7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

7.1.1　数系的扩充和复数的概念 1 1.通过方程的解，了解引进复数的必要性（数学抽象）. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件（逻辑推理）. 课标要求 　　16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5＋ 和5－ ”就可以满足要求. 能作为“数”吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？ 情景导入 知识点一　复数的有关概念 01 知识点二　复数的分类 02 知识点三　复数相等 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 复数的有关概念 01 PART 目 录 问题1　（1）正实数的平方根有两个，0的平方根是0，负实数有平方 根吗？ 提示：在实数范围内，负实数无平方根. （2）我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像 前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 提示：能，我们设想引入一个新数i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x ＝±i. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：我们把形如 （a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫 做虚数单位， 所构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫做 复数集. 2. 表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a 与b分别叫做复数z的 与 ⁠. 　　提醒：（1）i2＝－1；（2）i和实数之间能进行加法、乘法运算. a＋bi　 全体复数　 实部　 虚部　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实 数a＝（　　） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 解析：　复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则 －a＝1，解得a＝－1. C 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且 注意虚部不是bi，而是b. 数学·必修第二册 目 录 训练1　已知复数x＋y＋（2－x）i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和 y的值分别是（　　） A. 2，－4 B. 2，5 C. －2，4 D. －2，5 解析：　由复数x＋y＋（2－x）i的实部和虚部分别为3和4，x， y∈R，可得 解得 故选D. √ 数学·必修第二册 目 录 知识点二 复数的分类 02 PART 目 录 问题2　（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以是实数吗？需满足什么条件？ 提示：可以是实数.当b＝0时，z＝a＋bi（a，b∈R）为实数. （2）如何利用集合关系表示实数集R和复数集C？ 提示：R⫋C. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： 复数 数学·必修第二册 目 录 2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系. 　　提醒：（1）两个虚数不能比较大小；（2）a＝0是复数z＝a＋bi （a，b∈R）为纯虚数的必要不充分条件. 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P69例1）当实数m取什么值时，复数z＝ ＋ （m2－2m）i是下列数？ （1）实数； 解： 当 即m＝2时，复数z是实数. （2）虚数； 解：当 即m≠0且m≠2时，复数z是虚数. 数学·必修第二册 目 录 （3）纯虚数. 解：当 即m＝－3时，复数z是纯虚数. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 解决复数分类问题的方法（步骤） （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形 式，以确定实部和虚部； （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的 条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等 式）即可； （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）：①z为实数⇔b＝ 0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1）若复数z＝（x2－100）＋（x－10）i为纯虚数，则实数x＝ （　A　） A. －10 B. 10 C. 100 D. －10或10 解析： ∵z为纯虚数，∴x2－100＝0同时x－10≠0，∴x＝－10.故 选A. （2）若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值为 ⁠. 解析： ∵z＜0，∴ 解得m＝－3. A －3　 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 复数相等 目 录 问题3　复数z＝a＋bi（a，b∈R）是由其实部a与虚部b唯一确定，若 a＋bi＝2＋3i，那么a，b的值分别是什么？ 提示：a＝2，b＝3. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔ .特别 地，a＋bi＝0⇔ ⁠. a＝c且b＝d　 a＝b＝0　 数学·必修第二册 目 录 【例3】　（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m 的值； 解：由已知得 解得m＝－2. （2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值. 解：因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R， 依题意，得 解得 或 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相 等列方程组求解； （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思 想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（1）若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝ a＋bi的虚部为（　D　） A. －i B. －1 C. 2i D. 2 解析：因为2＋ai＝b－i，a，b∈R，所以a＝－1，b＝2，故复数 z＝a＋bi＝－1＋2i，其虚部为2.故选D. D 数学·必修第二册 目 录 解析： 因为z1＝z2，所以2－ai＝b－1＋2i（a，b∈R），所以 解得 故选D. （2）已知复数z1＝2－ai，z2＝b－1＋2i（a，b∈R，i为虚数单位）， 且z1＝z2，则（　D　） A. a＝－1，b＝1 B. a＝2，b＝－3 C. a＝2，b＝3 D. a＝－2，b＝3 D 数学·必修第二册 目 录 1. 设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（　　） A. －1 B. 1 C. 5 D. 7 解析：　由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和为－1. 故选A. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 设a∈R，1＋a2i＝a＋i（i为虚数单位），则a＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 1或－1 解析：　因为a∈R，1＋a2i＝a＋i，所以有1＝a，a2＝1，即a＝1.故 选C. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关 系为（　　） A. A⫋B⫋C B. B⫋A⫋C C. B⫋C⫋A D. A⫋C⫋B 解析：　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非 纯虚数，因此只有B正确.故选B. √ 数学·必修第二册 目 录 4. 当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i （m∈R）是下列数？ （1）实数； 解： 若z是实数，则m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1. （2）虚数； 解： 若z是虚数，则m2－m－2≠0，解得m≠2且m≠－1. （3）纯虚数. 解： 若z是纯虚数，则 解得m＝－3. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）复数的概念及分类； （2）复数相等的充要条件. 2.应体会 在解决复数问题时，一般根据实部、虚部列出有关方程（组）求解，体 现了方程思想的运用. 3.避易错 复数z＝a＋bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 若z＝a＋（a2－1）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则a的值为 （　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. 1或－1 解析：　若z＝a＋（a2－1）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则a2－1 ＝0，所以a＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 已知2－ai＝b＋3i（a，b∈R）（i为虚数单位），则a＋b＝（　　） A. 5 B. 6 C. 1 D. －1 解析：　依题意b＝2且3＝－a，则a＋b＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 以－ ＋2i的虚部为实部，以 i＋2i2的实部为虚部的新复数是 （　　） A. 2－2i B. － ＋ i C. 2＋i D. ＋ i 解析：　由题意知，复数－ ＋2i的虚部为2，复数 i＋2i2＝ i＋ 2×（－1）＝－2＋ i的实部为－2，则所求的新复数是2－2i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 若z1＝（m2＋m＋1）＋（m－4）i，z2＝3－3i，则“m＝1”是“z1＝ z2”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　若z1＝z2，则 解得m＝1.“所以m＝1”是 “z1＝z2”的充要条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），下列说法中错误的是（　　） A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B. 若z＝3－2i，则a＝3，b＝2 C. 若b＝0，则a＋bi为实数 D. 若a＝b＝0，则z不是复数 解析： 　对于A，当且仅当a＝0，b≠0时，a＋bi为纯虚数，故A中 说法错误；对于B，若z＝3－2i，则a＝3，b＝－2，故B中说法错误；对 于C，若b＝0，则a＋bi为实数，故C中说法正确；对于D，若a＝b＝0， 则z＝0是复数，故D中说法错误.故选A、B、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕下列命题为真命题的是（　　） A. 复数集是实数集与纯虚数集的并集 B. x＝i是方程x2＋1＝0的解 C. 已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0 D. i是－1的一个平方根 解析： 　复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x＝i时， x2＋1＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说明z1，z2都是实 数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i的定义，D为真命题.故 选B、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝ ⁠. 解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，则 所以x＋yi＝2＋i. 2＋i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 若复数z＝m＋（m2－1）i（m∈R）满足z＜0，则m＝ ⁠. 解析：由复数z＝m＋（m2－1）i＜0，得 解得m＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 若复数z＝ sin 2α－（1－ cos 2α）i是纯虚数，则α＝ ⁠ ⁠. 解析：由题意知 sin 2α＝0，1－ cos 2α≠0，∴2α＝2kπ＋π（k∈Z）， ∴α＝kπ＋ （k∈Z）. kπ＋ （k∈Z）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 分别求满足下列条件的实数x，y的值. （1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i； 解： 因为x，y∈R，所以由复数相等的充要条件得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2） ＋（x2－2x－3）i＝0. 解： 因为x∈R，所以由复数相等的充要条件得 即 所以x＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 已知复数z＝a2＋（2a＋3）i（a∈R）的实部大于虚部，则实数a的 取值范围是（　　） A. （－1，3） B. （－∞，－1）∪（3，＋∞） C. （－3，1） D. （－∞，－3）∪（1，＋∞） 解析：　由已知可得a2＞2a＋3，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－ 1，因此，实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（3，＋∞）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n， 且z＝m＋ni，则复数z＝（　　） A. 3＋i B. 3－i C. －3－i D. －3＋i 解析：　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即 解 得 ∴z＝3－i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 已知M＝{1，（m2－2m）＋（m2＋m－2）i}，P＝{－1，1，4i}， 若M∪P＝P，则m＝ ⁠. 解析：∵M∪P＝P，∴M⊆P，∴（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝－1 或（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝4i.由（m2－2m）＋（m2＋m－2）i ＝－1得 解得m＝1；由（m2－2m）＋（m2＋m－2）i ＝4i得 解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2. 1或2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 当实数m为何值时，复数z＝ ＋（m2＋m－6）i是（1）实 数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 解：（1）若z是实数，则 解得m＝2， 所以当m＝2时，z是实数. （2）若z是虚数，则 解得m≠2且m≠－3， 所以当m≠2且m≠－3时，z是虚数. （3）若z是纯虚数，则 解得m＝3或m＝4， 所以当m＝3或m＝4时，z是纯虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2 sin θ＋（ cos θ－2）i（其 中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. （1）若z1为纯虚数，求实数m的值； 解： ∵z1为纯虚数，∴ 解得m＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 解： 由z1＝z2，得 ∴λ＝4－ cos 2θ－2 sin θ＝ sin 2θ－2 sin θ＋3＝（ sin θ－1）2＋2. ∵－1≤ sin θ≤1， ∴当 sin θ＝1时，λmin＝2， 当 sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $