6.2 平面向量的运算 题型讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2 平面向量的运算 目录 题型01 向量加减法 6 题型02 向量数乘 8 题型03 向量的数量积 10 题型04 向量的平行与垂直 12 题型05 向量的夹角 15 题型06 向量的模长 18 题型07 投影向量 20 建体系 新知廊 知识点1： 向量加法 1．求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．三角形法则:已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝． 3．平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和． 4．交换律：a＋b＝b＋a． 5．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点2： 向量减法 1．向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法． 2．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示． 知识点3： 向量的数乘 1．|λa|＝|λ||a|． 2．λa (a≠0)的方向：． 3．λ(μa)＝(λμ)a． 4．(λ＋μ)a＝λa＋μa． 5．λ(a＋b)＝λa＋λb． 6．(－λ)a＝－λa＝λ(－a)． 知识点4： 平面向量的数量积 1．非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ． 2．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． 3．a·e＝e·a＝|a|·cosθ． 4．a⊥b⇔a·b＝0． 5．当a∥b时，a·b＝ 6．a·a＝|a|2或|a|＝． 7．|a·b|≤|a||b|． 求甚解 1．向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系． 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 2．向量加法运算律的意义和应用原则． (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 3．求差向量的两种思路． (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 4．向量加减法化简的两种形式． (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 5．向量线性运算的基本方法． (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 6．共线向量的判定及应用． (1)证明或判断三点共线的方法：一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法：已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． (3)判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1． 7．平面向量数量积的求解． (1)计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角． (2)条件是两向量的始点必须重合． (3)否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 8．向量模长的求解． 要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方． 9．求向量的夹角． (1)利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角． (2)可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解． (3)也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解． 练题型 题型01 向量加减法 典型例题 典例 01 （2025春•北京校级期中）在平行四边形ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法与减法法则计算即可． 【解答】解：如图， ． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025秋•天津校级月考）化简，所得的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据向量加减法运算规则去求化简即可． 【解答】解：． 故选：A． 【变式练2】（2025春•大荔县期末）下列命题中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D． 【解答】解：因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确． 故选：D． 【变式练3】（2025春•南江县校级期中）在正六边形ABCDEF中，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得． 【解答】解：因为，故D正确， 显然，，，故A、B、C均错误． ． 故选：D． 题型02 向量数乘 典型例题 典例 02 （2025•邢台开学）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，E为BC的中点， 则． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025春•广东月考）在边长为1的正六边形ABCDEF中，设，，则向量（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可． 【解答】解：根据题意可知，，， 如图，在正六边形ABCDEF中，AE∥BD，且AE＝BD， 则，所以． 故选：A． 【变式练2】（2025•滁州模拟）已知O为△ABC的重心，D为AB的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可画出图形，根据三角形重心的性质及向量数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可得解． 【解答】解：如图，O为△ABC的重心，D为AB的中点，则： ． 故选：B． 【变式练3】（2025•平罗县校级三模）在△ABC中，点D为AB的中点，点O为△ABC的重心，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合重心性质与向量运算化简可得． 【解答】解：如图，连接CD， 因为点O为△ABC的重心，则O为CD的三等分点，且， 所以． 故选：A． 题型03 向量的数量积 典型例题 典例 03 （2025春•青白江区校级期末）一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（　　） A．12 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】先求，再利用数量积的定义运算即可求解． 【解答】解：由题可知，蜂巢结构由正六边形组成， 根据正六边形特点的夹角是正六边形内角的一半， 即，因为，，， 所以． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025春•江苏期中）已知等边三角形ABC的边长为1，，，，那么•••（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【答案】B 【分析】利用向量的数量积即可求解． 【解答】解：． 故选：B． 【变式练2】（2025秋•安徽月考）已知，且，则　　　　． 【答案】6． 【分析】由，再根据向量数量积的线性运算即可． 【解答】解：由题意可得，32﹣3＝6． 故答案为：6． 【变式练3】（2025秋•枣强县校级月考）在矩形ABCD中，BC＝3，P为边CD上一点，则　　　　． 【答案】9． 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算得解． 【解答】解：在矩形ABCD中，BC⊥CD，， 由题意可得，存在实数t，使得，， 因为BC＝3，即3， 所以． 故答案为：9． 题型04 向量的平行与垂直 典型例题 典例 04 （2025春•徐汇区校级期中）已知，的夹角为60°，且，设． （1）若，求实数t； （2）若，求实数t； （3）t＝2时，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）t＝1． （2）t＝﹣6； （3）． 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律，列式计算得解． （2）利用共线向量定理列式求解． （3）利用数量积的运算律及向量夹角公式求解． 【解答】解：（1）由的夹角为60°，且， 得， 由， 得， 所以t＝1． （2）由，得， 而不共线，则，解得t＝﹣6，， 所以t＝﹣6． （3）当t＝2时，， ， ||＝22， 且， 则， 所以与的夹角的余弦值为． 即学即练 【变式练1】（多选）（2025春•宁乡市期末）已知向量与满足，，且，则下列说法正确的是（　　） A．若k＝4，则向量与向量共线 B．向量与的夹角为150° C． D．向量与向量垂直 【答案】ACD 【分析】根据条件得， 对于A，由向量的共线定理判断即可； 对于B，利用向量的夹角公式，即可求解； 对于C，利用模长的计算公式，即可求解； 对于D，利用向量的垂直表示，计算，即可求解； 【解答】解：因为，，， 所以，解得， 对于选项A，若k＝4，则， 所以（）∥（）共线，故选项A正确； 对于选项B，因为， 又，所以，故选项B错误， 对于选项C，因为，所以，故选项C正确； 对于选项D，因为，所以⊥（），故选项D正确． 故选：ACD． 【变式练2】（2025秋•花溪区校级月考）已知夹角为的非零向量、满足，且，则m＝　　　　． 【答案】0． 【分析】结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：由题意可知，，，， 则，解得m＝0． 故答案为：0． 【变式练3】（2025秋•烟台期中）若向量，的夹角为，且满足，与垂直，则　　　　． 【答案】1． 【分析】由两个向量的夹角可得两个向量的数量积，再由两个向量垂直可得数量积为0，整理可得||的值． 【解答】解：向量，的夹角为，且， 可得||•||cos2||•（）＝﹣||， 又因为与垂直，所以（）•（）＝0， 即21570，即15||2﹣7||﹣8＝0， 解得||＝1，（负值已舍）． 故答案为：1． 题型05 向量的夹角 典型例题 典例 05 （2025秋•伊州区校级期中）已知空间向量，||＝2，||＝3，||＝4，则cos，（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解． 【解答】解：由题意得， 因为||＝2，||＝3，||＝4，所以， 即16＝4+9+2，所以， 则cos，． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025秋•贵州月考）已知单位向量，满足，则向量与夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据向量垂直的性质得到数量积等式，再结合单位向量的模长，利用向量夹角公式求解夹角大小． 【解答】解：， 则，解得， 由于和是单位向量，则， 设夹角为θ，θ∈[0，π]，则，解得． 故选：D． 【变式练2】（2025春•青铜峡市校级期末）已知且，则向量与的夹角是　　　　． 【答案】． 【分析】由向量垂直表示、数量积的运算律、夹角的运算公式计算即可． 【解答】解：设向量与的夹角为θ， 则由已知得，得， 所以， 又θ∈[0，π]，所以． 故答案为：． 【变式练3】（2025春•增城区期中）已知，，其中，是夹角为的单位向量． （1）当λ＝2，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求λ的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据向量数量积中向量夹角余弦公式，已经向量的模长计算方法，求出向量夹角余弦值． （2）根据向量夹角为钝角时，向量数量积小于零，但不反向共线的性质，列出不等式，求出参数范围． 【解答】解：（1），，其中，是夹角为的单位向量， 当λ＝2时，， 又因为， 所以， 又， 所以； （2）因为与的夹角为钝角，所以且不共线， 所以，且λ≠﹣3， 即，且λ≠﹣3，所以且λ≠﹣3， 故λ的取值范围为． 题型06 向量的模长 典型例题 典例 06 （2025•涪城区校级模拟）已知平面向量，满足，，且，则（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由已知，先求出，再求出后可求． 【解答】解：由题意，，， 因为，故，即，解得， 故， 则． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025•银川三模）已知满足，若在方向上的投影向量为，则　　　　． 【答案】． 【分析】利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解． 【解答】解：由已知得，，则， 因为，所以， 所以． 故答案为：． 【变式练2】（2025春•浙江校级期中）已知，，且与夹角为120°，求： （1）； （2）与的夹角． 【答案】（1）2；（2）． 【分析】（1）根据数量积的运算律，求出（）2的值，即可求出答案； （2）先根据数量积的运算律，求出（）2的值，即可得出||的值，进而根据数量积的运算求出的值，然后根据夹角公式，能求出结果． 【解答】解：（1）由已知得||•||cos120°＝44， ∴（）264+16+4＝84， ∴2． （2）∵（）216﹣8+4＝12，∴||＝2， ∵16﹣4＝12． ∴cos， ∴与的夹角为． 【变式练3】（2025春•深圳期中）若，是夹角为60°的两个单位向量，则2，32． （1）求||和•； （2）求与的夹角． 【答案】（1），； （2）60°． 【分析】（1）由向量数量积的运算性质即可求解； （2）由向量数量积的运算性质及夹角公式即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得，， 因为2，32， 所以， 所以． （2）因为， 所以， 所以与的夹角为60°． 题型07 投影向量 典型例题 典例 07 （2025秋•张掖校级期中）已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的模长、数量积运算，再根据投影向量公式求解即可． 【解答】解：因为向量满足， 所以两边同时平方得：， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2025秋•惠城区校级月考）已知，，且，则在上的投影向量为　　　　． 【答案】． 【分析】利用投影向量的概念，结合数量积公式求解即可． 【解答】解：因为，所以， 即， 设的夹角为θ，所以，在上的投影为：， 所以在上的投影向量为． 故答案为：． 【变式练2】（2025春•四川期中）已知||＝1，||＝2，与的夹角为． （1）求2与的夹角； （2）用表示2在方向上的投影向量． 【答案】（1）； （2）3． 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义与运算性质求出•（）与||，然后运用向量的夹角公式加以计算，可得答案； （2）运用投影向量的定义，结合（1）的结论求出2在方向上的投影向量． 【解答】解：（1）根据题意，可得•||•||cos1×21． •（）＝2||2•2+1＝3，||． 所以2与的夹角θ满足cosθ， 结合θ∈[0，π]，可知θ． （2）由投影向量的定义，可知2在方向上的投影向量为3． 【变式练3】（2025春•双流区校级期中）已知向量与的夹角为，且， （1）求； （2）若，求k； （3）求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）由向量数量积的定义式和求模公式计算即可求得； （2）由向量垂直建立方程，求解即可； （3）由投影向量的定义计算即可． 【解答】解：（1）因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以8k+3k﹣6﹣9＝0，解得； （3）因为， 所以向量在向量上的投影向量的模为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 平面向量的运算 目录 题型01 向量加减法 5 题型02 向量数乘 6 题型03 向量的数量积 7 题型04 向量的平行与垂直 9 题型05 向量的夹角 10 题型06 向量的模长 12 题型07 投影向量 13 建体系 新知廊 知识点1： 向量加法 1．求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．三角形法则:已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝． 3．平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和． 4．交换律：a＋b＝b＋a． 5．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点2： 向量减法 1．向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法． 2．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示． 知识点3： 向量的数乘 1．|λa|＝|λ||a|． 2．λa (a≠0)的方向：． 3．λ(μa)＝(λμ)a． 4．(λ＋μ)a＝λa＋μa． 5．λ(a＋b)＝λa＋λb． 6．(－λ)a＝－λa＝λ(－a)． 知识点4： 平面向量的数量积 1．非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ． 2．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． 3．a·e＝e·a＝|a|·cosθ． 4．a⊥b⇔a·b＝0． 5．当a∥b时，a·b＝ 6．a·a＝|a|2或|a|＝． 7．|a·b|≤|a||b|． 求甚解 1．向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系． 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 2．向量加法运算律的意义和应用原则． (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 3．求差向量的两种思路． (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 4．向量加减法化简的两种形式． (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 5．向量线性运算的基本方法． (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 6．共线向量的判定及应用． (1)证明或判断三点共线的方法：一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法：已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． (3)判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1． 7．平面向量数量积的求解． (1)计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角． (2)条件是两向量的始点必须重合． (3)否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 8．向量模长的求解． 要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方． 9．求向量的夹角． (1)利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角． (2)可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解． (3)也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解． 练题型 题型01 向量加减法 典型例题 典例 01 （2025春•北京校级期中）在平行四边形ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法与减法法则计算即可． 【解答】解：如图， ． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025秋•天津校级月考）化简，所得的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（2025春•大荔县期末）下列命题中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式练3】（2025春•南江县校级期中）在正六边形ABCDEF中，（　　） A． B． C． D． 题型02 向量数乘 典型例题 典例 02 （2025•邢台开学）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，E为BC的中点， 则． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025春•广东月考）在边长为1的正六边形ABCDEF中，设，，则向量（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（2025•滁州模拟）已知O为△ABC的重心，D为AB的中点，则（　　） A． B． C． D． 【变式练3】（2025•平罗县校级三模）在△ABC中，点D为AB的中点，点O为△ABC的重心，则（　　） A． B． C． D． 题型03 向量的数量积 典型例题 典例 03 （2025春•青白江区校级期末）一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（　　） A．12 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】先求，再利用数量积的定义运算即可求解． 【解答】解：由题可知，蜂巢结构由正六边形组成， 根据正六边形特点的夹角是正六边形内角的一半， 即，因为，，， 所以． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025春•江苏期中）已知等边三角形ABC的边长为1，，，，那么•••（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【变式练2】（2025秋•安徽月考）已知，且，则　　　　． 【变式练3】（2025秋•枣强县校级月考）在矩形ABCD中，BC＝3，P为边CD上一点，则　　　　． 题型04 向量的平行与垂直 典型例题 典例 04 （2025春•徐汇区校级期中）已知，的夹角为60°，且，设． （1）若，求实数t； （2）若，求实数t； （3）t＝2时，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）t＝1． （2）t＝﹣6； （3）． 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律，列式计算得解． （2）利用共线向量定理列式求解． （3）利用数量积的运算律及向量夹角公式求解． 【解答】解：（1）由的夹角为60°，且， 得， 由， 得， 所以t＝1． （2）由，得， 而不共线，则，解得t＝﹣6，， 所以t＝﹣6． （3）当t＝2时，， ， ||＝22， 且， 则， 所以与的夹角的余弦值为． 即学即练 【变式练1】（多选）（2025春•宁乡市期末）已知向量与满足，，且，则下列说法正确的是（　　） A．若k＝4，则向量与向量共线 B．向量与的夹角为150° C． D．向量与向量垂直 【变式练2】（2025秋•花溪区校级月考）已知夹角为的非零向量、满足，且，则m＝　　　　． 【变式练3】（2025秋•烟台期中）若向量，的夹角为，且满足，与垂直，则　　　　． 题型05 向量的夹角 典型例题 典例 05 （2025秋•伊州区校级期中）已知空间向量，||＝2，||＝3，||＝4，则cos，（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解． 【解答】解：由题意得， 因为||＝2，||＝3，||＝4，所以， 即16＝4+9+2，所以， 则cos，． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025秋•贵州月考）已知单位向量，满足，则向量与夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（2025春•青铜峡市校级期末）已知且，则向量与的夹角是　　　　． 【变式练3】（2025春•增城区期中）已知，，其中，是夹角为的单位向量． （1）当λ＝2，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求λ的取值范围． 题型06 向量的模长 典型例题 典例 06 （2025•涪城区校级模拟）已知平面向量，满足，，且，则（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由已知，先求出，再求出后可求． 【解答】解：由题意，，， 因为，故，即，解得， 故， 则． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025•银川三模）已知满足，若在方向上的投影向量为，则　　　　． 【变式练2】（2025春•浙江校级期中）已知，，且与夹角为120°，求： （1）； （2）与的夹角． 【变式练3】（2025春•深圳期中）若，是夹角为60°的两个单位向量，则2，32． （1）求||和•； （2）求与的夹角． 题型07 投影向量 典型例题 典例 07 （2025秋•张掖校级期中）已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的模长、数量积运算，再根据投影向量公式求解即可． 【解答】解：因为向量满足， 所以两边同时平方得：， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2025秋•惠城区校级月考）已知，，且，则在上的投影向量为　　　　． 【变式练2】（2025春•四川期中）已知||＝1，||＝2，与的夹角为． （1）求2与的夹角； （2）用表示2在方向上的投影向量． 【变式练3】（2025春•双流区校级期中）已知向量与的夹角为，且， （1）求； （2）若，求k； （3）求向量在向量上的投影向量的模． 学科网（北京）股份有限公司 $