章末检测（十） 概率-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学概率单元复习课件系统涵盖随机事件、古典概型、互斥与对立事件、独立事件等核心知识，通过选择、填空、解答题等题型将概率性质、计算方法与实际情境串联，帮助学生构建完整的概率知识网络。 其亮点在于以“数学眼光”创设购物抽奖、猜灯谜等真实情境，用“数学思维”强化逻辑推理（如互斥事件判断、对立事件概率计算），通过分层题型（基础选择到综合解答）实现个性化复习，有效提升学生数据观念与应用意识，助力教师精准把握学情。

章末检测（十）　概率 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正 面朝上的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：　抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，只有正面朝上和反 面朝上两种等可能的结果，故所求概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第二册 2. 某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机 会，中奖的概率为10％.那么以下理解正确的是（　　） A. 某人抽奖100次，一定能中奖10次 B. 某人消费1 000元，至少能中奖1次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖10次，可能1次也没中奖 解析：　中奖的概率为10％，与抽奖的次数无关，不能保证一定中奖， 也不能保证一定不中奖，只是有10％中奖的可能性，故D选项正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 3. 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一 张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（　　） A. 对立事件 B. 必然事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不可能事件 解析：　事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生， 也可能都不发生，故它们是互斥但不对立事件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 4. 自然对数的底数是指无理数e＝2.718 281 828 459 045….e是一个奇妙有 趣的无理数，它取自数学家欧拉Euler的英文字头.某教师为帮助同学们了 解“e”，让同学们从小数点后的3位数字7，1，8中随机选取两位数字，整 数部分2不变，那么得到的数字小于2.71的概率为（　　） A. B. √ C. D. 解析：　由题意可得，样本点总数N＝6，∵让同学们从小数点后的3位 数字7，1，8中随机选取两位数字，整数部分2不变，那么得到的数字小于 2.71的样本点有（1，7），（1，8），即2.17＜2.71，2.18＜2.71，共有 M＝2个，∴得到的数字小于2.71的概率为P＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 5. 一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并 记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是 （　　） A. B. 解析：　所有的样本点为（红，红，红），（红，红，蓝），（红， 蓝，红），（蓝，红，红），（红，蓝，蓝），（蓝，红，蓝），（蓝， 蓝，红），（蓝，蓝，蓝），共8个.三次都是蓝球的样本点只有1个，其 概率是 ，根据对立事件的概率之间的关系，可得所求概率为1－ ＝ . C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 6. 拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分 别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛掷一 次，否则停止抛掷（最多抛掷2次），则抛掷骰子所得的点数之和至少为4 的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：　抛掷次数为1的概率为 ＝ ，点数可能为3或4，抛掷次数为2的 概率为1－ ＝ ，此时样本点有（1，1），（1，2），（1，3），（1， 4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共八个，其中点数之 和至少为4的样本点有（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2， 4），共五个，故抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为 × ＋ × ＝ ＋ ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 7. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约有45％的人近视， 而该校大约有20％的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50 ％.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意抽查一名学生，则他近视的 概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：　设该校有x个同学，则约有0.45x的学生近视，∵0.2x的学生每 天玩手机超过1小时且玩手机超过1小时的学生中有0.1x的学生近视，∴有 0.8x的学生每天玩手机不超过1小时且其中有0.35x的学生近视，∴从每天 玩手机不超过1小时的学生中任意抽查一名学生，则他近视的概率为P＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 8. 猜灯谜是中国元宵节特色活动之一.已知甲、乙、丙三人每人写一个灯 谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放 回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜.若他们每人必能猜对自己写的灯 谜，并有 的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：记事件A表示甲独自获胜，因为每人随机选一个球（不放回），有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，甲，乙），共6种选法，又因为每人必能猜对自己写的灯谜，并有 的概率猜对其他人写的灯谜，当甲选到自己写的灯谜，乙、丙选到对方写的灯谜时，甲独自获胜的概率为 ×（1－ ）×（1－ ）＝ ， 当甲选到乙写的灯谜，乙选到丙写的灯谜，丙选到甲写的灯谜时，甲独自获胜的概率为 × ×（1－ ）×（1－ ）＝ ，当甲选到丙写的灯谜，乙选到甲写的灯谜，丙选到乙写的灯谜时，甲独自获胜的概率为 × ×（1－ ）×（1－ ）＝ ，所以P（A）＝ ＋ ＋ ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 设A，B为两个互斥的事件，且P（A）＞0，P（B）＞0，则下列各 式正确的是（　　） A. P（A∪B）＝P（A）＋P（ B ） B. P（ ∪ ）＝P（ ）＋P（ ） C. P（AB）＝0 D. P（ ）＝1－P（A）－P（B） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：因为A，B为两个互斥的事件，则A∩B＝⌀， 则P（A∪B）＝P（A）＋P（B），P（AB）＝0， A、C正确；P（ ∪ ）＝P（ ）＋P（ ）－P（ ），B错误；P（ ）＝P（ ）＋P（ ）－P（ ∪ ）＝1－P（A）＋1－P（B）－P（ ）＝1－P（A）＋1－P（B）－1＝1－P（A）－P（B），D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 10. 某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.9，乙机床的正品率为 0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（　　） A. 两件都是次品的概率为0.28 B. 至多有一件正品的概率为0.72 C. 恰有一件正品的概率为0.26 D. 至少有一件正品的概率为0.98 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析：　记事件A为“从甲机床制造的产品中抽到一件正品”，事件B 为“从乙机床制造的产品中抽到一件正品”，事件C为“抽取的两件产品 中至多有一件正品”，事件D为“抽取的两件产品中恰有一件正品”，事 件E为“抽取的两件产品中至少有一件正品”.由题意知A，B是相互独立 事件，则P（ ）＝P（ ）P（ ）＝0.1×0.2＝0.02，故A错误；P （C）＝P（A ）＋P（ B）＋P（ ）＝P（A）P（ ）＋P （ ）P（B）＋P（ ）P（ ）＝0.9×0.2＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝ 0.28，故B错误；P（D）＝P（A ）＋P（ B）＝P（A）P（ ）＋ P（ ）P（B）＝0.9×0.2＋0.1×0.8＝0.26，故C正确；P（E）＝1 －P（ ）＝1－0.02＝0.98，故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 11. 已知关于x的二次函数f（x）＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}， Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数 对（a，b），则（　　） A. 所有的数对（a，b）共有30种情况 B. 函数y＝f（x）有零点的概率为 C. 使函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增的数对（a，b）共有 13种情况 D. 函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增的概率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解析： 由题意可知（a，b）有（1，－1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共15种情况，故A不正确；函数y＝f（x）有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况，所以函数y＝f（x）有零点的概率为 ＝ ，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 易知a＞0，函数y＝f（x）图象的对称轴为直线x＝ ，且在区间[1， ＋∞）上单调递增，所以有 ≤1，满足条件的数对有（1，－1）， （1，1），（1，2），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3）， （2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， 共13种情况，所以函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增的概率 为 ，故C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到 这种动物400只，标记后放回.一个月后，调查人员再次逮到该种动物800 只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚 只. 解析：设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所 以 ＝ ，解得x＝160 000. 160 000　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 13. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别 为 ， ，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的 概率为 ，则p的值为 　 　. 解析：在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，∴至少投中一次的 对立事件为事件 发生，∴至少投中一次的概率为P＝1－ × ×（1 －p）＝ ，解得p＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 14. 甲、乙、丙、丁四人到电影院看电影，只剩下编号为1，2，3的三个座 位，于是四人抽签决定谁坐几号座位（抽到空签的人离开），则甲抽到2 号座位的概率为 ⁠. 解析：设“甲抽到2号座 位”为事件A，四个人抽3 个座位，情况较复杂，可以 利用树状图表示抽签的结果，如图所示. 由图可知，有4大类，每大类中有6种可能结果，共有4×6＝24（种）结果，其中甲抽到2号座位的结果有6种，所以P（A）＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉 种子发芽情况之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每 天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 温差x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数y/颗 23 25 30 26 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （1）求这5天的平均发芽率； 解： 这5天的平均发芽率为 ×（23＋25＋30＋26＋16）× ×100％＝24％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，用 （m，n）的形式列出所有的样本点，并求满足“m，n∈[25，30]”的 事件A的概率. 解： 所有的样本点有10个，分别为（23，25），（23，30）， （23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16）， （30，26），（30，16），（26，16）. 满足“m，n∈[25，30]”的事件A包含的样本点有（25，30），（25， 26），（30，26），共3个. 所以满足“m，n∈[25，30]”的事件A的概率为P（A）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 16. （本小题满分15分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率 分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a的值； 解： 由频率分布直方图可知组距为10，因 为（2a＋3a＋6a＋7a＋2a）×10＝1， 解得a＝ ＝0.005. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）分别求出成绩在[50，60）与[60，70）中的学生人数； 解： 由图可知成绩在[50，60）的频率为 2a×10＝0.1， 由频数＝总体×频率，从而得到该范围内的人数为0.1×20＝2， 成绩在[60，70）范围内的频率为3a×10＝ 0.15，则该范围内的人数为0.15×20＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求这2人的成绩都在[60，70）中的概率. 解：记成绩在[50，60）中的2人为A1， A2，成绩在[60，70）中的3人为B1，B2，B3， 则从成绩在[50，70）的学生中任选2人的样本点共有10个： （A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）， 其中2人的成绩都在[60，70）中的样本点有3个：（B1，B2），（B1， B3），（B2，B3），故所求的概率为P＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 17. （本小题满分15分）甲、乙两名同学组成“星队”参加知识竞赛.现有 A，B两类问题，竞赛规则如下：①竞赛开始时，甲、乙两名同学各自先 从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答 对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本 轮竞赛结束.②若在本轮竞赛中甲、乙两名同学合计答对问题的个数不少 于3，则“星队”可进入下一轮.已知甲同学能答对A类中问题的概率为 ，能答对B类中问题的概率为 .乙同学能答对A类中问题的概率为 ，能 答对B类中问题的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （1）设“甲同学答对0个，1个，2个问题”分别记为事件A0，A1，A2，求 事件A0，A1，A2的概率； 解：∵甲同学能答对A类中问题的概率为 ，能答对B类中问题的概率为 ， ∴P（A0）＝1－ ＝ ，P（A1）＝ ×（1－ ）＝ ，P（A2）＝ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）求“星队”能进入下一轮的概率. 解： 设“乙同学答对1个，2个问题”分别记为事件B1，B2， ∵乙同学能答对A类中问题的概率为 ，能答对B类中问题的概率为 ， ∴P（B1）＝ ×（1－ ）＝ ，P（B2）＝ × ＝ ， 设事件C表示“星队能进入下一轮”，P（C）＝P（A1B2）＋P （A2B1）＋P（A2B2）＝P（A1）P（B2）＋P（A2）P（B1）＋P （A2）P（B2）＝ × ＋ × ＋ × ＝ ， 故“星队”能进入下一轮的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 18. （本小题满分17分）某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬 盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的 甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出 现故障发生在保修期内的数据如下： 型号 甲 乙 首次出现故障的 时间x（年） 0＜ x≤1 1＜ x≤2 2＜ x≤3 0＜ x≤1 1＜ x≤2 2＜ x≤3 硬盘数（个） 2 1 2 1 2 3 假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现 故障发生在保修期内的概率； 解： 在图表中，甲品牌的50个样本中，首次出现故障发生在保修期 内的频率为 ＝ ， 即从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生 在保修期内的概率估计为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估 计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年（即2＜x≤3）的概率. 解： 设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出 现故障发生在保修期的第3年为事件B，从该商城销售的乙品牌固态硬盘中 随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件C，利用频率 估计概率，得P（B）＝ ＝ ，P（C）＝ ， 则P（B ＋ C）＝P（B）P（ ）＋P（ ）P（C）＝P（B）[1－ P（C）]＋[1－P（B）]P（C） ＝ × ＋ × ＝ ，所以某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 19. （本小题满分17分）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛 两人对战，另一人轮空，没有平局.每局胜者与此局轮空者进行下一局的 比赛.约定先赢两局者获胜，比赛随即结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 . （1）若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 解： 第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况： ①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为 × × ＝ ； ②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为（1－ ）× × ＝ . 综上，甲获胜的概率为 ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 （2）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大. 解： 若第一局乙丙对战，由（1）知甲获胜的概率为 ； 若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况： ①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为 × ＝ . ②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为 ×（1－ ）× × ＝ . ③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为 （1－ ）×（1－ ）× × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 所以最终甲获胜的概率为 ＋ ＋ ＝ ； 若第一局甲丙对战，则甲获胜也有三种情况： ①甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜的概率为 × ＝ . ②甲丙对战甲胜，甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜的概率为 ×（1－ ）×（1－ ）× ＝ . ③甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜的概率为 （1－ ）× × × ＝ . 所以最终甲获胜的概率为 ＋ ＋ ＝ . 因为 ＞ ＞ ，所以第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册 $