10.2 第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“事件的相互独立性及相互独立事件的概率”，通过“积事件概率与事件A、B概率关系”的问题导入，衔接互斥事件、对立事件等前置知识，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生逐步探究核心概念。 其亮点在于以抛掷硬币、摸球等实例抽象相互独立事件概念，通过定量公式与定性判断结合培养数学思维，对比互斥与独立事件表格强化数学语言表达。助力学生发展数学抽象和逻辑推理能力，教师可借助实例与对比提升教学效率。

第一课时　事件的相互独立性及相互独立事件的概率 1 1.结合有限样本空间，了解两个事件相互独立的概念（数学抽象）. 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题（数学运算）. 课标要求 　　前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？ 　　我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？ 情景导入 知识点一　相互独立事件的概念 01 知识点二　相互独立事件的性质 02 知识点三　相互独立事件的概率 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 相互独立事件的概念 01 PART 目 录 问题1　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B ＝“第二枚硬币反面朝上”.分别计算P（A），P（B），P（AB），你 有什么发现？ 提示：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空 间为Ω＝{（1，1），（1，0），（0，1），（0，0）}，包含4个等可能的 样本点.而A＝{（1，1），（1，0）}，B＝{（1，0），（0，0）}，所以 AB＝{（1，0）}.由古典概型概率公式，得P（A）＝P（B）＝ ，P （AB）＝ .于是P（AB）＝P（A）P（　B　）. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝ 成立，则 称事件A与事件B相互独立，简称为独立. P（A）P（B）　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　（链接教材P251例1）判断下列事件是否为相互独立事件： 解： “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选 出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件. （1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组 各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出 1名女生”； 数学·必修第二册 目 录 解： “从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 ，若 这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白 球”的概率为 ；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 ， 可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者 不是相互独立事件. （2）容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的 是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1 个，取出的还是白球”； 数学·必修第二册 目 录 （3）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”与“两枚结果相 同”. 解： 设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“两枚结果相同”，根 据相互独立事件的定义，只要P（AB）＝P（A）P（B）成立即可. 易知P（A）＝0.5，P（B）＝0.5，P（AB）＝0.25，故P（AB）＝ P（A）P（B），故二者是相互独立事件. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 判断两个事件是否相互独立的方法 （1）定量法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事 件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.即利用P（AB）＝P （A）·P（B）是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立； （2）定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影 响，若没有影响就是相互独立事件. 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目 标”，事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B（　A　） A. 相互独立但不互斥 B. 互斥但不相互独立 C. 相互独立且互斥 D. 既不相互独立也不互斥 解析：同时对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，即事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A. A 数学·必修第二册 目 录 （2）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随 机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙 表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的 数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 （　B　） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 B 数学·必修第二册 目 录 解析：事件甲发生的概率为P（甲）＝ ，事件乙发生的概率为P（乙）＝ ，事件丙发生的概率为P（丙）＝ ，事件丁发生的概率为P（丁）＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为 ＝ ，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为 ＝ ，P（乙丙）≠P（乙）·P（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B. 数学·必修第二册 目 录 知识点二 相互独立事件的性质 02 PART 目 录 问题2　互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事 件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验 为例，分别验证A与 ， 与B， 与 是否独立，你有什么发现？ 提示：对于A与 ，因为A＝AB∪A ，而且AB与A 互斥，所以P （A）＝P（AB∪A ）＝P（AB）＋P（A ）＝P（A）P（B）＋P （A ），所以P（A ）＝P（A）－P（A）P（B）＝P（A）[1－P （B）]＝P（A）P（ ）.由事件的独立性定义，知A与 相互独立.类 似地，可以证明事件 与B， 与 也都相互独立. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 如果事件A与事件B相互独立，那么A与 ， 与B， 与 也都 ⁠ ⁠. 2. 一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生 的概率等于每个事件发生的概率的乘积. 　　提醒：当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）＝P （A）P（B）P（C）不一定成立，事件相互独立与事件两两独立是不等 同的. 相 互独立　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示 第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与 是（　　） A. 相互独立事件 B. 不相互独立事件 C. 互斥事件 D. 对立事件 解析：　由题意可得 表示“第二次摸到的不是白球”，即 表示“第 二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白 球互不影响，故事件A1与 是相互独立事件. √ 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 相互独立事件的性质 （1）如果事件A和事件B可以同时发生，且它们发生的概率互不影响，那 么事件A和事件B相互独立； （2）如果有n个事件相互独立，那么将其中任意一个事件换成它的对立事 件，所得的n个事件仍相互独立. 　　提醒：概率为0的事件与任何事件相互独立. 数学·必修第二册 目 录 训练2　若P（AB）＝ ，P（ ）＝ ，P（B）＝ ，则事件A与B的关 系是（　　） A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B对立 C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B既互斥又相互独立 解析：因为P（ ）＝ ，所以P（A）＝ ，又P（B）＝ ，P（AB）＝ ，所以有P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立但不一定互斥. √ 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 相互独立事件的概率 目 录 【例3】　（链接教材P251例2）甲、乙两人破译一份密码，他们各人能破 译的概率分别为 和 ，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下 事件发生的概率： （1）两人都能破译的概率； 解： 由题意，甲、乙两人破译一份密码，他们各人能破译的概率分 别为 和 ， 两人能否破译密码相互独立， 所以两人都能破译的概率为 × ＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）恰有一人能破译的概率； 解： 恰有一人能破译的概率为 ×（1－ ）＋（1－ ）× ＝ . （3）至多有一人能破译的概率. 解： 事件“至多有一人能破译”与事件“两人都能破译”互为对立事件， 所以至多有一人能破译的概率为1－ × ＝1－ ＝ . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 （1）首先确定各事件之间是相互独立的； （2）求出每个事件的概率，再求积. 2. 使用相互独立事件同时发生的概率公式计算时，要掌握公式的适用条 件，即各个事件是相互独立的. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（1）甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个 螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成 A型螺栓的概率为（　C　） A. B. C C. D. 解析：设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则事件M与N相互独立，P（M）＝ ＝ ，P（N）＝ ＝ ，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝ × ＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分 别为 ， ， ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率 为 ⁠. 解析： 加工出来的零件的正品率是（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ ，因此加工出来的零件的次品率为1－ ＝ . 　 数学·必修第二册 目 录 互斥与独立事件关系的判断 1. 互斥事件与独立事件的区别与联系 从互斥事件和独立事件的概念我们可以看出，互斥事件即互不相容，是不 可能同时发生的事件，交集为空集，但会产生相互影响（比如A发生，B 就一定不发生）；独立事件A和B的发生互不影响，可能会同时发生.简单 的说就是互斥必相互影响，独立必相容. 数学·必修第二册 目 录 2. 互斥事件与独立事件的运算性质 已知事件A，B发生的概率分别为P（A），P（B），则有 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率 （A，B相互独立） A，B中至少有 一个发生 P（A∪B） P（A）＋P（B） 1－P（ ）P（ ）或P（A）＋P（B）－P（AB） A，B都发生 P（AB） 0 P（A）P（B） 数学·必修第二册 目 录 事件 表示 概率 （A，B互斥） 概率 （A，B相互独立） A，B都不发生 P（ ） 1－[P（A）＋P（B）] P（ ）P（ ） A，B恰有 一个发生 P（A ∪ B） P（A）＋P（B） P（A）P（ ） ＋P（ ）P（B） A，B中至多 有一个发生 P（ ∪A ∪ B） 1 1－P（A）P（B） 数学·必修第二册 目 录 【迁移应用】 1. 掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，设事件A＝“出现偶数点”，事件 B＝“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是（　　） A. 互斥但不相互独立 B. 相互独立但不互斥 C. 互斥且相互独立 D. 既不相互独立也不互斥 √ 数学·必修第二册 目 录 解析：事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.所以P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ × ，即P（AB）＝P（A）P（B），因此事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件. 数学·必修第二册 目 录 2. 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接 的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是 0.35. （1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？ 解： 设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N*）， 那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A， 根据互斥事件的概率加法公式，得： P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4） ＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95. 数学·必修第二册 目 录 （2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？ 解：事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A的对立事件，记为 ， 根据对立事件的概率公式，得P（ ）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05. 数学·必修第二册 目 录 1. 若P（AB）＝ ，P（ ）＝ ，P（B）＝ ，则事件A与B的关系是 （　　） A. 互斥 B. 相互独立 C. 互为对立 D. 无法判断 解析：　因为P（ ）＝ ，所以P（A）＝ ，又P（B）＝ ，所以事 件A与事件B不对立，又因为P（AB）＝ ，所以有P（AB）＝P（A） P（B），所以事件A与B相互独立但不一定互斥.故选B. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为 0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（　　） A. 0.3 B. 0.63 C. 0.7 D. 0.9 解析：　设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P（AB）＝P（A）P （B）＝0.9×0.7＝0.63.故选B. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中 一次的概率为 ，则该队员每次罚球的命中率为 　 　. 解析：设该队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝ ，所以p＝ . 　 数学·必修第二册 目 录 4. 一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球. （1）从口袋内有放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B ＝“第二次抽到黄球”； 解： 有放回地抽取小球，事件A是否发生对事件B是否发生没有影 响，它们是相互独立事件. 数学·必修第二册 目 录 解： 无放回地抽取小球，记红、黄、蓝球的号码分别为1，2，3，则 样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1）， （3，2）}，共包含6个样本点， A＝{（1，2），（1，3）}，B＝{（1，2），（3，2）}. 因为P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ， 所以P（AB）≠P（A）P（　B　）， 所以事件A，B不是相互独立事件. （2）从口袋内无放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B ＝“第二次抽到黄球”. 试分别判断（1）（2）中的事件A，B是否为相互独立事件. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）相互独立事件的判断； （2）相互独立事件的性质； （3）相互独立事件概率的计算. 2.应体会 求相互独立事件的概率时常用定义法和列举法. 3.避易错 对事件是否相互独立判断错误. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒， 则两粒种子都发芽的概率是（　　） A. 0.26 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72 解析：　由题意知，P＝0.8×0.9＝0.72.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 2. 设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则 下列命题一定成立的是（　　） A. A与B相互独立 B. A与C互斥 C. B与C互斥 D. 与 相互独立 解析：　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不 可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另 一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独立，由两事件相互独立的 性质易知D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 下列各对事件中，是相互独立事件的为（　　） A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有 射中目标” D. 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标 但乙未射中目标” √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可 能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在B中，甲、乙各射击一 次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是 相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与 “甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独 立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射 中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P （A）P（B），故事件A，B不相互独立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8， 飞行目标被雷达发现的概率为（　　） A. 0.72 B. 0.26 C. 0.7 D. 0.98 解析：　由题意知，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为0.1，0.2， 所以飞行目标被雷达发现的概率为1－0.1×0.2＝0.98.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 端午节是我国传统节日，甲、乙、丙3人端午节来徐州旅游的概率分别 是 ， ， ，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1 人来徐州旅游的概率为（　　） A. B. 解析：　由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ × × ＝ ，所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的 概率为1－ ＝ . C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中正确的命题为 （　　） A. 若P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则 ， 为相互独立 事件 B. 若P（ ）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则M，N为相互独立 事件 C. 若P（M）＝ ，P（ ）＝ ，P（MN）＝ ，则 ，N为相互独立 事件 D. 若P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（ ）＝ ，则M，N为相互独立 事件 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则P（MN）＝P（M）P（N），故由相互独立事件的性质知 ， 为相互独立事件，故A正确；P（ ）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则P（M）＝1－P（ ）＝ ，P（MN）＝P（M）P（N），故M，N为相互独立事件，故B正确；P（M）＝ ，P（ ）＝ ，P（MN）＝ ，则P（N）＝1－P（ ）＝ ，P（M）P（N）＝ × ＝ ≠P（MN），故由相互独立事件的性质知 ，N不相互独立，故C错误；P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（ ）＝ ，则P（MN）＝1－P（ ）＝ ＝P（M）P（N），故M，N为相互独立事件，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 〔多选〕已知事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B）＝ ，则 （　　） A. P（ ）＝ B. P（A ）＝ C. P（A＋B）＝ D. P（A ＋ B）＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　根据事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B）＝ ，可 得P（ ）＝1－P（A）＝1－ ＝ ，故A正确；而P（ ）＝1－P （B）＝1－ ＝ ，所以P（A ）＝P（A）P（ ）＝ × ＝ ，故B 错误；P（AB）＝P（A）P（B）＝ × ＝ ，所以P（A＋B）＝P （A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋ － ＝ ，故C正确；由概率加法公式 可得P（A ＋ B）＝P（A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ ，故D 错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A， B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别 如表： 购买A种医 用外科口罩 购买B种医 用外科口罩 购买C种医 用外科口罩 甲 0.1 0.4 乙 0.3 0.2 则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为 ⁠. 解析：由表知，甲购买A种口罩的概率为0.5，乙购买B种口罩的概率为 0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率为P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋ 0.4×0.2＝0.28. 0.28　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可 能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会 淋雨.则他们淋雨的概率是 ⁠. 解析：由题意，A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P（A）＝P（B） ＝ ，所以淋雨的可能性为P（A）P（ ）＝ × ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为 ，乙投篮 命中的概率为 ，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响. （1）求甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率； 解：记“甲投篮命中”为事件A，“乙投篮命中”为事件B， 则P（A）＝ ，P（B）＝ ，因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B相互独立，那么恰好有1人命中的概率P＝P（A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）求甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率. 解： 由（1）知，两人都没有命中的概率为P（ ）＝ × ＝ ， 所以至少有1人命中的概率为P1＝1－P（ ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且 A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1，A2正常工作 的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的 概率为（　　） A. 0.960 B. 0.864 解析：　根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C，则P （A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.8，A1，A2至少有一个正常工 作的概率为1－P（ ）P（ ）＝1－（1－0.8）×（1－0.8）＝0.96， 则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. C. 0.720 D. 0.576 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需 要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为 ，则甲队获得冠军 的概率为（　　） A. B. 解析：　由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况：①第一局甲队获 胜，此时的概率为 ；②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率 为 × ＝ ，综上所述，甲队获胜的概率为 ＋ ＝ .故选D. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为 ，A发生B不发生的概 率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）＝ ⁠. 解析：由题意知，P（ ）P（ ）＝ ，P（ ）·P（B）＝P（A） P（ ）.设P（A）＝x，P（B）＝y，x，y∈（0，1），则 即 ∴x2－2x＋1＝ ，解得 x＝ 或x＝ （舍去），故P（A）＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节.现 已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是 ， ， ， ，且 每个环节是否通过互不影响.求： （1）此人进入第四环节才被淘汰的概率； 解： 由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四环节才被淘汰 的概率为 × × ×（1－ ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）此人至多进入第三环节的概率. 解： 法一　此人进入第一环节被淘汰的概率为1－ ＝ ， 此人进入第二环节被淘汰的概率为 ×（1－ ）＝ ， 此人进入第三环节被淘汰的概率为 × ×（1－ ）＝ ， 所以此人至多进入第三环节的概率为 ＋ ＋ ＝ . 法二　此人进入第四环节的概率为 × × ＝ ，所以此人至多进入第 三环节的概率为1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加 两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比 赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ， ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出 的概率分别为 ， .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解： 设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中 胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜 出”，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”. ∵P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（B1）＝ ，P（B2）＝ ， ∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝ × ＝ ，P（B1B2）＝P（B1）P （B2）＝ × ＝ ， ∵ ＞ ，∴派甲参赛赢得比赛的概率更大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 解： 由（1）知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”， ∵P（ ）＝1－P（A1A2）＝1－ ＝ ，P（ ）＝1－P（B1B2）＝1－ ＝ . 设E＝“两人中至少有一人赢得比赛”. ∴P（E）＝1－P（ ）＝1－P（ ）P（ ）＝1－ × ＝ . ∴两人中至少有一人赢得比赛的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $