8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间点、直线、平面的位置关系，系统梳理直线间（相交、平行、异面）、直线与平面（内、交、平行）、平面间（平行、相交）的关系。课堂从平面直线位置关系切入，结合教室灯管、机械蜗杆等实例引出空间异面直线，搭建从平面到空间的认知支架。 其亮点是以长方体模型为核心，通过问题驱动（如判断棱的位置关系）和规律总结（反证法、定义法），培养直观想象与逻辑推理素养。例如用反证法证明异面直线，结合正方体辨析线面平行假命题。既助学生构建空间观念，又为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 1 1.了解空间中两直线间的位置关系（直观想象）. 2.理解空间中直线与平面的位置关系（直观想象）. 3.掌握空间中平面与平面的位置关系（直观想象）. 课标要求 在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种.在空间中，情况就不同了.例如，如图所示，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行. 情景导入 知识点一　直线与直线的位置关系 01 知识点二　直线与平面的位置关系 02 知识点三　平面与平面的位置关系 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 直线与直线的位置关系 01 PART 目 录 问题1　如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AB与棱B1C1所在直 线有怎样的位置关系？ 提示：既不平行也不相交. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 异面直线 （1）定义：不同在 平面内的两条直线； （2）异面直线的画法. 任何一个　 数学·必修第二册 目 录 2. 空间两条直线的三种位置关系 　　提醒：异面直线的定义表明两条直线不同在任何一个平面内，不能理 解为分别在两个平面内的两条直线就是异面直线. 数学·必修第二册 目 录 【例1】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中： （1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ⁠； 解析： 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C. （2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ⁠； 解析： 直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内. 平行　 异面　 数学·必修第二册 目 录 （3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ⁠； 解析： 直线D1D与直线D1C相交于点D1. （4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ⁠. 解析： 直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内. 相交　 异面　 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 判断空间两条直线位置关系的诀窍 （1）建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系， 特别关注异面直线； （2）重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直 线的位置关系. 2. 判断异面直线的方法 定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 图象法 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的 直线是异面直线 反证法 判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）已知两条直线均和两条异面直线相交，那么这两条直线的位 置关系为（　C　） A. 相交 B. 异面 解析：分两类进行讨论.①若两条 直线与异面直线的交点有4个， 如图1，直线AB与异面直线a， b分别交于点A，B，直线CD与异面直线a，b分别交于点C，D，那么A，B，C，D四点不可能共面，否则与a，b异面矛盾，故直线AB与CD异面；②若两条直线与异面直线的交点有3个，如图2，两条直线相交. C C. 异面或相交 D. 平行 数学·必修第二册 目 录 （2）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是 （　D　） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行、相交或异面 解析： 可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，CC'，DD'，故a和c可以平行、相交或异面. D 数学·必修第二册 目 录 知识点二 直线与平面的位置关系 02 PART 目 录 问题2　一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？ 提示：相交、平行、在平面内. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 位置关系 直线a 在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有 ⁠公共点 ⁠公 共点 ⁠公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 无数个 有且只有一个　 没有　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（1）若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是 （　B　） A. 直线上所有的点都在平面外 B. 直线上有无数多个点都在平面外 C. 直线上有无数多个点都在平面内 D. 直线上至少有一个点在平面内 解析：直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无 数多个点在平面外. B 数学·必修第二册 目 录 （2）〔多选〕若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中是假命题的 是（　ABC　） A. 若a∥b，b⊂α，则a∥α B. 若a∥α，b∥α，则a∥b C. 若a∥b，b∥α，则a∥α D. 若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面 ABC 数学·必修第二册 目 录 解析：可借助正方体来判断.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB⊂平面 ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，故A是假命题； A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1 与B1C1相交，故B是假命题；AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，故C是假命题；因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所 以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面，故D是真命题. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 直线与平面位置关系的判断 （1）在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽 或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面 放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断； （2）要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内，要证明直线 与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平 行，则必须说明直线与平面没有公共点. 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1）若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关 系是（　D　） A. b∥α B. b与α相交 C. b⊂α D. 以上三种情况都有可能 解析： 若a，b是异面直线，且a∥平面α，则根据空间中线面的位置 关系可得，b∥α，或b⊂α，或b与α相交. D 数学·必修第二册 目 录 （2）在如图所示的正方体ABCD-A'B'C'D'中， ①与AB所在直线平行的平面有 个； ②与A'B所在直线平行的平面有 个. 解析： ①与AB所在直线平行的平面有平面A'B'C'D'和平面DCC'D'； ②与A'B所在直线平行的平面只有平面DCC'D'. 2　 1　 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 平面与平面的位置关系 目 录 问题3　拿出一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌 面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？ 提示：有两种.平行、相交. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 ⁠公共点 有 个公共点（在一条 直线上） 符号表示 ⁠ ⁠ 图形表示 没有　 无数　 α∥β α∩β＝l 数学·必修第二册 目 录 【例3】　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那 么两个平面的位置关系一定是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 不能确定 解析：　如图所示，a⊂α，b⊂β， a∥b.由图形可知，这两个平面可能相 交，也可能平行. C 数学·必修第二册 目 录 变式　本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直 线”，则两平面的位置关系如何？ 解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面.由图知这两个平面可能平行，也可能相交. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 平面与平面位置关系的判断方法 （1）平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点； （2）平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点. 2. 常见的平面与平面平行的模型 （1）棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行； （2）长方体的六个面中，三组相对面平行. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（1）已知α，β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是（　　） A. 平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β B. 平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β C. 若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β D. 平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β 解析：　A，B都不能保证α，β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时，α与β可 能相交，如图2所示；只有D说明α，β一定无公共点，即α∥β. √ 数学·必修第二册 目 录 （2）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什 么位置关系？ 解：因为几何体ABC-A1B1C1为三棱柱， 所以平面ABC与平面A1B1C1平行. 因为平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB， 所以平面ABC与平面ABB1A1相交. 同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交. 数学·必修第二册 目 录 1. “直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　若直线l与平面α没有公共点，那直线l与平面α只能平行，故充 分性成立；若直线l与平面α平行，则直线l与平面α没有公共点，故必要性 也成立，所以“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的充 要条件.故选C. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 〔多选〕两平面α，β平行，a⊂α，则下列四个命题正确的是（　　） A. a与β内的所有直线平行 B. a与β内无数条直线平行 C. a与β至少有一个公共点 D. a与β没有公共点 解析： 　a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行， 有一些是异面，A错误，B正确；根据定义，a与β没有公共点，C错误，D 正确. √ √ 数学·必修第二册 目 录 3. 〔多选〕如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中 点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（　　） √ √ 数学·必修第二册 目 录 解析： 　A中，GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面 GHN，因此直线GH与MN异面；C中，连接GM（图略），则GM∥HN， 因此GH与MN共面；D中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此 GH与MN异面.所以B、D中直线GH与MN是异面直线. 数学·必修第二册 目 录 4. 已知α是一个平面，m，n是两条不同的直线，A是一个点.若m⊄α， n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是 ⁠. 解析：若m⊄α，A∈m，A∈α，则直线m与平面α相交，A为交点.由 n⊂α可知，若A∈n，则m，n相交（垂直是相交的一种特殊情况）；若 A∉n，则m，n异面.　 相交或异面　 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）直线与直线的位置关系； （2）直线与平面的位置关系； （3）平面与平面的位置关系. 2.应体会 分类讨论思想. 3.避易错 异面直线的判定. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 与同一平面平行的两条直线（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面 解析：　与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相 交或异面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面（平面AA1C1C、 平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面 A1B1CD）所在的平面内，与棱AA1平行的平面共有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 解析：　如图所示，结合图形可知AA1∥平面BCC1B1， AA1∥平面DCC1D1，AA1∥平面BB1D1D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 已知空间中两条不重合的直线a，b，则“a与b没有公共点”是 “a∥b”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　“直线a与b没有公共点”表示两条直线a∥b或者a与b是异面 直线，所以“a与b没有公共点”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置 关系是（　　） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能 解析：　可借助长方体来判断.如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交， AB∥A1B1；AD与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相 交；A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 已知点A，B是平面α外的两点，则过点A，B与平面α平行的平面个数 为（　　） A. 0 B. 0或1 C. 1或2 D. 无数个 解析：　当A，B两点在平面α两侧时，不存在这样的平面与α平行；当 A，B两点在平面α同侧时，若直线AB∥平面α，则存在一个平面与平面α平 行，若直线AB与平面α不平行，则不存在与平面α平行的平面.故过点A， B与平面α平行的平面有0或1个. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕下列结论正确的是（　　） A. 若直线a在平面α外，则a∥α B. 若a⊂α，b⊄α，则a，b无公共点 C. 若a⊄α，则a∥α或a与α相交 D. 若a∩α＝A，则a⊄α 解析： 　对A，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相 交，所以a和α不一定平行，故A错误；对B，b⊄α，则b和α可以相交， 故b和a可以相交，故B错误；对C，直线在平面外，则直线和平面相交 或平行，故C正确；对D，a∩α＝A说明直线和平面只有一个交点，故 D正确.故选C、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 〔多选〕以下四个命题中正确的有（　　） A. 两个相交平面把空间分成四部分 B. 若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交” 等价 C. 若P∈l，且l⊂α，则P∈α D. 若n条直线中任意两条共面，则它们共面 解析： 对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有 对. 解析：以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条 边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱 组成2对异面直线，所以共有4×2＝8（对）异面直线. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中CD与GH ，AB 与GH ⁠. 解析：把正方体的展开图还原成正方体，得到如图所示的正方体，由正方体性质得，CD与GH平行，AB与GH异面. 平行　 异面　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，E是PC的中点，连接AE. 求证：AE 与PB是异面直线. 证明：假设AE与PB共面于平面α，连接BE（图略）.因为A∈α，B∈α， E∈α， 所以平面ABE即为平面α，所以P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾， 所以AE与PB是异面直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平 面β的交线，则下列命题正确的是（　　） A. l与l1，l2都相交 B. l与l1，l2都不相交 C. l至少与l1，l2中的一条相交 D. l至多与l1，l2中的一条相交 解析：　由图1可知，A、B错误； 由图2可知，D错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕（2025·开封月考）三个平面将空间分成n个部分，则n可能是（　　） A. 5 B. 6 解析：按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4个部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交， 如图2，可将空间分成6个部分； C. 7 D. 8 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （3）三个平面中没有平行 的平面：①三个平面两两 相交且交线互相平行，如 图3，可将空间分成7个部 分；②三个平面两两相交 且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8个部分；③三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6个部分；综上所述，可以为4，6， 7，8个部分，不能为5个部分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有 ⁠ 条. 解析：如图，取a，b，c为一正方体三条两两异面的棱 AD，CC1，A1B1，在AD上任取一点M，在BC上取点N， 使得B1N∥A1M，设直线B1N与CC1交于点P，PM即与a， b，c都相交，由于M是任取的，故满足条件的直线有无数条. 无 数　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 如图1、图2所示，ABCD-A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别 是D1C1，B1B的中点.试分别画出图1、图2中有阴影的平面与平面ABCD 的交线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解：如图1所示，过点E作EN∥BB1交 CD于点N，连接NB并延长交EF的延 长线于点M，连接AM，则AM即为 有阴影的平面与平面ABCD的交线. 如图2所示，延长DC，过点C1作C1P∥A1B交DC的延长线于点P，连 接BP，则BP即为有阴影的平面与平面ABCD的交线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 如图，已知平面α和β相交于直线l，A∈α，B∈α，C∈β，且A∉l， B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线和l有什么关系？ 证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解：平面ABC与平面β的交线和l相交，证明如下： ∵AB与l不平行，AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线. 设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l. 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β， 即点P是平面ABC与平面β的一个公共点. 又∵点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，且P，C不重合， ∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC. ∵直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线和l相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $