8.5.1 直线与直线平行-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间直线平行，核心内容包括基本事实4、等角定理及利用线线平行判断共面。通过对折长方形纸观察折痕平行导入，衔接初中知识，以正方体中直线平行问题、表格梳理知识、空间四边形中点连线例题为支架，引导学生从平面到空间认知。 其亮点在于以生活情景（折纸）培养数学眼光，通过问题链（如正方体中直线关系）发展逻辑推理，知识梳理用文字、图形、符号语言结合的表格强化数学表达。例题变式（如加AC=BD证菱形）、分层训练助力学生深化转化思想，课堂小结结构化（清单、体会、易错）帮助教师高效教学，提升学生空间观念与推理能力。

8.5.1　直线与直线平行 1 1.理解基本事实4和等角定理（直观想象）. 2.会判断空间两直线的位置关系（逻辑推理）. 课标要求 把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示.我们发现这些折痕互相平行.初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，在空间中，这个结论仍然成立，下面我们将要学习该结论. 情景导入 知识点一　基本事实4 01 知识点二　等角定理 02 知识点三　利用线线平行判断共面 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 基本事实4 01 PART 目 录 问题1　在如图所示的正方体ABCD-A'B'C'D'中，DC∥AB，A'B'∥AB，DC 与A'B'平行吗？由此，你能得到什么结论？ 提示：平行.得到事实：平行于同一条直线的两条直线平行. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 文字语言 平行于同一条直线的两条直线 ⁠ 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒ ⁠ 作用 证明两条直线平行 平行　 a∥c　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　如图所示，在空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC， CD，DA的中点， 所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝ AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形. 数学·必修第二册 目 录 变式　若条件中增加“AC＝BD”，那么四边形EFGH是什么图形？ 解：由题意得EH∥BD，FG∥BD，EH＝FG＝ BD，所以EH∥FG，EH＝FG，因为AC＝BD，则EF＝FG＝GH＝EH，所以四边形EFGH为菱形. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 证明空间两条直线平行的方法 （1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等； （2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直 线在同一平面内；二是两条直线没有公共点； （3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得 a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c. 数学·必修第二册 目 录 训练1　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点.求证：EE1∥FF1. 证明：连接EF，E1F1，A1C1，AC， 由长方体ABCD-A1B1C1D1知，AC􀰿A1C1，因为点E，F 分别是棱AB，BC的中点，所以由三角形中位线定理得 EF􀰿 AC，同理E1F1􀰿 A1C1， 所以EF∥E1F1，且EF＝E1F1，则四边形EFF1E1为平行四 边形，故EE1∥FF1. 数学·必修第二册 目 录 知识点二 等角定理 02 PART 目 录 问题2　在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？ 提示：成立.当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所 示的两种位置. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 定理 文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ⁠ ⁠ 符号 语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB＝∠A'O'B'或∠AOB＋∠A'O'B'＝ 180° 图形 语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 相等 或互补　 数学·必修第二册 目 录 2. 推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别对应 ，那么这 两组直线所成的锐角（或直角）相等. 　　提醒：（1）等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是 基本事实4的直接应用；（2）当这两个角的两边方向分别相同或相反时， 它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补. 平行　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱 CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E. 证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝ BB1， 因为G为DD1的中点，所以D1G＝ DD1. 又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G. 所以四边形D1GBF为平行四边形. 所以D1F∥GB，同理D1E∥GC. 又∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 空间角相等的证明方法 （1）等角定理是较常用的方法，等角定理的结论是相等或互补，在实 际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都 有可能； （2）转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明. 数学·必修第二册 目 录 训练2　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是 AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 数学·必修第二册 目 录 证明：如图所示，连接B1C. 因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以FG∥B1C. 又ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以CD∥AB， A1B1∥AB， 由基本事实4知CD∥A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四 边形，所以A1D∥B1C. 又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG. 同理可证A1C1∥GE，DC1∥FE. 又∠DA1C1与∠FGE，∠A1DC1与∠GFE，∠DC1A1与∠FEG的两条边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠FGE，∠A1DC1＝∠GFE，∠DC1A1＝∠FEG. 所以△EFG∽△C1DA1. 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 利用线线平行判断共面 目 录 【例3】　如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，G分别是AD，CD上的点，满足 ＝ .求证：E，F，G，H四点共面. 证明：如图，连接AC， ∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC. 在△ADC中，∵ ＝ ，∴GH∥AC，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H四点共面. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直 线平行. 数学·必修第二册 目 录 训练3　如图，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝ ∠FAB＝90°，BC􀰿 AD，BE􀰿 AF，G，H分别是FA，FD的中点. （1）证明：四边形BCHG是平行四边形； 解：证明：由题意知，FG＝GA，FH＝HD， 所以GH􀰿 AD， 又BC􀰿 AD，故GH􀰿BC， 所以四边形BCHG是平行四边形. 数学·必修第二册 目 录 （2）C，D，E，F四点是否共面？为什么？ 解：C，D，F，E四点共面. 理由如下： 由BE􀰿 AF，G是FA的中点知，BE􀰿GF， 所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG， 由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面. 又点D在直线FH上， 所以C，D，E，F四点共面. 数学·必修第二册 目 录 1. 空间中两条互相平行的直线指的是（　　） A. 空间中没有公共点的两条直线 B. 分别在两个平面内的两条直线 C. 在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则 长方体的各棱中与EF平行的有（　　） A. 3条 B. 4条 C. 5条 D. 6条 解析：EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别对应平行.若α＝60°，则β ＝ ⁠. 解析：因为角α与β两边分别对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互 补，故β＝60°或120°. 60°或120°　 数学·必修第二册 目 录 4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中 点，求证：CM∥A1N. 数学·必修第二册 目 录 证明：如图，取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则 A1P＝ A1D1. 又N为B1C1的中点，B1C1􀰿A1D1，所以C1N∥PA1，且 C1N＝PA1，所以四边形PA1NC1为平行四边形，所以 A1N∥C1P. 又由PM􀰿DD1􀰿CC1，得四边形PMCC1为平行四边形，所以C1P∥CM. 所以CM∥A1N. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）基本事实4； （2）等角定理； （3）利用线线平行判断共面. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 用等角定理时，角有可能相等或互补. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关 系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定 解析：　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中，与棱AB 平行的条数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：　如图，连接CF，C1F1，与棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5条. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB 与CD的位置关系是（　　） A. 平行 B. 异面 C. 相交或平行 D. 平行或异面或相交均有可能 解析：　如图所示，可知 AB，CD有平行，异面，相交三种情况.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，E是PD的 中点，点F在PC上且PF＝ PC，点G在PB上且PG＝ PB，则（　　） A. AG＝3EF，且AG与EF平行 B. AG＝3EF，且AG与EF相交 C. AG＝2EF，且AG与EF平行 D. AG＝2EF，且AG与EF异面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　取CF的中点H，连接DH，GH（图略），则在△PBC中， ＝ ＝ ，所以GH∥BC，且GH＝ BC＝2.又因为AD∥BC且AD＝2，所 以GH∥AD，且GH＝AD，所以四边形ADHG为平行四边形，所以 AG∥DH，且AG＝DH. 在△PDH中，因为E，F分别为PD和PH的中 点，所以EF∥DH，且EF＝ DH，所以EF∥AG，且EF＝ AG，即AG＝ 2EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一 点O，且 ＝ ＝ ＝ ，则 ＝（　　） A. B. √ C. D. 解析：如题图， ＝ ＝ ＝ ，可证AB∥A'B'， AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'， ∴△ABC∽△A'B'C'，∴ ＝ ，∴ ＝ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是（　　） A. l与AD平行 B. l与AD相交 C. l与AC平行 D. l与BD平行 解析：　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行；又l在上底面中，AD在下底面中，故l与 AD无公共点，故l与AD不相交；C、D可以成立. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 〔多选〕如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥ DE. 设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则（　　） A. PQ＝ MN B. PQ∥MN C. M，N，P，Q四点共面 D. 四边形MNPQ是梯形 解析：由题意知PQ＝ DE，且DE≠MN，所以PQ≠ MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B、C、D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是 ⁠. 解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，所以 ∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所 以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等. ∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为 ⁠. 解析：由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方 体，如图所示.分别取AB，AA1的中点Q，P，连接 EP，FQ，PQ，A1B，由正方体的结构特征可得 EF∥PQ，又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1， A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，故 PQ∥HG，所以EF∥GH. 平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由. 解：如图所示，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1， 交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求. 理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1， 所以EF∥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝ 4，BD＝6，则（　　） A. 1＜MN＜5 B. 2＜MN＜10 C. 1≤MN≤5 D. 2＜MN＜5 解析：　取AD的中点H，连接MH，NH（图略），则MH∥BD，且 MH＝ BD＝3，NH∥AC，且NH＝ AC＝2，且M，N，H三点构成三角 形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN ＜5.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕如图，在四面体A-BCD中，M，N，P，Q，E分别是 AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是（　　） A. M，N，P，Q四点共面 B. ∠QME＝∠DBC C. △BCD∽△MEQ D. 四边形MNPQ为梯形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　对于A选项，由基本事实4易得MQ∥NP，所以M，N，P， Q四点共面，故A正确；对于B选项，根据等角定理，得∠QME＝ ∠DBC，故B正确；对于C选项，由等角定理，知∠QME＝∠DBC， ∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C正确；对于D选项，由三角 形中位线的性质知MQ∥BD，MQ＝ BD，NP∥BD，NP＝ BD，所以 MQ􀰿NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点， F，G分别是CB，CD上的点，且 ＝ ＝ ，若BD＝6，四边形EFGH 的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为 ⁠. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝ BD＝3，又 ∵ ＝ ＝ ，∴GF∥BD且GF＝ BD＝4，由基本事实4知，EH∥GF， ∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的 高，设高为h，四边形EFGH的面积为28，即 ＝28，得h＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证： （1）D1E∥BF； 证明：如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M. 在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1， 因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1， EM＝C1D1，所以四边形EMC1D1为平行四边形， 所以D1E∥MC1.在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F， 所以四边形MBFC1为平行四边形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）∠B1BF＝∠A1ED1. 证明：因为D1E∥BF，BB1∥EA1， 且∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同， 所以∠B1BF＝∠A1ED1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点， DN∥BC，DN与EF相交于点M. 将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到 C'D'的位置，G，H分别为AD'和BC'的中点，求证： （1）四边形EFGH为平行四边形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 证明：因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， 所以EF∥AB，且EF＝ （AB＋CD），又C'D'∥EF，EF∥AB，所以 C'D'∥AB. 因为G，H分别为AD'，BC'的中点， 所以GH∥AB，且GH＝ （AB＋C'D'）＝ （AB＋CD）， 所以GH􀰿EF，所以四边形EFGH为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）∠C'EB＝∠D'MN. 证明：因为折叠前DN∥BC，且 DM∥CE，MN∥EB，所以折叠后 D'M∥C'E，MN∥EB， 所以∠C'EB与∠D'MN的对应边平行 且方向相同，所以∠C'EB＝∠D'MN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $