练案50 10.2 事件的相互独立性-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案!+*" """"第十章"!*!."事件的相互独立性 """""""""""""""" $组!基础巩固 !!有甲#乙两批种子$发芽率分别为*!8和*!1$ 在两批种子中各取一粒$则恰有一粒种子能发 芽的概率是 !""" $!*!.# %!*!*8 &!*!!8 '!*!;. "!甲#乙两位同学独立地解答某道数学题$若甲# 乙解出的概率都是. + $则这道数学题被解出的 概率是 !""" $! 4 .+ %! 1 .+ &! !# .+ '! .! .+ #!如图$用T$$ ! $$ . 三类不同的元件连接成一 个系统S当T正常工作且$ ! $$ . 至少有一个 正常工作时$系统正常工作S已知T$$ ! $$ . 正 常工作的概率依次是*!1$*!8$*!8$则系统正 常工作的概率为 !""" $!*!1#* %!*!8#4 &!*!;.* '!*!+;# $!端午节是我国传统节日$甲#乙#丙/人端午节 来徐州旅游的概率分别是! / $ . + $ ! 4 $假定/人 的行动相互之间没有影响$那么这段时间内至 少有!人来徐州旅游的概率为 !""" $! ; .* %! . + &! . / '! ; !* %!"多选#已知事件#$$$且.!#" (*!4$.!$" ( *!/$则 !""" $!如果$ : #$那么.!# 2 $" (*!4$.!#$" ( *!/ %!如果#与$互斥$那么.!# 2 $" (*!;$ .!#$" (* &!如果#与$相互独立$那么.!# 2 $" ( *!;$.!#$" (*!!. '!如果#与$相互独立$那么.!#$" (*!4.$ .!#$" (*!!8 &!"多选#从甲袋中摸出一个红球的概率是! / $从 乙袋中摸出!个红球的概率是! . $从两袋中各 摸出!个球$则 !""" $!.个球不都是红球的概率是! . %!.个球都是红球的概率是! # &!至少有!个红球的概率是. / '!.个球中恰好有!个红球的概率是! . '!两个人射击$互相独立!已知甲射击一次中靶 概率是*!#$乙射击一次中靶概率是*!/$现在 两人各射击一次$中靶至少一次就算完成目 标$则完成目标的概率为""""! (!已知甲#乙#丙三人去参加某公司面试$他们被 该公司录取的概率分别是! + $ ! 4 $ ! / $且三人录 取结果相互之间没有影响$则他们三人中恰有 两人被录取的概率为""""! )!某工厂师徒二人各加工相同型号的零件.个$ 是否加工出精品互不影响!已知师傅加工一个 零件是精品的概率为. / $师徒二人各加工.个 零件都是精品的概率为! 1 $则徒弟加工.个零 件都是精品的概率为""""! !*!某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制 定了如下的考核方案,每一单自接单后在规 定时间内送达#延迟+分钟内送达#延迟+至 !*分钟送达#其他延迟情况$分别评定为7$ 8$<$K四个等级$各等级依次奖励/元#奖励 *元#罚款/元#罚款#元!假定评定为等级 7$8$<的概率分别是/ 4 $ ! 8 $ / /. ! !!"若某外卖员接了一个订单$求其不被罚 款的概率' !."若某外卖员接了两个订单$且两个订单 互不影响$求这两单获得的奖励之和为/ 元的概率 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! &&")& %组!综合运用 !!!甲#乙两队进行羽毛球决赛$甲队只要再胜一 局就获得冠军$乙队需要再胜两局才能获得 冠军$若每局甲队获胜的概率为. / $则甲队获 得冠军的概率为 !""" $! . / %! . 1 &! 4 1 '! 8 1 !"!某校组织2最强大脑3竞赛$最终#$$两队进 入决赛$两队各由三名选手组成$每局两队各 派一名选手比赛$除第三局胜者得.分外$其 余各局胜者均得!分$负者得*分!假设每局 比赛#队选手获胜的概率均为. / $且各局比 赛结果相互独立$比赛结束时#队的得分高 于$队的得分的概率为 !""" $! 8 .; %! 4 1 &! !# .; '! .* .; !#!某农户要种植甲#乙两种蔬菜$需要先播种培 育成苗$然后再进行移栽!已知甲#乙两种蔬 菜培育成苗的概率分别为*!+$*!#$移栽后 成活的概率分别为*!#$*!8$则恰好有一种 蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为 """"! !$!一次数学考试有4道填空题$共.*分$每道 题完全答对得+分$否则得*分!在试卷命题 时$设计第一道题使考生都能完全答对$后三 道题能答对的概率分别为@$ ! . $ ! 4 $且每道题 答对与否相互独立! !!"当@(. / 时$求考生填空题得.* 分的 概率' !."若考生填空题得!*分与得!+分的概率 相等$求@的值! &组!拓展提升 !%!专家甲独立地破译一个密码成功的概率为 ! 4 $为提高破译概率需增加专家数量$若要达 到译出密码的概率为11!!各专家相互独立 互不交流"$至少需要像甲这样的专家 """"个!!参考数据,FP. (*!/*! *$FP/ (*!4;; !" !&!某学校组织安全知识竞赛$比赛共分为两轮$ 每位参赛选手均须参加两轮比赛$若其在两 轮比赛中均胜出$则视为赢得比赛!已知在第 一轮比赛中$选手甲#乙胜出的概率分别为 + # $ / + '在第二轮比赛中$甲#乙胜出的概率分 别为. / $ / 4 !甲#乙两人在每轮比赛中是否胜 出互不影响! !!"从甲#乙两人中选取!人参加比赛$派谁 参赛赢得比赛的概率更大% !."若甲#乙两人均参加比赛$求两人中至少 有一人赢得比赛的概率 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! &'")& 黄球各得一个的事件为&!其&中包含"个样本点!则+#&$ . " $' . ) 2 ! #)$因为从袋中任取两个球可得)"个样本点!其中两个黑球 的样本点是)个!两个黄球的样本点是$个!两个绿球的样 本点是"个!于是!两个球同色的概率为) 0$ 0" )" . 2 $1 !则两 个球颜色不相同的概率是$ 42 $1 . $) $1 ! 练案!2'" $!*!由题设!甲)乙两批种子不发芽率分别为'!%和'!$!5两 批种子中各取一粒恰有一粒种子能发芽的概率+.'!1 ('!$ 0'!% ('!D .'!%"!故选*! %!,!由题意知!这道数学题解不出的概率为+. $ 4( )% 2 ( $ 4( )% 2 . D %2 !5这道数学题被解出的概率为$ 4+.$" %2 !故 选,! )!+!根据题意!记W!* $ !* % 正常工作分别为事件"!#!%!则 +#"$ .'!D!+##$ .'!1!+#%$ .'!1!* $ !* % 至少有一个正常 工作的概率为$ 4+##$+#%$ .$ 4#$ 4'!1$ (#$ 4'!1$ . '!D"!则系统正常工作的概率为'!D ('!D" .'!1"/!故选+! /!-!由题意可得) (人中没有人来徐州旅游的概率为$ 4 )$ ) (( $ 4 )% 2 (( $ 4 )$ / . % ) ( ) 2 ( ) / . ) $' !所以这段时间 内至少有$人来徐州旅游的概率为$ 4) $' . G $' ! 2!*+-!如果# ? "!则+#" . #$ .+#"$ 0+##$ 4+#"#$ . +#"$ 0+##$ 4+##$ .+#"$ .'!/!+#"#$ .+##$ .'!)!故 *正确"如果"与#互斥!则+#" . #$ .+#"$ 0+##$ .'!/ 0'!) .'!G!+#"#$ .'!故+正确"如果"与#相互独立!则 +#" . #$ .+#"$ 0+##$ 4+#"#$ .'!/ 0'!) 4+#"#$ .'!G 4+#"$+##$ .'!G 4'!/ ('!) .'!21!+#"#$ .'!/ ('!) . '!$%!故,不正确"如果"与#相互独立!则+#"#$ . +#"$+##$ .#$ 4+#"$$+##$ .#$ 4'!/$ ('!) .'!$1! +#"!#$ .+#"$+##$ .#$ 4+#"$$#$ 4+##$$ .#$ 4'!/$ (#$ 4'!)$ .'!/%!故-正确!故选*+-! "!+,-!%个球不都是红球的概率为$ 4$ ) ( $ % . 2 " !故*不 正确"%个球都是红球的概率为$ % ( $ ) . $ " !故+正确"至少 有一个红球的概率为$ 4% ) ( $ % . % ) !故,正确"%个球中恰 好有$个红球的概率为$ ) ( $ % 0 % ) ( $ % . $ % !故-正确! G!'!G%!由题意可知!若甲)乙两个各射击$次!至少有一人命 中目标的概率为$ 4#$ 4'!"$ (#$ 4'!)$ .'!G%! 1! ) %' !因为甲)乙)丙三人被该公司录取的概率分别是$ 2 ! $ / ! $ ) !且三人录取结果相互之间没有影响!仅甲和乙被录取的概 率为$ 2 ( $ / ( $ 4( )$ ) . $ )' !仅甲和丙被录取的概率为$ 2 ( $ 4( )$ / ( $ ) . $ %' !仅乙和丙被录取的概率为$ 4( )$ 2 ( $ / ( $ ) . $ $2 !则他们三人中恰有两人被录取的概率为$ )' 0 $ %' 0 $ $2 . ) %' ! D! $ / !记师傅加工%个零件都是精品的概率为+#"$!则+#"$ . % ) ( % ) . / D !徒弟加工%个零件都是精品的概率为+##$! 则师徒二人各加工% 个零件都是精品的概率为+#"#$ . +#"$,+##$ . $ D !求得+##$ .$ / !故徒弟加工%个零件都 是精品的概率为$ / ! $'!#$$设事件"!#!%!&分别表示&评定为等级5!6!9!?'! 由题意!事件"!#!%!&两两互斥!又" . #.&不被罚款'! 所以+#" . #$ .+#"$ 0+##$ . ) / 0 $ 1 . G 1 ! 因此!&不被罚款'的概率为G 1 ! #%$设事件" L !# L !% L !& L 表示&第L单被评为等级5!6!9!?'!L .$!%! 则&两单共获得的奖励为)元'即事件#" $ # % $ . #" % # $ $!且 事件" $ # % !" % # $ 彼此互斥! 又+#" $ # % $ .+#" % # $ $ . ) / ( $ 1 . ) )% ! 所以+.+*#" $ # % $ . #" % # $ $+ .+#" $ # % $ 0+#" % # $ $ . ) )% ( % . ) $" ! $$!-!由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况% $ 第一局甲 队获胜!此时的概率为% ) " % 第一局乙队获胜!第二局甲队获 胜!此时的概率为$ 4( )% ) ( % ) . % D !综上所述!甲队获胜的 概率为% ) 0 % D . 1 D !故选-! $%!,!比赛结束时"队的得分高于#队的得分包含三种情况% $ "全胜" % 第一局"胜!第二局#胜!第三局"胜" ! 第一 局#胜!第二局"胜!第三局"胜!所以比赛结束时"队的得 分高于#队的得分的概率+ (. )% ) ) 0 % ) ( $ ) ( % ) 0 $ ) ( % ) ( % ) . $" %G !故选,! $)!'!/D%!记&甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活'为事件"!&乙 种蔬菜能培育成苗且移栽成活'为事件#!则+#"$ .'!2 ( '!" .'!)!+##$ .'!" ('!1 .'!/1!+#"$ .'!G!+##$ . '!2%!故恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为 +#"#$ 0+#"#$ .+#"$+##$ 0+#"$+##$ .'!) ('!2% 0 '!G ('!/1 .'!/D%! $/!设考生填空题得%'分)$2分)$'分分别为事件"!#!%! #$$考生填空题得%'分的概率+#"$ .% ) ( $ % ( $ / . $ $% ! #%$+##$ .H( $ % (( $ 4 )$ / 0H (( $ 4 )$ % ( $ / 0 #$ 4H$ ( $ % ( $ / . ) 1 H0 $ 1 ! +#%$ .H (( $ 4 )$ % (( $ 4 )$ / 0#$ 4H$ ( $ % ( ( $ 4 )$ / 0#$ 4H$ (( $ 4 )$ % ( $ / . $ % 4 $ 1 H! 由+##$ .+#%$!解得H.) / ! $2!$G!设需要像甲这样的专家.个!要达到译出密码的概率为 DD!!则( )) / . + $ $'' !则.LR) / + LR $ $'' !即. 2 LR $ $'' LR ) / . 4% LR) 4%LR% 3 $"!'$!故至少需要$G个像甲这样的专家 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ! (#"(( $"!#$$设" $ .&甲在第一轮比赛中胜出'!" % .&甲在第二轮比 赛中胜出'!# $ .&乙在第一轮比赛中胜出'!# % .&乙在第二 轮比赛中胜出'!则" $ " % .&甲赢得比赛'!# $ # % .&乙赢得比 赛'!8+#" $ $ . 2 " !+#" % $ . % ) !+## $ $ . ) 2 !+## % $ . ) / ! 5+#" $ " % $ .+#" $ $ +#" % $ . 2 " ( % ) . 2 D !+## $ # % $ . +## $ $+## % $ . ) 2 ( ) / . D %' ! 8 2 D C D %' !5派甲参赛获胜的概率更大! #%$由#$$知!设%.&甲赢得比赛'!&.&乙赢得比赛'! 8+#%$ .$ 4+#" $ " % $ .$ 4 2 D . / D !+#&$ .$ 4+## $ # % $ . $ 4 D %' . $$ %' ! 设'.&两人中至少有一人赢得比赛'! 5+#'$ .$ 4+#%!&$ .$ 4+#%$+#&$ .$ 4 / D ( $$ %' . )/ /2 ! 练案!2$" $!*!&不怕一万!就怕万一'表示小概率事件很少发生!但也可 能发生!需提防!故选*! %!-!因为样本在*$'!2'$内的频数为% 0) 0/ 02 .$/!样本容 量为%'!所以在*$'!2'$内的频率为$/ %' .'!G!故选-! )!+!该同学这两场投篮的命中率为%' (1'! 0)' (G'! %' 0)' . G/!!故选+! /!*!利用频率估计概率!这种鱼卵的孵化频率为1 2$) $' ''' . '!12$ )!它近似的为孵化的概率!故选*! 2!+!由题意!表示&) 例心脏手术全部成功'的有%1$%!1)%! 2"D!"1)!%G$!D1D!2)G!D%2!共1个!故估计&)例心脏手术全 部成功'的概率为1 $' .'!1!故选+! "!+!总的事件有%'个!其中)次至少%次投中1环及以上的 事件有$'$!'$$!$'$!'$$!$$$!$$'!'$$!$$$!'$$!$'$!$'$!共 $$个!故估计该选手投掷一轮飞镖!成绩为优秀的概率为$$ %' ! 故选+! G!'!G"!由表格得!出现&安全水位'的频率是'!$ 0'!%1 0 '!)1 .'!G"! 1!%%2!由已知得!该学校需要佩戴眼镜的人数大约为%"'' ( )G!/! .%%/!/ 3 %%2#人$!所以该眼镜商应带眼镜不少于%%2 副! D! $$ )' !如果"!G!1!D中恰有%个或)个数出现!就表示乙队获 胜!它们分别是G)1!")"!D"/!G)"!"D1!")G!"$"!D2D!GG/!G"%! G'G!共$$组!所以采用三局两胜制!乙队获胜的概率为$$ )' ! $'!#$$填表如下% 分组*G''! D''$ *D''! $ $''$ *$ $''! $ )''$ *$ )''! $ 2''$ *$ 2''! $ G''$ *$ G''! $ D''$ *$ D''! % $''+ 频数 /1 $%$ %'1 %%) $D) $"2 /% 频率'!'/1 '!$%$ '!%'1 '!%%) '!$D) '!$"2 '!'/% #%$样本中使用寿命不足$ 2'' B的频数是/1 0$%$ 0%'1 0 %%) ."''!所以样本中使用寿命不足$ 2'' B的频率是"'' $ ''' .'!"!即估计该种型号灯管的使用寿命不足$ 2'' B的概率 为'!"! $$!-!餐馆甲的总好评率为% $ ''' (D2! 0$ ''' (12! $ ''' 0$ ''' . D'!!餐馆乙的总好评率为%$ ''' ($''!0% ''' (1'! $ ''' 0% ''' 3 1"!"G!!餐馆丙的好评率为%$ ''' (D'!0$ ''' (D'! $ ''' 0$ ''' .D'!! 餐馆丁的好评率为%% ''' (D2!0$ ''' (12! % ''' 0$ ''' 3 D$!"G!!显然 D$!"G! CD'! C1"!"G!!所以餐馆丁的总好评率最高!故 选-! $%!-!由折线图可知!频率在'!)到'!/之间!抛一枚硬币!出 现正面朝上的概率为'!2!不符合!故*错误"掷一个正六面 体的骰子!出现)点朝上的概率为$ " !不符合!故+错误"一 副去掉大小王的扑克牌洗匀后!从中任抽一张牌的花色是红 桃的概率为$ / !不符合!故,错误"从一个装有%个红球)$ 个黑球的袋子中任取一球!取到的是黑球的概率为$ ) !在'!) 到'!/之间!符合题意!故-正确!故选-! $)!$2!因为摇号的初始中签率为'!$D!所以要使中签率超过 '!D!需要增加的中签率大于'!D 4'!$D .'!G$!因为每邀请 到一位好友参与&好友助力'活动可使中签率增加'!'2!且 '!G$ '!'2 .$/!%!所以至少需要邀请$2位好友参与&好友助力' 活动! $/!#$$由频率分布直方图可知!线上学习时间在*%''!)''$内 的频率为#'!''% 0'!''"$ (2' .'!/! 所以可以用数字'!$!%!) 表示线上学习时间在*%''!)''$ 内!数字/!2!"!G!1!D表示线上学习时间不在*%''!)''$内! 观察题中随机数可得!)名学生中恰有%名线上学习时间在 *%''!)''$内的有$D$!%G$!1$%!D)%!/)$!)D)!'%G!G)'!%'"! /))!$)1!"'%!共$%组! 用频率估计概率可得!+.$% )' .'!/! #%$抽取的%'名学生中!线上学习时间在*)2'!/2'+内的学 生有%' (#'!'') 0'!''%$ (2' .2#名$! 其中线上学习时间在*)2'!/''$内的学生有)名!设为"!#! %!线上学习时间在*/''!/2'+内的学生有%名!设为5!6! 则从2名学生中任取%名的样本空间 * ./#"!#$!#"!%$! #"!5$!#"!6$!##!%$!##!5$!##!6$!#%!5$!#%!6$!#5! 6$0!共$'个样本点! 设事件).&%名学生来自同一组'!则)./#"!#$!#"!%$! ##!%$!#5!6$0!共/个样本点!所以+#)$ ./ $' .'!/! $2!)''!由表可知!最高气温低于%2 Q的频率为%/ 02 D' .'!$! 所以"月份这种冷饮一天的需求量不超过)''瓶的概率估 计值为'!$! $"!#$$事件"的人数为"' 02' .$$'!+#"$的估计值为$$' %'' . $$ %' ! #%$事件#的人数为)' 0)' ."'!+##$的估计值为"' %'' . ) $' ! #)$续保人本年度的平均保费估计值为.. $ %'' #'!125 ("' 05 (2' 0$!%25 ()' 0$!25 ()' 0$!G25 (%' 0%5 ($'$ . $!$D% 2 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5! (("((