＝ ，在 △ABC中，由正弦定理 ＝ ＝ ＝2R（R为△ABC外接圆的半 径），得b＝2R sin B，c＝2R sin C，则 ＝ ＝2R ＝ ＝ ＝3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 在△ABC中，若 sin C＝2 sin B cos B，且B∈（ ， ），则 的取值范 围为（　　） A. （ ， ） B. （ ，2） C. （0，2） D. （ ，2） 解析：　由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 cos B. 又 ＜B＜ ，余弦 函数在此范围内单调递减，故 ＜ cos B＜ ，∴ ∈（ ， ）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝ 60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 ⁠. 解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理 ＝ ，得c＝ .若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞c sin B，即 ＜b ＜2. （ ，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 b sin A＝a cos B. （1）求B； 解： 由 b sin A＝a cos B及正弦定理， 得 sin B sin A＝ sin A cos B. 在△ABC中， sin A≠0，∴ sin B＝ cos B， ∴tan B＝ . ∵0＜B＜π，∴B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若b＝3， sin C＝ sin A，求a，c. 解： 由 sin C＝ sin A及正弦定理， 得c＝ a，　① 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得32＝a2＋c2－2ac cos ， 即a2＋c2－ ac＝9，　② 联立①②，解得a＝3，c＝3 （负值舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＋ c＝b. （1）求角A的大小； 解：由a cos C＋ c＝b，得 sin A cos C＋ sin C＝ sin B. 因为 sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C， 所以 sin C＝ cos A sin C. 因为 sin C≠0，所以 cos A＝ .因为0＜A＜π，所以A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若a＝1，b＝ ，求c的值. 解：由正弦定理，得 sin B＝ ＝ . 又b＞a，所以B＞A，所以B＝ 或B＝ . ①当B＝ 时，由A＝ ，得C＝ ， 所以c＝ ＝2. ②当B＝ 时，由A＝ ，得C＝ .所以c＝a＝1. 综上可得c＝1或c＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $