10.2 第2课时 相互独立事件概率的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦相互独立事件概率的应用，通过奥运知识问答、射击等实例导入，衔接事件独立性定义，搭建从乘法公式应用到综合问题解决的学习支架，帮助学生逐步掌握复杂概率计算。 其亮点在于融合数学抽象与数学运算核心素养，通过乒乓球比赛、体质健康测试等真实情境，引导学生用数学眼光分析事件关系，结合统计图表培养数据观念。规律方法总结系统，助力学生提升逻辑推理能力，教师教学可依托分层例题与训练实现高效授课。

第二课时　相互独立事件概率的应用 1 1.进一步掌握事件相互独立的定义（数学抽象）. 2.会求较为复杂相互独立事件的概率（数学运算）. 课标要求 知识点一　相互独立事件乘法公式的应用 01 知识点二　相互独立事件的综合应用 02 提能点　统计与事件相互独立性的综合应用 03 目录 课时作业 04 3 知识点一 相互独立事件乘法公式的应用 01 PART 目 录 【例1】　在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有 关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是 ，甲、乙两人都回答错 误的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 .设每人回答问题正确与 否相互独立. （1）求乙答对这道题的概率； 数学·必修第二册 目 录 解： 记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C， 设乙答对这道题的概率P（B）＝x， 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立 事件. 由题意，并根据事件的独立性定义， 得P（ ）＝P（ ）P（ ）＝（1－ ）×（1－x）＝ ，解得x＝ ， 所以乙答对这道题的概率为P（B）＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 解： 设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M， 设丙答对这道题的概率P（C）＝y. 由（1），并根据事件的独立性定义，得P（BC）＝P（B）P（C）＝ ×y＝ ，解得y＝ .甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P（ ）＝P（ ）P（ ）P（ ）＝（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ . 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至 少有一人答对这道题”是对立事件， 所以所求事件概率为P（M）＝1－ ＝ . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤 （1）用恰当的字母表示题中有关事件； （2）根据题设条件，分析事件间的关系； （3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积 之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）； （4）利用乘法公式计算概率. 数学·必修第二册 目 录 训练1　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 .假设两人 是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也 没有影响. （1）求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； 解： 记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”， 依题意知事件A和事件B相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P（AB）＝P（A）P（B） ＝ × ＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率. 解：记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”（其中i＝1，2，3，4）， 并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C， 则C＝A1A2A3 ∪ A2A3A4，且A1A2A3 与 A2A3A4是互斥事件， 由于A1，A2，A3，A4之间相互独立， 所以Ai与 （i，j＝1，2，3，4，且i≠j）之间也相互独立. 由于P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（A4）＝ ， 故P（C）＝P（A1A2A3 ∪ A2A3A4）＝P（A1）P（A2）P（A3） P（ ）＋P（ ）P（A2）·P（A3）P（A4）＝（ ）3× ＋ × （ ）3＝ . 数学·必修第二册 目 录 知识点二 相互独立事件的综合应用 02 PART 目 录 【例2】　一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分， 否则得0分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题 能答对的概率分别为p， ， ，且每道题答对与否相互独立. （1）当p＝ 时，求考生填空题得20分的概率； 解： 设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，C. 考生填空题得20分的概率为P（A）＝ × × ＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值. 解： P（B）＝p× ×（1－ ）＋p×（1－ ）× ＋（1－p）× × ＝ p＋ ， P（C）＝p×（1－ ）×（1－ ）＋（1－p）× ×（1－ ）＋（1－ p）×（1－ ）× ＝ － p. 由P（B）＝P（C），解得p＝ . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 求较复杂事件的概率的一般步骤 （1）列出题中所涉及的各个事件，并且用适当的符号表示； （2）厘清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独 立），列出关系式； （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对 立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 数学·必修第二册 目 录 训练2　11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每 球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.已知甲、乙两位同 学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，假设甲发球时甲 得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立. （1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率； 解： 设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2， 3，…），又打了X个球比赛结束， 则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（ ）＝P（A1）·P（A2）＋P （ ）P（ ）＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. 数学·必修第二册 目 录 （2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率. 解： P（X＝4且甲获胜）＝P（A1 A3A4）＋P（ A2A3A4） ＝P（A1）P（ ）P（A3）P（A4）＋P（ ）P（A2）·P（A3）P （A4） ＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1. 数学·必修第二册 目 录 03 PART 提能点 统计与事件相互独立性的综合应用 目 录 【例3】　某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这 100人去年可支配收入（单位：万元）均在区间[4.5，10.5]内，按[4.5， 5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5），[7.5，8.5），[8.5，9.5）， [9.5，10.5]分成6组，所得频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配 收入数据的第60百分位数为8.1. （1）求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； 数学·必修第二册 目 录 解： 由频率分布直方图，可得 0.05＋0.12＋a＋b＋0.2＋0.08＝1， 则a＋b＝0.55，　① 因为居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1， 所以0.05＋0.12＋a＋（8.1－7.5）×b＝0.6， 则a＋0.6b＝0.43，　② 将①与②联立，解得 所以平均值为0.05×5＋0.12×6＋0.25×7＋0.3×8＋0.2×9＋0.08×10 ＝7.72. 数学·必修第二册 目 录 （2）在这100位居民中随机抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不 影响，求抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率. 解：根据题意，设事件A，B，C分别表示甲、乙、丙在[7.5，8.5） 内，则P（A）＝P（B）＝P（C）＝0.3. ①“抽取的3人中有2人在[7.5，8.5）内”为事件AB ∪A C∪ BC， 且AB 与A C与 BC两两互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独 立的定义，得 P1＝P（AB ∪A C∪ BC） ＝0.3×0.3×（1－0.3）＋0.3×（1－0.3）×0.3＋（1－0.3） ×0.3×0.3＝0.189. 数学·必修第二册 目 录 ②“抽取的3人中有3人在[7.5，8.5）内”为事件ABC，由相互独立的定 义，得 P2＝P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝0.3×0.3×0.3＝0.027. 所以抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率为 P1＋P2＝0.189＋0.027＝0.216. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 求统计与事件相互独立性综合问题的步骤 （1）由统计图表及文字叙述厘清问题中所涉及的事件和对应该事件的数 据，并用字母表示； （2）研析各事件的相互关系（互斥、对立、相互独立）以及和事件、积 事件等； （3）利用事件间的关系及相应的概率公式求解. 　　提醒：（1）注意公式的正用和逆用；（2）只有明确了两事件具有的 关系后，才能使用相应的概率公式. 数学·必修第二册 目 录 训练3　某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测 试.现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据按照《国家学生 体质健康标准》整理成表.规定：总分≥60，体质健康为合格. 等级 总分 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 [90，100] 5 91.3 2 91 良好 [80，89.9] 4 83.9 4 84.1 及格 [60，79.9] 8 70 11 70.2 不及格 60以下 3 49.6 3 49.1 总计 — 20 — 20 — 数学·必修第二册 目 录 （1）从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康等级是合格的 概率； 解： 样本中体质健康等级是合格的学生人数为5＋2＋4＋4＋8＋11＝ 34， 样本总数为20＋20＝40， 所以这名学生体质健康等级是合格的概率为 ＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康 等级是优秀的概率. 解： 设事件A为“从男生样本中随机选出一人，其体质健康等级是优 秀”，事件B为“从女生样本中随机选出一人，其体质健康等级是优 秀”， 则P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ . 因为A，B为相互独立事件，所以所求概率为 P（A ＋ B）＝P（A ）＋P（ B）＝P（A）[1－P（B）]＋[1－ P（A）]P（B）＝ ×（1－ ）＋（1－ ）× ＝ . 数学·必修第二册 目 录 1. 甲射击命中目标的概率是 ，乙命中目标的概率是 ，丙命中目标的概 率是 ，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：　若三人均未击中目标，则概率为 × × ＝ ，所以目标被击 中的概率为P＝1－ ＝ .故选D. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的 题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道 题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为（　　） A. 0.7 B. 0.91 C. 0.973 D. 0.981 解析：　由题意知，小王最终通过面试的概率为P＝0.7＋0.3×0.7＋ 0.3×0.3×0.7＝0.973. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4， 甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为 （　　） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.52 解析：　记“甲获奖”为事件A，“乙获奖”为事件B，易知P（A）＝ 0.6，P（B）＝0.4，且P（AB）＝0.24，显然P（AB）＝P（A）P （B），即可得事件A与事件B相互独立，因此甲、乙两人恰有一人获奖 的概率为P（A ＋ B）＝P（A）[1－P（B）]＋P（B）·[1－P （A）]＝0.6×（1－0.4）＋（1－0.6）×0.4＝0.52.故选D. √ 数学·必修第二册 目 录 4. 某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移 栽.已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽后成活的 概率分别为0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率 为 ⁠. 解析：记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A，“乙种蔬菜能培 育成苗且移栽成活”为事件B，则P（A）＝0.5×0.6＝0.3，P（B）＝ 0.6×0.8＝0.48，P（ ）＝0.7，P（ ）＝0.52，故恰好有一种蔬菜能 培育成苗且移栽成活的概率为P（A ）＋P（ B）＝P（A）P（ ） ＋P（ ）P（B）＝0.3×0.52＋0.7×0.48＝0.492. 0.492　 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）相互独立事件乘法公式的应用； （2）相互独立事件的综合应用； （3）统计与事件相互独立性的综合应用. 2.应体会 求较复杂事件的概率常利用构造方程（组）及正难则反的思想. 3.避易错 相互独立事件与互斥事件易混淆. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. （2025·济宁月考）某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分 别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且每关相互独立. 一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（　　） A. 0.48 B. 0.4 C. 0.32 D. 0.24 解析：　由题意可知该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立 事件的概率可知P＝0.8×0.6×（1－0.5）＝0.24，故该选手只闯过前两 关的概率为0.24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的 概率分别为 ， ， ，则汽车在这三处停车一次的概率为（　　） A. B. 解析：　设汽车分别在甲、乙、丙三处绿灯通行为事件A，B，C，则P （A）＝ ，P（B）＝ ，P（C）＝ .停车一次即为事件 BC＋A C ＋AB ，故概率为P＝（1－ ）× × ＋ ×（1－ ）× ＋ × ×（1 － ）＝ . C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不影响. 已知师傅加工一个零件是精品的概率为 ，师徒二人各加工2个零件都是精 品的概率为 ，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　记师傅加工2个零件都是精品的概率为P（A），则P（A）＝ × ＝ ，徒弟加工2个零件都是精品的概率为P（B），则师徒二人各加 工2个零件都是精品的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝ ，得P （B）＝ ，故徒弟加工2个零件都是精品的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除 颜色外完全相同.从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为（　　） A. B. C. D. √ 解析：　设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件 为 “取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白球”，则事件 为 “取得红球”.∵事件A与B相互独立，∴事件 与 相互独立，∴从每袋 中任取1个球，取得同色球的概率为P（AB∪ ）＝P（AB）＋P （ ）＝P（A）P（B）＋P（ ）P（ ）＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 某校组织《最强大脑》竞赛，最终A、B两队进入决赛，两队各由三名 选手组成，每局两队各派一名选手比赛，除第三局胜者得2分外，其余各 局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为 ，且 各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况：①A全 胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A 胜，第三局A胜.所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为P＝ （ ）3＋ × × ＋ × × ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕将两个质地均匀且四面分别标有1，2，3，4的正四面体各掷一 次，记事件A＝“第一个正四面体向下的一面为偶数”；事件 B＝“第二 个正四面体向下的一面为奇数”；事件C＝“两个正四面体向下的一面均 为奇数或者均为偶数”，则下列结论正确的是（　　） A. P（A）＝ B. P（AB）＝ 解析： 　由题意知P（A）＝ ＝ ，故A正确；∵P（B）＝ ＝ ，事 件A与B相互独立，∴P（AB）＝ × ＝ ，故B正确，D错误；∵事件 AB与事件C为互斥事件，∴P（ABC）＝0，故C错误. C. P（ABC）＝ D. P（B）＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 〔多选〕某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一 张奖券.奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖 活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05，则两次抽奖中（　　） A. 都中奖的概率为0.05 B. 都没有中奖的概率为0.95 C. 恰有一次中奖的概率为0.095 D. 至少有一次中奖的概率为0.097 5 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：记“第一次抽奖中奖”为事件A， “第二次抽奖中奖”为事件B，则“两次抽奖都中奖”为事件AB. 由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立.于是由事件独立性可得，两次抽奖都中奖的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.05×0.05＝0.002 5.同理“两次抽奖都没有中奖”的概率为P（ ）＝P（ ）P（ ）＝0.95×0.95＝0.902 5；“两次抽奖恰有一次中奖”可以用A ∪ B表示.由于事件A 与 B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，得所求的概率为P（A ）＋P（ B）＝P（A）P（ ）＋P（ ）P（B）＝0.05×（1－0.05）＋（1－0.05）×0.05＝0.095；“两次抽奖至少有一次中奖”可用AB∪A ∪ B表示.由于事件AB，A 和 B两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，得所求的概率为P（AB）＋P（A ）＋P（ B）＝0.002 5＋0.095＝0.097 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 小明去参加法制知识答题比赛，比赛共有A，B，C三道题且每个问题 的回答结果相互独立.已知三道题的分值和小明答对每道题的概率如表： A题分值：3分 B题分值：3分 C题分值：4分 答对的概率 0.6 0.5 0.4 记小明所得总分为X（分），则 ＝ 　 　. 解析：由已知得P（X＝3）＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＝0.3，P （X＝10）＝0.6×0.5×0.4＝0.12，所以 ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确 对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考 核中能够准确杀毒的概率依次是 ， ， ， ，且各轮考核能否通过互不 影响.则该软件至多进入第三轮考核的概率为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：设事件Ai（i＝1，2，3，4）表示“该软件能通过第i轮考核”，由 已知得P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（A3）＝ ，P（A4）＝ ，设事 件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P（C）＝P（ ＋ ＋ A1A2 ）＝P（ ）＋P（A1 ）＋P（A1A2 ）＝ ＋ × ＋ × × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 甲、乙、丙三人分别独立做一道题，甲做对的概率是 ，三人都做对的 概率是 ，三人都做错的概率是 . （1）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解： 设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A，B，C， 则P（A）＝ ，由题意得​ 解得 或 所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为 和 或 和 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率. 解： 设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D， 则P（D）＝P（A）P（ ）P（ ）＋P（ ）P（B）P（ ）＋P （ ）P（ ）P（C） ＝ ＋ ＋ ＝ . 所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 专家甲独立地破译一个密码成功的概率为 ，为提高破译概率需增加专 家数量，若要达到破译出密码的概率为99％（各专家相互独立互不交 流），至少需要像甲这样的专家的人数为（参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3 ＝0.477 1）（　　） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　设需要像甲这样的专家的人数为x，要达到破译出密码的概率为 99％，则（ ）x≤ ，则xlg ≤lg ，即x≥ ＝ ≈16.01， 故至少需要像甲这样的专家的人数为17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 ，且每个开关是否闭合是 相互独立的，则灯亮的概率为（　　） A. B. √ 解析：　记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D开关闭 合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条线路同时断开的 概率为P（ ）P（ ）[1－P（AB）]＝ × ×（1－ × ）＝ ，所 以灯亮的概率为1－ ＝ .故选C. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳 跃时，均从一片跳到另一片），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳 的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停 在A片荷叶上的概率是 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：由题意知逆时针方向跳的概率为 ，顺时针方向跳的概率为 ，青蛙 跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：第一条：A→B→C→A，P1＝ × × ＝ ；第二条：A→C→B→A，P2＝ × × ＝ ，所以跳三次 之后停在A片荷叶上的概率为P＝P1＋P2＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 为刺激消费，逐渐形成以国内大循环为主体，国内、国际双循环相互 促进的新发展格局，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样 调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其 概率如表： 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅 游景点. （1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率； 解： 设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1， 则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率. 解： 消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002， 消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）2×0.1＝0.01， 消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋ 0.1×0.4×0.2＋（0.2）3＋2×（0.2）2×0.1＝0.033， 0.002＋0.01＋0.033＝0.045， 所以这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6， 0.5，0.5，0.4，每个人是否需使用设备相互独立. （1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率； 解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0， 1，2， B表示事件：甲需使用设备， C表示事件：丁需使用设备， D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 E表示事件：同一工作日4人需使用设备， F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k. （1）D＝A1BC＋A2B＋A2 C，P（B）＝0.6，P（C）＝0.4，P （A1）＝2×0.5×0.5＝0.5， P（A2）＝0.5×0.5＝0.25， 所以P（D）＝P（A1BC＋A2B＋A2 C）＝P（A1BC）＋P（A2B）＋ P（A2 C）＝P（A1）P（B）·P（C）＋P（A2）P（B）＋P （A2）P（ ）P（C）＝0.31. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作 日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值. 解：由（1）知，若k＝2，则P（F）＝0.31＞0.1. 又E＝BCA2， 所以P（E）＝P（BCA2）＝P（B）P（C）P（A2）＝0.06. 若k＝3，则P（F）＝0.06＜0.1. 所以k的最小值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $