第6章 培优课 平面向量中的最值（范围）问题 能力提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

培优课 平面向量中的最值（范围）问题 能力提升 1 一、向量线性运算中的最值（范围）问题 【例1】　如图，延长线段AB到点C，使得 ＝2 ，D点在线段BC上 运动，点O∉直线AB，满足 ＝λ ＋μ ，则λμ的取值范围是 （　　） A. ［－ ，0］ B. ［－2， ］ C. ［－ ，0］ D. [－1，1] √ 数学·必修第二册 解析：　不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1]，由平面向量三点 共线可知， ＝ ＋ ，∴ ＝ － ，∴λ＝－ ， μ＝ ，x∈[0，1]，则λμ＝－ ＝－ （x2＋2x），∴λμ∈［－ ，0］. 数学·必修第二册 【规律方法】 利用向量的概念及线性运算，将所求问题转化为关于参数的等式或不等 式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值（范围）. 数学·必修第二册 训练1　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB ＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足 ＝m ＋n （m，n均为 正实数），则 ＋ 的最小值为 　 　. 　 数学·必修第二册 解析：连接AC（图略），因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝ 90°，AD＝AB＝4，CD＝1，所以 ＝ ＋ ＝ － ，所以 ＝m ＋n ＝m ＋n（ － ）＝（m－ n） ＋n ， 由P，B，C三点共线得，m－ n＋n＝m＋ n＝1（m，n＞0），所以 ＋ ＝（ ＋ ）（m＋ n）＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ＋ ＝ ，当且仅当3n2＝4m2时，取等号，即 ＋ 的最小值为 . 数学·必修第二册 二、向量数量积的最值（范围）问题 【例2】　已知 ⊥ ，｜ ｜＝ ，｜ ｜＝t，若P点是△ABC所 在平面内一点，且 ＝ ＋ ，则 · 的最大值等 于 ⁠. 13　 数学·必修第二册 解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标 系，则B（ ，0），C（0，t）， ＝（1，0）＋4 （0，1）＝（1，4），则P点坐标为（1，4），所以 ＝（ －1，－4）， ＝（－1，t－4）.因此 · ＝1－ －4t＋16＝17－（ ＋4t），因为 ＋4t≥2 ＝4，当且仅当 ＝4t，即t＝ 时取等号，所以（ · ）max＝13. 数学·必修第二册 【规律方法】 若题目中信息明显，如在直角三角形、等腰三角形、矩形、平行四边形等 几何图形中，则可通过建立平面直角坐标系，将平面向量数量积的最值问 题，转化为函数最值问题，如对勾函数等函数的最值问题，最后用基本不 等式等方法求解. 数学·必修第二册 训练2　已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意 一点，则 ·（ － ）的最大值为 ⁠. 解析：根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在直线 分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，∴A （0，3），B（4，0），C（0，0），∴ ＝（4，－ 3），设 ＝λ （λ∈[0，1]），则 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝（0，3）＋（4λ，－3λ）＝（4λ，3－3λ）， λ∈[0，1]，∴ ·（ － ）＝ · ＝（4λ，3－3λ）·（0，3）＝9－9λ∈[0，9]，∴ ·（ － ）的最大值为9. 9　 数学·必修第二册 三、向量模的最值（范围）问题 【例3】　已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为 ，则｜a｜＋｜b｜的 最大值为 ⁠. 　 数学·必修第二册 解析：将｜a＋b｜＝2两边平方并化简得（｜a｜＋｜b｜）2－｜a｜｜ b｜＝4，由基本不等式得｜a｜｜b｜≤（ ）2＝ ，故 （｜a｜＋｜b｜）2≤4，即（｜a｜＋｜b｜） 2≤ ，即｜a｜＋｜b｜≤ ，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝ 时，等号 成立，所以｜a｜＋｜b｜的最大值为 . 数学·必修第二册 【规律方法】 求向量模的最值（范围）一般要利用公式｜a｜＝ 转化为函数或不等 式求解，或利用不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜ 求解. 数学·必修第二册 训练3　如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝8，BC＝4，CD＝4.点P 在线段AD上运动，则｜ ＋ ｜的取值范围是（　　） A. [6，4＋4 ] B. [4 ，8] C. [4 ，8] D. [6，12] √ 数学·必修第二册 解析：以点A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系（图略），则由题意易得A（0，0），B（8，0），D（2，2 ），设 ＝λ ，λ∈[0，1]，则易得点P的坐标为（2λ，2 λ），则 ＋ ＝（－2λ，－2 λ）＋（8－2λ，－2 λ）＝（8－4λ，－4 λ），则｜ ＋ ｜＝ ＝8 ＝8× ，又因为λ∈[0，1]，所以｜ ＋ ｜＝8× ∈[4 ，8].故选C. 数学·必修第二册 四、向量夹角的最值（范围）问题 【例4】　非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，｜a｜＋｜b｜＝2，则a与 b的夹角的最小值为 ⁠. 解析：设a与b的夹角为θ，由2a·b＝a2b2知，2｜a｜｜b｜ cos θ＝ a2b2.由基本不等式知， cos θ＝ ｜a｜·｜b｜≤ （ ）2＝ ，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝1时等号成立，即 cos θ≤ ，又θ∈[0，π]， 故θ∈［ ，π］.故a与b的夹角的最小值是 . 　 数学·必修第二册 【规律方法】 求向量夹角的最值（范围）问题一般转化为求向量夹角θ的余弦值 cos θ＝ 的最值（范围）问题. 数学·必修第二册 训练4　已知向量a，b满足a＝（t，2 －t），｜b｜＝1，且（a－ b）⊥b，则a，b夹角θ的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析：　因为（a－b）⊥b，所以（a－b）·b＝0，a·b＝b2， cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，又因为2t2－4 t ＋8＝2[（t－ ）2＋2]≥2[（ － ）2＋2]＝4，所以0＜ cos θ≤ ， 所以θ的最小值为 . √ 数学·必修第二册 1. 已知向量m＝（a－1，1），n＝（2－b，2）（a＞0，b＞0），若 m∥n，则m·n的取值范围是（　　） A. [2，＋∞） B. （0，＋∞） C. [2，4） D. （2，4） 解析：　因为m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所以b＝4－ 2a＞0，所以0＜a＜2，所以m·n＝2a＋b－ab＝4－ab＝4－a（4－ 2a）＝2a2－4a＋4＝2（a－1）2＋2∈[2，4）. √ 数学·必修第二册 2. 已知向量a＝（1，0），b＝（ cos θ， sin θ），θ∈（－ ， ），则｜ a＋b｜的取值范围是（　　） A. （0，2] B. [0，2] C. [，2] D. （ ，2] 解析：　因为a＋b＝（1＋ cos θ， sin θ），所以｜a＋b｜＝ ＝ ＝ ，因 为θ∈（－ ， ），所以 cos θ∈（0，1]，所以2＋2 cos θ∈（2，4]，所 以｜a＋b｜的取值范围是（ ，2]. √ 数学·必修第二册 3. 已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量.若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋ 2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围是 ⁠ ⁠. ∪ （3，＋∞）　 数学·必修第二册 解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b＞0，且a，b不共线，当 a·b＞0时，（3e1＋2e2）·（te1＋2e2）＝3t ＋（6＋2t）e1·e2＋ 4 ＝3t＋ （6＋2t）＋4＞0，得t＞－ ；当a，b共线时，存在唯一的 实数λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ（te1＋2e2），所以 解得 所以当t≠3时，a，b不共线，综上，t的取值范围为t＞－ 且 t≠3，即（－ ，3）∪（3，＋∞）. 数学·必修第二册 4. 设向量 ＝（1，x）， ＝（2，x），则 cos ＜ ， ＞的最小 值为 ⁠. 解析： cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，令2＋x2＝t （t≥2），则x2＝t－2，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，当 ＝ ，即t＝4，x2＝2时， cos ＜ ， ＞取得 最小值，且最小值为 . 　 数学·必修第二册 课堂小结 1.理清单 （1）向量线性运算中的最值（范围）问题； （2）向量数量积的最值（范围）问题； （3）向量模的最值（范围）问题； （4）向量夹角的最值（范围）问题. 2.应体会 解决平面向量中的最值（范围）问题，一般把问题转化为关于某一自变 量的函数，根据函数的性质以及自变量的范围，确定函数的值域，或者 利用三角函数的有界性、基本不等式，来确定最值（范围）. 3.避易错 易忽视自变量的范围. 数学·必修第二册 课时作业 1. 已知向量a＝（1，0），b＝（4，m），若｜2a－b｜不超过3，则m 的取值范围为（　　） A. [－ ， ] B. [－ ， ] C. [－3，3] D. [－5，5] 解析：　由题意知，2a－b＝（－2，－m），所以｜2a－b｜＝ ≤3，得4＋m2≤9，即m2≤5，解得－ ≤m≤ ，即实数m的 取值范围为[－ ， ].故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 数学·必修第二册 2. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且（a－2b）·（2a＋b）≥4，则a与b 的夹角θ的取值范围是（　　） A. ［0， ］ B. ［ ， ］ C. ［ ，π］ D. （ ， ） 解析：　（a－2b）·（2a＋b）＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－ 3｜a｜｜b｜ cos θ－2×16＝－14－3×3×4 cos θ≥4，所以 cos θ≤－ ， 所以θ∈［ ，π］. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 3. 如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且 ＝x ＋y ， 则 ＋ 的最小值为（　　） A. 3 B. 4 解析：　由图可知x，y均为正数，且x＋y＝1，∴ ＋ ＝（ ＋ ） （x＋y）＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ ，即x＝ ，y ＝ 时，等号成立，则 ＋ 的最小值为9. √ C. 5 D. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 4. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ ，AB＝2，BC＝4，AD＝ 1，点P，Q在线段BC上移动，且PQ＝1，则 · 的最小值为 （　　） A. 1 B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 解析：　如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系， 因为AD∥BC，∠ABC＝ ，AB＝2，AD＝1，所以D（2， ）.不妨设 P（x，0），Q（x＋1，0）（0≤x≤3），则 ＝（x－2，－ ）， ＝（x－1，－ ），所以 · ＝（x－2）（x－1）＋3＝x2－ 3x＋5＝（x－ ）2＋ ，所以当x＝ 时， · 取得最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 5. 已知｜a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实 根，则a与b的夹角的取值范围是（　　） A. ［0， ］ B. ［ ，π］ C. ［ ， ］ D. ［ ，π］ 解析：　由于｜a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b ＝0有实根，则｜a｜2－4a·b≥0，设向量a，b的夹角为θ， cos θ＝ ≤ ＝ ，所以θ∈［ ，π］.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 6. 〔多选〕如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动 点， ＝λ ＋μ ，则下列结论正确的是（　　） A. 当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B. λμ的最大值为 C. μ的取值范围为[0，1] D. λ＋μ的取值范围为［ ，2］ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 解析： 　以B为原点， ， 分别为x，y轴正方 向建立平面直角坐标系，设BC＝2，则B（0，0）， E（0，1），D（2，2），设M（t，2），则0≤t≤2， 因为 ＝λ ＋μ ，所以（t，2）＝λ（0，1）＋ μ（2，2）＝（2μ，λ＋2μ），所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝ ， 对于选项A，因为M为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－ ＝ ，A 正确；对于选项B，λμ＝（2－t） ＝t－ t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ取 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 最大值为 ，B正确；对于选项C，因为μ＝ ，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ 的取值范围为[0，1]，C正确； 对于选项D，λ＋μ＝2－ ，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范 围为[1，2]，D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 7. 〔多选〕在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F分别为边BC 和CD上两个动点（含端点），且EF＝5，设 ＝λ ， ＝μ ，则 （　　） A. ≤λ≤1， ≤μ≤1 B. λ＋μ为定值 C. · 的最小值为50 D. ｜ ＋ ｜的最大值为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 解析： 　对于A，当F和C重合时，BE＝1，此时λ取最小值 ，μ取到 最大值1；当E和C重合时，DF＝3，此时μ取最小值 ，λ取到最大值1，A 正确；对于B，当F和C重合时，λ＝ ，μ＝1，λ＋μ＝ ；当E和C重合 时，λ＝1，μ＝ ，λ＋μ＝ ，B错误；对于C， · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝（ ＋λ ）·（ ＋μ ）＝ · ＋λ · ＋μ · ＋λμ · ＝λ · ＋μ · ＝λ ＋μ ＝36λ＋64μ，由EF＝5，得 ＝25，即（ ＋ ）2＝25，即[（1－λ） ＋（μ－1） ]2＝25，即36（1－λ）2＋64（μ－1）2＝25， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 设6（λ－1）＝5 cos θ，8（μ－1）＝5 sin θ，θ∈［π， ］，则36λ＋64μ＝36×（ ＋1）＋64×（ ＋1）＝100＋30 cos θ＋40 sin θ＝100＋50 sin （θ＋φ）（φ为辅助角tan φ＝ ），当 sin （θ＋φ）＝－1时，36λ＋64μ取到最小值50，即 · 的最小值为50，C正确；对于D，当μ＝1，λ＝ 时， ＋ ＝ ＋ ＋ ＝2 ＋ ，则｜ ＋ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ＞ ，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 8. 在△ABC中， ·（ －4 ）＝0，则 cos A的最小值为 ⁠. 解析：在△ABC中， ＝ － ，所以 ·（ －4 ）＝（ － ）·（ －4 ）＝－4｜ ｜2－｜ ｜2＋5 · ＝－4｜ ｜2－｜ ｜2＋5｜ ｜·｜ ｜ cos A＝0，在△ABC中，设｜ ｜＝b，｜ ｜＝c，则有－4b2－c2＋5bc cos A＝0，所以 cos A＝ ≥ ＝ ，当且仅当2b＝c时，等号成立. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 9. 已知平面向量a，b，c满足a·b＝b·c＝c·a＝－1，｜a｜＝ 1，｜b｜≥2，若c＝xa＋yb，x，y∈R，则x＋y的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：设a＝（1，0），由a·b＝c·a＝－1，可设b＝（－1，m），c ＝（－1，n），因为｜b｜2＝1＋m2≥4⇒m2≥3，又c＝xa＋yb＝（x－ y，my）＝（－1，n），所以 而b·c＝1＋mn＝－1⇒mn ＝－2，所以x＋y＝－1＋2y＝－1＋2× ＝－1－ ，又因为m2≥3，所 以x＋y∈［－ ，－1）. ［－ ，－1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 10. 如图所示，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A 为中点，则当 与 的夹角θ＝ 时， · 的值最大，最大值 为 . 0　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 解析：把 ， 用 ， ， 表示出来，然后作数量积， ＝ ＋ ＝ － ， ＝ ＋ ＝ ＋ ，则 · ＝（ － ）·（ ＋ ）＝ · － · ＋ · － ｜ ｜2＝－ （ ＋ ）－a2＝－ · －a2＝a2 cos θ－a2（其 中θ为 与 的夹角）.∴当 cos θ＝1时， · 有最大值0，即当θ＝ 0（ 与 的方向相同）时， · 的值最大，最大值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2， 1）. （1）求｜ － ｜的值； 解： 由题意可知 ＝（1，2）， ＝（3，0），∴ － ＝ （－2，2），∴｜ － ｜＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 （2）若点N是直线OP上的动点，求 · 的最小值. 解： 如图所示，易知直线OP为y＝ x，不妨设 N（2a，a），则 · ＝（3－2a，3－a）·（5 －2a，1－a）＝5a2－20a＋18＝5（a－2）2－2≥－ 2，当且仅当a＝2，即N（4，2）时， · 取得 最小值－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 12. （1）求函数y＝12 ＋5 的最大值； 解： 设a＝（12，5），b＝（ ， ）， 则｜a｜＝13，｜b｜＝3. 由｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，得y＝｜a·b｜≤｜a｜｜b｜＝39， 当且仅当a与b共线时，等号成立，则有12 －5 ＝0， 解得x＝ ，即当x＝ 时，ymax＝39. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 （2）求 ＋ 的最小值. 解： 设a＝（x－2，3），b＝（5－x，1），则 ｜a｜＝ ，｜b｜＝ ， ∴ ＋ ＝｜a｜＋｜b｜≥｜a＋b｜. 又∵a＋b＝（3，4），∴｜a＋b｜＝ ＝5. ∴ ＋ ≥5. ∴ ＋ 的最小值为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册 $