6.2.4向量的数量积（第1课时）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4 平面向量的数量积（第一课时） 年 级：高一 学 科：数学（人教A版） 1 整体统摄，明确思路 向量的加法、减法和数乘运算，我们把这些运算统称为向量的线性运算. 问题1：我们是如何研究这些运算的呢？ 问题2：向量及其线性运算有明确的物理背景，在所学的物理知识中，哪个概念可以作为“向量乘法（两向量相乘）”的物理背景呢？ 2 背景 定义 性质 应用 功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s ，那么力F所做的功 ,其中 是F与s的夹角. 追问1：在功的定义中涉及哪些要素呢？ 力、位移、夹角 向量 积 数量 揭示背景，引出概念 3 向量夹角的定义 B 0 A 平面向量数量积定义 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积(也叫内积)，记作 ，即 【规定】零向量与任一向量的数量积为0 【注意】 “ · ”不能省略，也不能写成“×” 思考：对比向量的线性运算，数量积的运算结果有什么不同？ 类比迁移，形成概念 追问2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 例1 已知 解： 例2 解： 由 ，得 ∵ ∴ . 知三求一 初步应用，例题选讲 A 0 B 图1 问题3：对于任意两个向量，如图，如何得到一个向量向另一个向量的投影向量？ 图2 探究思考，得到概念 设 是两个非零向量， ，过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 ，我们称这种变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量． 我们可以在平面内任取一点O，作 .过点M作直线ON 的垂线，垂足为 ，则 就是向量 在向量 上的投影向量 探究 如图，设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为θ，那么 与 ， ，θ之间有怎样的关系？ 显然 与 共线，于是 所以 当θ为锐角时，与 方向相同， 当θ=0时，λ= ， 当θ为直角时，λ= ， 所以 当θ为钝角时，与 方向相反， 当θ= 时，λ= ，所以 综上可知，对任意的 都有: 探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？ 问题6：给出了数量积的定义后，接下来要研究什么？你认为可以如何开展研究？ 追问1：你认为应该怎样入手研究几何性质？你能得出哪些几何性质？ 深化定义，探究性质 追问2：回顾上面研究性质的过程，你能说说研究一种向量运算的几何性质时所采用的思想方法吗？ 探究思考，得到概念 数量积的性质 反思小结，构建网络 问题7：请你带着下面的问题，对本节课进行总结 (1)你能归纳课我们是如何研究向量的数量积运算的吗? (2)你认为定义向量的数量积时,应注意哪些问题? (3)你认为我们可以利用投影向量解决怎样的问题? (4)向量数量积的性质要研究的问题是什么?我们是如何发现数量积的几何性质的? 13 反思小结，构建网络 封闭性运算 非封闭性运算 研究路径 知识技能 思想方法 数形结合—— 类比归纳 14 平面向量的运算 线性运算 加、减法运算 数乘运算 数量积运算 背景 定义 性质 应用 $$