6.1 平面向量的概念-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

6.1　平面向量的概念 1 1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的 实际背景（数学抽象）. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素（直观想象）. 3.理解共线向量和相等向量的含义（直观想象）. 课标要求 你注意过吗？在描述天气的时候，温度和相对湿度都只要用一个实数就可以确切地表达，而风的确切描述，除了用一个实数说明“风力”外，还要给出“风向”.在生活中还有类似的例子吗？ 　　今天，我们也将开启探究之旅，去寻找一种既有大小又有方向的量——向量. 情景导入 知识点一　向量的概念及表示 01 知识点二　相等向量与共线向量 02 目录 课时作业 03 4 知识点一 向量的概念及表示 01 PART 目 录 问题1　（1）在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们 日常生活中的面积、质量等有什么区别？ 提示：面积、质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又 有方向. （2）在平面直角坐标系中，用箭头表示坐标轴的方向，物理量“位 移”“速度”和“力”可以用此方法表示它们的方向吗？ 提示：可以. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 向量的概念 （1）向量：既有 又有 的量叫做向量； （2）数量：只有 没有 的量称为数量. 2. 向量的表示 （1）有向线段：具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要 素： 、 、长度.以A为起点、B为终点的有向线段记 作 ，线段AB的长度也叫做有向线段 的长度，记作 ⁠ ⁠； 大小　 方向　 大小　 方向　 方向　 起点　 方向　 　 ｜ ｜　 数学·必修第二册 目 录 （2）向量的表示 　　提醒：（1）向量有两个要素：大小和方向；（2）向量不能比较大 小，但向量的模可以比较大小；（3）有向线段与向量不是同一概念，有 向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示. 数学·必修第二册 目 录 （3）零向量与单位向量 向量名称 定义 零向量 长度为 的向量，记作 ⁠ 单位向量 长度等于 ⁠长度的向量 　　提醒：（1）定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定 方向，零向量的方向是任意的；（2）0与0不同.0表示数量，但0表示 零向量. 0　 0　 1个单位　 数学·必修第二册 目 录 角度1　向量的概念 【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 零向量没有方向 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 零向量的长度都为0 D. 两个单位向量的长度相等 解析：　零向量有方向，只是方向任意，A错误；两个有共同起点，且 长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，B错误； 零向量的长度都是0；单位向量的长度都是1，故C、D正确. √ √ 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 向量有关概念的辨析 （1）判断一个量是否为向量的两个关键条件：①有大小；②有方向.两个 条件缺一不可； （2）理解零向量和单位向量应注意的问题：①零向量的方向是任意的， 所有的零向量都相等；②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向. 　　提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等. 数学·必修第二册 目 录 训练1　〔多选〕下列命题正确的是（　　） A. 平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 B. 温度含零上和零下温度，所以温度是向量 C. 若向量a＝ ，b＝ ，则｜a｜＝｜b｜ D. 向量的大小与方向无关 解析： 　A中平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，没有长度，不 是向量，故A错误；B中的温度都是数量，不是向量，故B错误；C中由 于｜a｜＝｜ ｜＝AB，｜b｜＝｜ ｜＝BA＝AB，因此有｜a｜ ＝｜b｜，故C正确；D中向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长 度，与方向无关，故D正确. √ √ 数学·必修第二册 目 录 角度2　向量的表示 【例2】　（链接教材P3例1）在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻 任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向， 向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了 200 km到达D点.此时，它完成了此片海域 的巡逻任务. （1）作出 ， ， ； 解：如图所示，作出 ， ， . 数学·必修第二册 目 录 （2）求｜ ｜. 解： 由题意知AB∥CD，AB＝CD， 所以四边形ABCD是平行四边形， 所以AD＝BC＝400 km，所以｜ ｜＝400 km. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 用有向线段表示向量的步骤 数学·必修第二册 目 录 训练2　某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西 北方向走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D. 试 分别作出向量 ， 和 . 解：根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求 的方向，作线段AB＝4，BC＝6，CD＝4，则向量 ， 和 如图所示. 数学·必修第二册 目 录 知识点二 相等向量与共线向量 02 PART 目 录 问题2　（1）在▱ABCD中，向量 与 有什么关系？向量 与 有 什么关系？ 提示：大小相等，方向相同；大小相等，方向相反. 数学·必修第二册 目 录 （2）如图，在梯形ABCD中，向量 与 有什么关系？ 提示：大小不等，方向相同. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 平行向量（共线向量）：方向 ⁠的非零向量叫做平行向 量.向量a与b平行，记作 ⁠. 规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有 ⁠. 2. 相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量.向量a 与b相等，记作 ⁠. 　　提醒：（1）若a∥b，b∥c，则a与c未必共线；（2）两向量共线，则 两向量所在的直线平行或重合. 相同或相反　 a∥b　 平行　 0∥a　 相等　 相同　 a＝b　 数学·必修第二册 目 录 【例3】　（链接教材P4例2）如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交 点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所标出的向量中. （1）分别写出与 ， 相等的向量； 解： 与 相等的向量只有 ；与 相等的向量只有 . （2）写出与 共线的向量； 解： 与 共线的向量有 ， ， . （3）写出与 模相等的向量. 解： 与 模相等的向量有 ， ， ， ， ， ， . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 共线向量与相等向量的探求方法 （1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线 段，再确定同向与反向的向量； （2）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的线段， 再确定哪些是同向共线的向量. 　　提醒：在寻找共线向量时不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点 为起点，起点为终点的向量. 数学·必修第二册 目 录 训练3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC， AB，BC的中点. （1）写出与 共线的向量； 解： 因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF＝ BC. 又因为D是BC的中点， 所以与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， . 数学·必修第二册 目 录 （2）写出与 的模相等的向量； 解： 与 的模相等的向量有 ， ， ， ， . （3）写出与 相等的向量. 解： 与 相等的向量有 ， . 数学·必修第二册 目 录 1. 如图，在圆O中，向量 ， ， 是（　　） A. 有相同起点的向量 B. 共线向量 C. 模相等的向量 D. 相等向量 解析：　由题图可知 ， ， 是模相等的向量，其模均等于圆O 的半径.故选C. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 〔多选〕在下列四个命题中，正确的是（　　） A. 单位向量都共线 B. 长度相等的向量都相等 C. 共线的单位向量不一定相等 D. 任意向量与零向量都共线 解析： 　对于A，单位向量长度都相等，但不一定都共线，A错误；对 于B，长度相等的向量，方向不一定相同，故长度相等的向量不一定相 等，B错误；对于C，共线的单位向量方向可能相反，C正确；对于D，任 意向量与零向量都共线，D正确. √ √ 数学·必修第二册 目 录 3. 〔多选〕设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确 的是（　　） A. ＝ B. ｜ ｜＝｜ ｜ C. ＝ D. 与 共线 解析： 　因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC 的中点，即有 ＝ ，A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则｜ ｜与｜ ｜不一定相等，B不正确；点A，O，B三点不共线，所以 向量 与向量 的方向必不相同，所以 与 不相等，C不正确；在 平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有 与 共线，D正确.故选A、D. √ √ 数学·必修第二册 目 录 4. 在如图所示的坐标纸中，小方格的边长为1，画出下列向量. （1）｜ ｜＝3，点A在点O的正西方向； 解： 因为｜ ｜＝3，点A在点O的正西方向，所以向量 如图所示. 数学·必修第二册 目 录 （2）｜ ｜＝3 ，点B在点O的北偏西45°方向. 解： 因为｜ ｜＝3 ，点B在点O的北偏西45°方向，所以向量 如图所示. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）向量的概念及表示； （2）向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量（平行 向量）. 2.应体会 共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，与平 面几何中的“共线”“平行”是不同的.判定向量平行（共线），体现数 形结合思想. 3.避易错 （1）零向量的模为零，方向不确定，不是没有方向； （2）所有的单位向量模都是1个单位长度，方向未必相同. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 下列四个命题中正确的是（　　） A. 时间、距离都是向量 B. 两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同 C. 向量 与向量 表示同一个向量 D. 平行向量不一定是共线向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 解析：　对于A，时间和距离只有大小，没有方向，是数量，不是向 量，故A错误；对于B，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相 同，故B正确；对于C，向量 与向量 表示的是模长相等，方向相 反的两个不同的向量，故C错误；对于D，平行向量也叫做共线向量， 故D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 2. 在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些 向量终点形成的图形是（　　） A. 单位圆 B. 一段弧 C. 线段 D. 圆面 解析：　平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长 度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量终点形成的轨迹是单位 圆.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且 ＝ ，则必 有（　　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 解析：　∵在四边形ABCD中， ＝ ，∴AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形，∴ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. “向量 ， 共线”是“直线AB∥CD”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　向量 ， 共线⇒直线AB，CD平行或重合；直线AB∥CD⇒ 向量 ， 共线.因此“向量 ， 共线”是“直线AB∥CD”的必要 不充分条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C ＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正 确的是（　　） A. C⊆A B. A∩B＝{a} C. C⊆B D. （A∩B）⊆{a} 解析： 　因为A∩B除了包含a，还包含与a长度相等且方向相反的向 量，所以B，D中的关系错误.易知A、C正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. ｜ ｜＝｜ ｜ B. a，b都是单位向量，则｜a｜＝｜b｜ C. 若｜ ｜＞｜ ｜，则 ＞ D. ∥ ，则AB∥CD 解析： 　对于A， 与 是起点和终点相反的向量，所以｜ ｜ ＝｜ ｜，A正确；对于B，a，b都是单位向量，则｜a｜＝｜b｜＝ 1，B正确；对于C，向量有大小和方向，不可以比较大小，C错误；对于 D， ∥ ，AB与CD可能平行或重合，D错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点O为其中心，则｜ ｜ ＝ ⁠. 解析：因为正方形的对角线长为2 ，所以｜ ｜＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C 地相对于B地的位移是 ⁠. 解析：根据题意画出图形，如图，由题可知｜ ｜＝5 km， 且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5 km. 西北方向5 km　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 在如图所示的方格纸中有一个向量 ，分别以图中的格点为起点和终 点作向量，则与 相等的向量有 个（ 除外）. 解析：如图，当向量 的起点是图中所标的格点时，可以作出7个与 相等的向量（ 除外）. 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中， （1）试找出与 共线的向量； 解： 与 共线的向量有 ， . （2）确定与 相等的向量. 解： 由于 与 长度相等且方向相同，所以 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 〔多选〕如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定正确的有（　　） A. ｜ ｜＝｜ ｜ B. 与 共线 C. 与 共线 D. ＝ 解析： 由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知｜ ｜＝｜ ｜，A正确；由题图可知， 与 的方向相反，B正确； 与 方向相同且长度相等，即 ＝ ，D正确；而 与 不一定共线，C不一定正确.故选A、B、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量 是平行向量，与 是共线向量，则m＝ ⁠. 解析：向量m与向量 是平行向量，则向量m与向量 方向相同或相 反；向量m与向量 是共线向量，则向量m与向量 方向相同或相反. 由A，B，C是不共线的三点，可知向量 与向量 方向不同且不共 线，则m＝0. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的 半个棋盘（每个小方格都是单位正方形）中，若象在A处，可跳到A1处， 用向量 表示象走了“一步”，若象在B或C处，则以B，C为起点表 示象走了“一步”的向量共有 个. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：象在B处有一条路可走，在C处有四条路可走，如图，以B点为起点作向量，共1个，记作 ；以C点为起点作向量，共4个，分别记作 ， ， ， ，所以共有5个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B. 点C为小正方形的顶点，且｜ ｜＝ . （1）画出所有的向量 ； 解：画出所有的向量 ，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）求｜ ｜的最大值与最小值. 解： 由（1）所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ｜ ｜取得最小值 ＝ ； ②当点C位于点C5或C6时， ｜ ｜取得最大值 ＝ . 所以｜ ｜的最大值为 ，最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，O是两对角线AC，BD的交点，设点集M＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{ ｜P，Q∈M且P，Q不重合}，求集合T中元素的个数. 解：以A点为起点的向量有4个，同理，分别以B，C，D，O为起点的向 量各有4个，因此共有20个向量，但这20个向量中有如下相等向量： ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，所以共有12个互不相等的向量，即集合T中有12个元素. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $