9.2.4 总体离散程度的估计-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦总体离散程度的估计，核心知识点包括方差、标准差、分层随机抽样的方差及综合应用。课堂通过射击运动员成绩实例，从集中趋势无法区分数据波动入手，搭建集中与离散趋势的知识联系支架。 其亮点在于以实例驱动教学，通过射击、机床加工等案例引导学生用数学眼光观察数据波动，公式推导与分层抽样计算培养数学思维，统计图表分析强化数学语言表达。小结系统梳理知识，助力学生提升数据分析能力，为教师提供完整教学方案。

9.2.4　总体离散程度的估计 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）（数据分析）. 2.理解离散程度参数的统计含义（数学运算）. 课标要求 　　平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策.这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识. 情景导入 知识点一　方差、标准差 01 知识点二　分层随机抽样的方差 02 知识点三　方差、标准差与统计图表的综合应用 03 目录 课时作业 04 知识点一 方差、标准差 01 PART 目 录 问题　有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数 如下： 甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4 乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7 （1）你能用平均数、中位数、众数对甲、乙两位运动员的射击情况作出 评价吗？ 提示：计算可得甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是 7，两名运动员没有差别. 数学·必修第二册 目 录 （2）如图，是甲、乙两人成绩的频率分布条形图，据图你又有什么发现？ 提示：从图上看，甲的成绩比较分散，乙的成绩比较集中. 数学·必修第二册 目 录 （3）你还有其他方法说明甲、乙两人的射击情况有差异吗？ 提示：①利用极差：根据甲、乙两人的射击成绩可以得到甲命中环数 的极差＝10－4＝6，乙命中环数的极差＝9－5＝4.可以发现甲的成绩 波动范围比乙的大.②利用“平均距离”：我们知道，如果射击的成绩 很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射 击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远. 因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距 离”来度量成绩的波动幅度. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 平均距离：假设一组数据是x1，x2，…，xn，用 表示这组数据的平均 数.我们用每个数据与平均数的差的 作为“距离”，即｜xi－ ｜（i＝1，2，…，n）作为xi到 的“距离”.可以得到这组数据x1， x2，…，xn到 的“平均距离”为 ｜xi－ ｜. 绝对值　 数学·必修第二册 目 录 2. 方差、标准差：绝对值改用平方来代替，即 （xi－ ）2＝ 　 ，我们称为这组数据的 .取它的算术平方根，即 ，我们称为这组数据的 ⁠. － 　 方差　 标准差　 数学·必修第二册 目 录 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 ， 则称S2＝ 　 （Yi－ ）2　为总体方差，S＝ 　 　为总体标准差. 加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨 记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则总 体方差为S2＝ ⁠. （Yi－ ）2　 　 fi（Yi－ ）2　 3. 总体方差、总体标准差 数学·必修第二册 目 录 4. 样本方差和标准差：如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…， yn，样本平均数为 ，则称s2＝ 为样本方差，s ＝ 为样本标准差. 5. 标准差的意义：标准差刻画了数据的 或 ，标 准差越大，数据的离散程度越 ；标准差越小，数据的离散程度 越 ⁠. （yi－ ）2 　 离散程度　 波动幅度　 大　 小　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从 中各抽取6件测量，数据如下： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 （1）分别计算两组数据的平均数及方差； 数学·必修第二册 目 录 解： ＝ ×（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100， ＝ ×（99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100. ＝ ×[（99－100）2＋（100－100）2＋（98－100）2＋（100－100）2 ＋（100－100）2＋（103－100）2]＝ ， ＝ ×[（99－100）2＋（100－100）2＋（102－100）2＋（99－100）2 ＋（100－100）2＋（100－100）2]＝1. （2）根据计算结果，判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 解： 两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 ＞ ，所以乙 机床加工零件的质量更稳定. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 计算方差常用公式 （1）定义法：s2＝ [（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2]； （2）简化法：s2＝ [（ ＋ ＋…＋ ）－n ]. 数学·必修第二册 目 录 2. 具有线性关系的数据的平均数和方差 若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数 据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为 和s2，那么y1，y2，…，yn的平 均数为a ＋b，方差为a2s2，标准差为｜as｜. 特别地，若yi＝xi±b，则y1，y2，…，yn的平均数为 ±b，方差为s2， 标准差为s； 若yi＝kxi，则y1，y2，…，yn的平均数为k ，方差为k2s2，标准差为｜ ks｜. 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那 么这组数据的标准差是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　由s2＝ － ，得s2＝ ×100－32＝1，∴s＝1. （2）（2025·开封月考）一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得 一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，求原来数据的平 均数和方差. √ 数学·必修第二册 目 录 解：法一　设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80，所以 ＝1.2，所以 ＝1.2，则原来数据的平均数为 ＝40.6. [（2x1－80－1.2）2＋（2x2－80－1.2）2＋…＋（2xn－80－1.2）2]＝4.4，即 [（2x1－81.2）2＋（2x2－81.2）2＋…＋（2xn－81.2）2]＝4.4，则原来数据的方差为 [（x1－40.6）2＋（x2－40.6）2＋…＋（xn－40.6）2]＝ [（2x1－81.2）2＋（2x2－81.2）2＋…＋（2xn－81.2）2] ＝ ×4.4＝1.1. 数学·必修第二册 目 录 法二　设原数据的平均数为 ，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再 都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2 －80，方差为22s2，由题 意得 解得 数学·必修第二册 目 录 知识点二 分层随机抽样的方差 02 PART 目 录 【知识梳理】 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为 ，方差为s2； 第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为 ，方差为t2.则 ＝ xi， s2＝ （xi－x）2， ＝ yi，t2＝ （yj－ ）2.若记样本平均数 为 ，样本方差为b2，则可以算出 ＝ （ xi＋ yi）＝ ， b2＝ ＝ ［（ms2＋nt2）＋ （ － ）2］. 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P213 例6）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体 重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为 300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队 员的平均体重和方差分别是多少？ 数学·必修第二册 目 录 解：由题意可知 ＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为 w甲＝ ＝ ， ＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝ ＝ ， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为 ＝w甲 ＋w乙 ＝ ×60＋ ×70＝68（kg）， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝w甲[＋（ － ）2]＋w乙[＋（ － ）2] ＝ [200＋（60－68）2]＋ [300＋（70－68）2]＝296. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为 ， ，…， ，方差分别为 ， ，…， ，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为 s2＝ wi[＋（ － ）2]（ 为总样本平均数）. 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1）（2025·温州月考）在高一期中考试中，甲、乙两个班的数 学成绩统计如表： 班级 人数 平均分数 方差 甲 30 2 乙 20 3 其中 ＝ ，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（　D　） A. 2.2 B. 2.6 C. 2.5 D. 2.4 D 数学·必修第二册 目 录 解析： 由题意知，甲、乙两个班数学成绩的平均数为 ＝ ＝ ， 则两个班数学成绩的方差为s2＝ [2＋（ － ）2]＋ [3＋（ － ）2]＝ ＋ ＝2.4.故选D. 数学·必修第二册 目 录 （2）某高校新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30 人，乙班40人，在2025年高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为 131，乙班学生的平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2025年 高考中的方差为 ⁠. 解析： 由题意得甲班学生成绩的平均数 ＝665，方差 ＝131，乙 班学生成绩的平均数 ＝658，方差 ＝208，则总体平均数 ＝ ＋ ＝661，方差s2＝ ×[131＋（665－661）2]＋ ×[208＋（658－ 661）2]＝187. 187　 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 方差、标准差与统计图表的综合应用 目 录 【例3】　甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）的频数条形统 计图如图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差 ， ， 的大小关系 是（　　） A. ＜ ＜ B. ＜ ＜ C. ＜ ＜ D. ＜ ＜ √ 数学·必修第二册 目 录 解析： 　方差表示数据稳定程度，越稳定方差越小，丙的成绩集中在6 环，乙的成绩平均分散，甲的成绩分散在两边，所以丙的成绩最稳定，方 差最小；甲的成绩最不稳定，方差最大，所以 ＜ ＜ . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 　　根据统计图表确定方差（标准差）的大小关系的两个方法 （1）根据统计图表中所提供的数据与方差（标准差）的计算公式求出其 数值，然后比较大小； （2）若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为繁琐，可根据统计 图表所反映的数据的波动性大小来比较大小. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（2025·周口月考）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试中的成绩统计如图，则下列说法错误的是（　　） A. 若甲、乙两组数据的平均数分别为 ， ， 则 ＞ B. 若甲、乙两组数据的方差分别为 ， ，则 ＞ C. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D. 甲成绩比乙成绩稳定 √ 数学·必修第二册 目 录 解析：　对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成 绩，A正确；对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳 定，所以 ＜ ，B错误；对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙 成绩的极差，C正确；对于D，甲成绩比乙成绩稳定，D正确. 数学·必修第二册 目 录 1. 下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（　　） A. 极差 B. 平均数 C. 方差 D. 标准差 解析：　易知A、C、D都能反映样本数据的分散程度、波动情况. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为 （　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析：　数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，则数据2x1，2x2，…，2x9的 方差为22s2＝8.故选D. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 张华和李明两名同学参加数学竞赛的预选赛，他们分别同时进行了5次 模拟测试，测试成绩如表（单位：分）： 张华 100 80 90 90 90 李明 100 100 70 90 90 如果希望在张华、李明两人中选发挥比较稳定的1人入选，则入选的人应 是 ⁠. 张华　 数学·必修第二册 目 录 解析：张华成绩的平均分为 ＝ ＝90，方差为 ＝ ＝40，李明成绩的平均分为 ＝ ＝90，方 差为 ＝ ＝120，因为 ＜ ，所以张华、李明两人中发 挥比较稳定的是张华，故入选的人应是张华. 数学·必修第二册 目 录 4. 某校为调查高三年级的体育成绩情况，随机调查了高三（1）班10名学 生，体育成绩平均分是90，方差是3；高三（2）班15名学生，体育成绩平 均分是85，方差是5，则这25名学生体育成绩的方差为 ⁠. 解析：由题意可知，这25名学生体育成绩的平均数为 ＝ ＝ 87，所以这25名学生体育成绩的方差为s2＝ ×[3＋（90－87）2]＋ ×[5＋（85－87）2]＝10.2. 10.2　 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）方差、标准差； （2）分层随机抽样的方差； （3）方差、标准差与统计图表的综合应用. 2.应体会 数据统计、数据分析. 3.避易错 方差、标准差易混淆. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都 是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛 中，发挥更稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙相同 D. 不能确定 解析：　因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于 乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第二册 目 录 2. （2025·莆田月考）有一农场在同一块稻田中种植一种水稻，连续8年 的亩产量（单位：kg）如下：450，430，460，440，450，440，470， 460，则其方差为（　　） A. 120 B. 80 解析：　因为连续8年的亩产量的平均数为 ×（450＋430＋460＋440＋ 450＋440＋470＋460）＝450，所以其方差为 ×[（450－450）2＋（430 －450）2＋（460－450）2＋（440－450）2＋（450－450）2＋（440－ 450）2＋（470－450）2＋（460－450）2]＝150. √ C. 15 D. 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 3. （2025·广州月考）若一组10个数据a1，a2，…，a10的平均数为3，方 差为6，则 ＋ ＋…＋ ＝（　　） A. 50 B. 100 解析：　由题意可知，这10个数据的平均数为 ＝ ai＝3，方差为s2 ＝ （ai－ ）2＝ （ －10 ）＝ （ －90）＝6，解得 ＋ ＋…＋ ＝ ＝150. C. 150 D. 200 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 4. 已知样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所 示，则标准差最大的是（　　） √ 解析：　选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样 本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4， 4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8， 故标准差最大的是D. 也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从 题图中可以看出D中的数据波动最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 5. 如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数为5，方差为 ，去 除x9，x10这两个数据后，平均数为 ，方差为 ，则（　　） A. ＞5， ＞ B. ＜5， ＜ C. ＝5， ＜ D. ＝5， ＞ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 解析：　由题意可得， xi＝5，x9＝1，x10＝9，则 xi＝50，故 ＝ xi＝ （ xi－x9－x10）＝ （50－1－9）＝5，因为x9，x10是波动 幅度最大的两个点的值，所以去除x9，x10这两个数据后，整体波动幅度减 小，故 ＞ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕（2025·金华月考）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为6， 方差为1，则关于新数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说法正确的是 （　　） A. 这组新数据的平均数为6 B. 这组新数据的平均数为9 C. 这组新数据的方差为1 D. 这组新数据的方差为4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 解析： 　由题意得：x1＋x2＋…＋xn＝6n，（x1－6）2＋（x2－6）2 ＋…＋（xn－6）2＝n，则 ＝ ＝9， ＝ ＝4，所以这组新数据的平均数为 9，方差为4.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 7. 〔多选〕春节7天假期期间，高速公路免费通行.如图是某部门统计的甲、乙两个收费站在第n天的通行车辆数量统计图，则下列结论正确的是（　　） A. 甲收费站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数 B. 甲收费站通行车辆数的极差大于乙收费站通行车辆数的极差 C. 甲收费站通行车辆数的中位数大于乙收费站通行车辆数的中位数 D. 甲收费站通行车辆数的方差大于乙收费站通行车辆数的方差 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 解析：对于A，甲收费站的平均通行车辆数为 ≈1 371，乙收费站的平均通行车辆数为 ≈1 343，故甲收费站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数，故A正确；对于B，甲收费站通行车辆数的极差为2 000－800＝1 200，乙收费站通行车辆数的极差为1 800－800＝1 000，故B正确；对于C，甲收费站通行车辆数为800，1 200，1 200，1 200，1 600，1 600，2 000，中位数为1 200，乙收费站通行车辆数为800，800，1 200，1 600，1 600，1 600，1 800，中位数为1 600，故C错误；对于D，通过方差公式计算甲、乙收费站通行车辆数的方差，可以判 断甲收费站通行车辆数的方差小于乙收费站通行车辆数的方差，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 8. 某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周 的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为 115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生方差 为 ⁠. 265　 解析：依题意 ＝130， ＝115， ＝110， ＝215，∴ ＝ ×130＋ ×110＝115（分），∴全班学生成绩的方差为s2＝ [ ＋（ － ）2]＋ [＋（ － ）2]＝ ×（115＋225）＋ ×（215＋25）＝85＋180＝265. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 9. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数 据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为 ，方差为s2，则 ＝ ，s2＝ ⁠. 解析：设这10个数据分别为：x1，x2，…，x7，x8＝4，x9＝5，x10＝6，根据题意 ＝5⇒x1＋x2＋…＋x7＝35， ＝2⇒（x1－5）2＋（x2－5）2＋…＋（x7－5）2＝14，所以 ＝ ＝ ＝5，s2＝ ＝ ＝1.6. 5　 1.6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 10. （2025·江门模拟）某果园试种了 A，B两个品种的桃树各10棵，并 在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各 10棵产量的平均数分别为 和 ，方差分别为 和 . A（单位/kg） 60 50 40 60 70 80 70 30 50 90 B（单位/kg） 40 60 50 80 80 50 60 20 80 70 （1）分别求这两个品种产量的极差和中位数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 解：这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30，40，50，50，60， 60，70，70，80，90， 这10棵A品种桃树产量的极差为90－30＝60，中位数为 ＝60， 这10棵B品种桃树产量从小到大分别为20，40，50，50，60，60，70， 80，80，80， 这10棵B品种桃树产量的极差为80－20＝60，中位数为 ＝60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 （2）求 ， ， ， ； 解： ＝ ×（30＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋70＋80＋90）＝60， ＝ ×（20＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋80＋80＋80）＝59， ＝ ×[（30－60）2＋（40－60）2＋（50－60）2＋（50－60）2＋（60 －60）2＋（60－60）2＋（70－60）2＋（70－60）2＋（80－60）2＋（90 －60）2]＝300， ＝ ×[（20－59）2＋（40－59）2＋（50－59）2＋（50－59）2＋（60 －59）2＋（60－59）2＋（70－59）2＋（80－59）2＋（80－59）2＋（80 －59）2]＝349. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 （3）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选 种哪个品种更合适，并说明理由. 解：由（1）可知这两个品种极差和中位数都相等，由（2）可知 ＞ ， ＜ ， 则A品种桃树平均产量高，波动小，所以应该选种A品种桃树. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 11. 在某市高三第一次诊断性考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回 归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是 班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（　　） A. 平均分变大，方差不变 B. 平均分变小，方差不变 C. 平均分不变，方差变大 D. 平均分不变，方差变小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 解析：设该班原有n位同学，数学成绩记为a1，a2，a3，…，an，原平均分 ＝ ，原方差 ＝ ，该同学回归校园后新平均分 ＝ ＝ ＝ ，即平均分不变.该同学回归校园后新方差 ＝ ＝ ＝ ＜ ，即方差变小.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一 段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑 似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似 病例数据信息. 甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：平均数为2，众数为2； 丙地：平均数为1，方差大于0； 丁地：平均数为2，方差为2.6. 则一定符合该标志的是（　　） A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 解析： 　对于A选项，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大 于2＋5＝7，故A正确；对于B选项，若乙地过去10日每天新增疑似病例分 别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足平均数为2，众数为2，但不 满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误；对于C选项，若丙地过去10 日每天新增疑似病例分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足平均 数为1，方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误；对 于D选项，若至少有一天疑似病例超过7人，则必有方差s2＞ ×（8－2） 2＝3.6＞2.6，与条件方差为2.6矛盾，故过去10日，每天新增疑似病例不 超过7人，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 13. 某校高二年级有男生400人和女生600人，为分析期末物理调研测试成 绩，按照男女比例通过分层随机抽样的方法取到一个样本，样本中男生的 平均成绩为80分，方差为10，女生的平均成绩为60分，方差为20，由此可 以估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为 ⁠. 解析：由400∶600＝2∶3，不妨设样本由男生2人（x1，x2）和女生3人 （y1，y2，y3）组成.由题设得 （x1＋x2）＝80，即x1＋x2＝160； （y1 ＋y2＋y3）＝60，即y1＋y2＋y3＝180，所以样本的平均分 ＝ ×（160＋ 180）＝68，样本的方差s2＝ ×[10＋（80－68）2]＋ ×[20＋（60－ 68）2]＝112，即估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为112. 112　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 14. 某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调 研工作，依据住户情况对近一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计 如下： 住户编号 1 2 3 4 5 6 A小区 （分钟） 220 180 210 220 200 230 B小区 （分钟） 200 190 240 230 220 210 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 （1）分别计算A、B两个小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和 方差； 解： ＝ ×（220＋180＋210＋220＋200＋230）＝210（分钟）， ＝ ×（200＋190＋240＋230＋220＋210）＝215（分钟）， ＝ ×[（220－210）2＋（180－210）2＋（210－210）2＋（220－210） 2＋（200－210）2＋（230－210）2]＝ ， ＝ ×[（200－215）2＋（190－215）2＋（240－215）2＋（230－215） 2＋（220－215）2＋（210－215）2]＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 （2）假设A小区有1 000户，为更好地进行生活垃圾分类，市环卫局与A 小区物业及住户协商，初步实施下列方案： 方案一：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位 住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错，每位工作人员的月工资按照 3 000元（按照28天计算标准）计算； 方案二：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人 员进行生活垃圾分类，一位专职人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普 通居民对生活垃圾分类的效果，每位专职人员（每天工作8小时）的月工 资按照4 000元（按照28天计算标准）计算. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 ①若选择方案一，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费 是多少？ ②若选择方案二，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费 是多少？ ③试分析哪个方案的惠民力度大，更值得推广. 解：①A小区一个月至少需要1 000÷200＝5位工作人员进行检查和 纠错，其费用是5×3 000＝15 000（元）， 每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为 ＝15（元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 ②由（1）知，A小区平均每位住户每周需要210分钟进行生活垃圾分类， 则A小区全部住户一个月平均需要210×4×1 000＝840 000（分钟）进行生 活垃圾分类，则A小区一个月至少需要专职人员 ≈16（位）， 则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为 ＝64（元）. ③按照每位住户每个月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择方案一惠民 力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；对于高档小区的居民， 可以选择方案二，这只是方便个别高收入住户. 综上，方案一的惠民力度大，更值得推广. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册 目 录 $