6.2.1 向量的加法运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

6.2.1　向量的加法运算 1 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量加法的概念（数学抽象、直观想象）. 2.理解向量加法的几何意义，掌握平面向量的加法运算及运算律（直观想象、数学运算）. 课标要求 唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，可引入向量的运算，下面我们探究平面向量的运算. 情景导入 知识点一　向量加法的定义及三角形法则 01 知识点二　向量加法的平行四边形法则 02 知识点三　向量加法的运算律 03 目录 提能点　向量加法的实际应用 04 课时作业 05 4 知识点一 向量加法的定义及三角形法则 01 PART 目 录 问题1　如图所示， 小王上午从家（点A）到达了公司（点B），下午从公司（点B）到达了舅舅家（点C）. （1）分别用向量表示出小王上午的位移、下午的位移以及这一天的位移； 提示： ； ； . （2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？ 提示：位移 可以看成是位移 与 合成的，即 可以看作是 与 的和. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 向量加法的定义 （1）定义：求两个向量 的运算，叫做向量的加法； （2）对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 和　 数学·必修第二册 目 录 2. 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作 ＝a， ＝b，则向 量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝ .这种求向量 和的方法，称为向量加法的 法则. 　　提醒：（1）两向量的和仍是向量；（2）运用向量加法的三角形法则 作图时要“首尾相接，再首尾相连”. 三角形　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　如图所示， （1）a＋b＝ ⁠； 解析： a＋b＝ ＋ ＝c. （2）c＋d＝ ⁠； 解析： c＋d＝ ＋ ＝f. （3）a＋b＋d＝ ⁠. 解析： a＋b＋d＝ ＋ ＋ ＝ ＝f. c　 f　 f　 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 求向量和的三角形法则 在平面内任取一点，以该点为起点，将两向量平移到首尾相接，从该起点 到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接. 2. 推广 多个向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量 的起点指向最后一个向量的终点的向量，即 ＋ ＋…＋ ＝ . 　　提醒：若 ＋ ＋…＋ ＝0，则该图形为封闭图形. 数学·必修第二册 目 录 训练1　点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则 ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 0 √ 数学·必修第二册 目 录 知识点二 向量加法的平行四边形法则 02 PART 目 录 问题2　如图，平行四边形ABCD. （1）向量 与 是什么关系？ 提示： ＝ . （2）向量 ＋ 与 相等吗？ 提示：相等. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 ▱OACB，则以O为起点的向量 （OC是▱OACB的对角线）就是向量 a与b的和. 　　提醒：应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”，且两个向量 不共线. 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P8例1）如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c. 解：法一（三角形法则）　如图1所示，在平面内任取一点O，作向量 ＝a， ＝b，则向量 ＝a＋b；再作向量 ＝c，则向量 ＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求. 数学·必修第二册 目 录 法二（平行四边形法则）　如图2所示，在平面内任取一点O，作向量 ＝a， ＝b， ＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则 ＝ ＋ ＝a＋b；再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 求向量和的平行四边形法则 在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个 向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为起点的对角线所对应的 向量就是这两个向量的和. 2. 三角形法则与平行四边形法则的适用条件 法则 三角形法则 平行四边形法则 适用 条件 两向量共线或不共线均可，特别是一个向量的终点为另一个向量起点的求和 只适用于两向量不共线的情况，特别是两向量起点相同的求和 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 ＋ ＝（　C　） A. B. C 解析：以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所 示，则 ＋ ＝ ，由 和 的模相等，方向相同，得 ＝ ，即 ＋ ＝ . C. D. 数学·必修第二册 目 录 （2）已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜ ｜＝1，则｜ ＋ ｜＝ ⁠. 解析： 因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三 角形，所以｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1. 1　 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 向量加法的运算律 目 录 问题3　（1）结合向量加法的三角形法则和平行四边形法则，试探索｜a ＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系； 提示：①当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且｜a ＋b｜＜｜a｜＋｜b｜. ②当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜. 数学·必修第二册 目 录 （2）我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足 交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 提示：满足.如图1，作 ＝a， ＝b，以AB，AD为邻边作 ▱ABCD，容易发现 ＝b， ＝a，故 ＝ ＋ ＝a＋b.又 ＝ ＋ ＝b＋a，所以a＋b＝b＋a. 如图2，易得（a＋b）＋c＝ ＋ ＝ ，且a＋（b＋c）＝ ＋ ＝ ，所以（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 向量加法的运算律 （1）加法交换律：a＋b＝ ⁠； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝ ⁠. 2. ｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系 一般地，我们有｜a＋b｜≤ ，当且仅当a，b方向相 同时等号成立. 　　提醒：当a，b至少有一个是零向量时等号也成立. b＋a　 a＋（b＋c）　 ｜a｜＋｜b｜　 数学·必修第二册 目 录 【例3】　化简：（1） ＋ ； 解： ＋ ＝ ＋ ＝ . （2） ＋ ＋ ； 解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝0. （3）（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋ . 解：（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋ ＝（ ＋ ）＋ ＋ （ ＋ ）＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 向量加法运算律的应用策略 （1）多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如（a＋ b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋（a ＋c）]＋（b＋e）； （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过 向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（1）化简： ＋（ ＋ ）＋ ＝（　B　） A. B. C. D. 解析： ＋（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .故 选B. （2）设｜a｜＝8，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最大值为 ⁠. 解析：由｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，得｜a＋b｜≤8＋12＝20.所 以最大值为20. B 20　 数学·必修第二册 目 录 04 PART 提能点 向量加法的实际应用 目 录 【例4】　（链接教材P9例2）在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度 为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进 的方向. 解：作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v水｜＝10 m/min， ｜ ｜＝｜v船｜＝20 m/min， ∴ cos α＝ ＝ ＝ ，∴α＝60°. 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向. 数学·必修第二册 目 录 变式　若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少千米？ 解：由题意可知｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×20＝10 m/min＝ km/h， 则经过3小时，该船的实际航程是3× ＝ 千米. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 应用向量解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题； （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量 进行运算，解答向量问题； （3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原 问题. 数学·必修第二册 目 录 训练4　一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B 地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相 对位置. 解：如图所示，设 ， 分别是直升飞机的位移， 则 表示两次位移的合位移，即 ＝ ＋ . 在Rt△ABD中，｜ ｜＝20 km，｜ ｜＝20 km， 则｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝20＋40＝60 km， 在Rt△ACD中，｜ ｜＝ ＝40 km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km处. 数学·必修第二册 目 录 向量加法三角形法则的推广 在加拿大蒙特利尔举行的机器人世界杯比赛决赛中，中国浙江大学队以 4∶0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队，获得了冠军.机器人在赛场上 能“多人协作”进行断球、传球，能够做出假动作迷惑对手，还可以通过 人工智能技术对球场局势进行相应的判断. 数学·必修第二册 目 录 在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采用迂回战术带球射门，行走 的路线如图1，从点A开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队员，成功踢 进一球，这名射手激动地跳起了如图2所示的正多边形舞，跳舞的方式是 从点P开始，沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前 行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，……，最终回到 起点. 数学·必修第二册 目 录 成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图3的路线组织传球，又进 了一球.最终中国浙江大学队踢进4球，以4∶0的成绩获得了机器人足球世 界杯冠军！ 数学·必修第二册 目 录 1. 当α＝45°时，请画出射手的跳舞轨迹，并说明跳多少步时位移为0，请 作图说明（假设机器人跳1步为1米）. 提示：射手的跳舞轨迹为如图所示的正八边形，其中边长为1 m，跳8步时，射手回到起点，所以当射手跳8n（n∈N*）步时，射手的位移为零. 【问题探究】 数学·必修第二册 目 录 2. 要使射手能回到出发点，跳舞时设定的α应满足什么条件？ 提示：要使射手能回到出发点，只需射手的位移为零.按上述方式作图， 则所作图形是内角为180°－α的正多边形，由多边形的内角和定理可得n （180°－α）＝（n－2）·180°，解得α＝ ，且n≥3，n∈N*.故α 应满足的条件为α＝ ，且n≥3，n∈N*. 数学·必修第二册 目 录 【迁移应用】 　甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东30° 的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2 m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人丁，利用向量加法 求出球的位移向量，并确定此向量模的大小. 数学·必修第二册 目 录 解：根据题意画出示意图如图，用A，B，C，D分别表 示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，则球的位移为 ＋ ＋ ＝ ，故球的最终位移为 ， 依题意知△ABC为正三角形，故｜ ｜＝｜ ｜＝ AC＝2 m. 又因为∠ACD＝45°，CD＝ m，所以∠ADC＝90°，所以△ACD为等腰直角三角形，所以｜ ｜＝ m. 数学·必修第二册 目 录 1. 化简 ＋ ＋ ＝（　　） A. 0 B. 0 C. D. 解析：　 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，故选A. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 〔多选〕下列等式正确的是（　　） A. a＋（b＋c）＝（a＋c）＋b B. ＋ ＝0 C. ＝ ＋ ＋ D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ 解析：　易知A、C正确.B错误，因为 ＋ ＝0；D错误，因为只有 在a与b至少有一个为零向量或a，b为方向相同的非零向量时等式成立， 而其他情况下等式不成立. √ √ 数学·必修第二册 目 录 3. 如图所示，在正六边形ABCDEF中， ＋ ＋ ＝（　　） A. 0 B. C. D. 解析：　由于 ＝ ，故 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ . 故选D. √ 数学·必修第二册 目 录 4. 若在△ABC中，AB＝AC＝1，｜ ＋ ｜＝ ，判断△ABC的形状. 解：以AB，AC为邻边作▱ABDC，如图所示. 则｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝ . 又AB＝AC＝1，且BD＝AC， ∴AB＝BD＝1， 从而△ABD为等腰直角三角形. 因此▱ABDC为正方形， 故△ABC为等腰直角三角形. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）向量加法的三角形法则及平行四边形法则； （2）向量三角不等式； （3）向量加法的运算律； （4）向量加法的实际应用. 2.应体会 三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，体现了数形结合的 思想方法. 3.避易错 当a，b，c没有确定都同向时，｜a＋b＋c｜≠｜a｜＋｜b｜＋｜c｜. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 在四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则向量 ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　因为在平行四边形ABCD中， ＝ ，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则 ＋ ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　 ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则 向量a＋b表示（　　） A. 向东北方向航行2 km B. 向北偏东30°方向航行2 km C. 向北偏东60°方向航行2 km D. 向东北方向航行（1＋ ）km 解析：　如图，｜a｜＝1 km，｜b｜＝ km，易知tan α＝ ，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.可 知｜a＋b｜＝2 km.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕设a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ），b是一个非零向量，则 下列结论正确的有（　　） A. a∥b B. a＋b＝a C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜ 解析： 　由题意，向量a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所 以B不正确，C正确；由｜a＋b｜＝｜b｜，｜a｜＋｜b｜＝｜b｜，所 以｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，所以D不正确.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（　　） A. ＋ ＝ B. ＋ ＋ ＝ C. ＋ ＋ ＝ D. ＋ ＋ ＝0 √ √ √ 解析：由向量加法的平行四边形法则可得 ＋ ＝ ，故A正确；由向量加法的三角形法则可得 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故B错误；由向量加法的平行四边形法则可得 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故C正确； ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 已知 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d， ＝e，则a＋b＋c＋d ＝ ⁠. 解析：a＋b＋c＋d＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＝e. e　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 在边长为1的等边三角形ABC中，｜ ＋ ｜＝ ，｜ ＋ ｜＝ ⁠. 解析：易知｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝1，以AB，AC为邻边作平行四边形 ABDC（图略），则｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜× sin 60°＝ 2×1× ＝ . 1　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长 线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，求（在横线上只填一个向 量）： （1） ＋ ＝ ⁠； （1）易知 ＝ ，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ . 解析：由已知可得四边形DFCB为平行四边形. 　 （2） ＋ ＋ ＝ ⁠. 　 解析： （2） ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的 中点，化简下列各式： （1） ＋ ＋ ； 解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . （2） ＋ ＋ ＋ . 解： ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 若点O是△ABC的外心，且 ＋ ＝ ，则△ABC的内角C等于 （　　） A. 120° B. 90° 解析：　因为点O是△ABC的外心，则｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，由 ＋ ＝ 结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠ACO＝∠BCO＝60°，所以△ABC的内角C等于120°.故选A. C. 60° D. 45° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，E为斜边BC上一动点，则｜ ＋ ｜的最小值为（　　） A. B. C. 1 D. 解析：　易得｜ ＋ ｜＝｜ ｜，显然当E为斜边BC的中点时， AE最短，此时AE⊥BC，AE＝ ＝ ，即｜ ＋ ｜的最小值为 . 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 已知点G是△ABC的重心，则 ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析：如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC 的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，则 ＋ ＝ ， ＋ ＝0，所以 ＋ ＋ ＝0. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 如图，按下列要求作答. （1）以A为始点，作出a＋b； 解： 将a，b的起点同时平移到点A，利用平行四边形法则作出a＋b，如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）以B为始点，作出c＋d＋e； 解： 先将共线向量c，d的起点同时平移到点B，计算出c＋d，再平移向量e与之首尾相接，利用三角形法则即可作出c＋d＋e，如图. （3）若图中小正方形边长为1，求｜a＋b｜，｜c＋d＋e｜. 解： 由图中小正方形的边长为1，根据作出的向量利用勾股定理可知，｜a＋b｜＝ ＝ ，｜c＋d＋e｜＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 设P1P2P3…Pn是圆内接正n边形，O为圆心，试用向量证明 ＋ ＋…＋ ＝0. 证明：设 ＋ ＋…＋ ＝ ＝a，将正n边形绕圆心O旋转 弧度， 假设此时 旋转到 的位置， 旋转到 的位置，…， 旋转 到 的位置，但正多边形的位置不变，仅各顶点的字母变了，所以它们的和向量不变，a旋转 弧度后没有改变，因此a只能是零向量，所以 ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $